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21.(8分)汤圆是宁波的特色美食,某店在销售某品牌汤圆时发现,该品牌汤圆进价为20元/盒,当销售单价定为33元/盒时,平均每天可售出100盒,为了扩大销售,该店决定降价。经调查发现,每盒汤圆降价1元,平均每天可多售出20盒。
(1)若降价2元,则每盒汤圆盈利
(2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1 600元,为尽快减少库存,问每盒汤圆销售价定为多少元合适?
(1)若降价2元,则每盒汤圆盈利
11
元,平均每天可售出140
盒。(2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1 600元,为尽快减少库存,问每盒汤圆销售价定为多少元合适?
答案
(1)11,140
(2)解:设每盒汤圆销售价降价x元,则平均每天可售出(100+20x)盒,由题意,得$(33-20-x)(100+20x)=1600$,整理,得$-20x^2+160x-300=0$,解得$x_1=3$,$x_2=5$。因为为了尽快减少库存,所以每盒汤圆销售价应降价5元,所以每盒汤圆销售价定为33-5=28(元)。答:每盒汤圆销售价定为28元合适。
(2)解:设每盒汤圆销售价降价x元,则平均每天可售出(100+20x)盒,由题意,得$(33-20-x)(100+20x)=1600$,整理,得$-20x^2+160x-300=0$,解得$x_1=3$,$x_2=5$。因为为了尽快减少库存,所以每盒汤圆销售价应降价5元,所以每盒汤圆销售价定为33-5=28(元)。答:每盒汤圆销售价定为28元合适。
解析
【分析】
第(1)问：每盒盈利=销售单价-进价，先算降价2元后的销售单价，再求盈利；销量=原销量+因降价多售的量，每降价1元多售20盒，降价2元则多售40盒，据此计算总销量。
第(2)问：利用“日销售利润=每盒利润×日销售量”列方程，设降价x元，分别表示出每盒利润和日销量，结合利润1600元列方程；解方程后，根据“尽快减少库存”（销量越大越好，对应降价更多）选择合适的解，进而算出销售单价。
【解析】
(1) 降价2元后，每盒销售单价为：33 - 2 = 31（元），每盒盈利：31 - 20 = 11（元）；
平均每天销量：100 + 20×2 = 140（盒）。
(2) 设每盒汤圆降价x元，则每盒利润为(33 - 20 - x)元，平均每天销量为(100 + 20x)盒，根据题意列方程：
(33 - 20 - x)(100 + 20x) = 1600
整理得：-20x² + 160x - 300 = 0，化简为x² - 8x + 15 = 0
因式分解得：(x - 3)(x - 5) = 0，解得x₁=3，x₂=5。
因要尽快减少库存，销量越大越好，降价越多销量越大，故选择x=5，此时销售单价为33 - 5 = 28（元）。
【答案】
(1)11，140；(2)28元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的基础应用，核心是理清利润与销量的关系，需注意题目隐含条件（尽快减少库存）对解的选择，避免错解。
【难度系数】
0.7
第(1)问：每盒盈利=销售单价-进价，先算降价2元后的销售单价，再求盈利；销量=原销量+因降价多售的量，每降价1元多售20盒，降价2元则多售40盒，据此计算总销量。
第(2)问：利用“日销售利润=每盒利润×日销售量”列方程，设降价x元，分别表示出每盒利润和日销量，结合利润1600元列方程；解方程后，根据“尽快减少库存”（销量越大越好，对应降价更多）选择合适的解，进而算出销售单价。
【解析】
(1) 降价2元后，每盒销售单价为：33 - 2 = 31（元），每盒盈利：31 - 20 = 11（元）；
平均每天销量：100 + 20×2 = 140（盒）。
(2) 设每盒汤圆降价x元，则每盒利润为(33 - 20 - x)元，平均每天销量为(100 + 20x)盒，根据题意列方程：
(33 - 20 - x)(100 + 20x) = 1600
整理得：-20x² + 160x - 300 = 0，化简为x² - 8x + 15 = 0
因式分解得：(x - 3)(x - 5) = 0，解得x₁=3，x₂=5。
因要尽快减少库存，销量越大越好，降价越多销量越大，故选择x=5，此时销售单价为33 - 5 = 28（元）。
【答案】
(1)11，140；(2)28元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的基础应用，核心是理清利润与销量的关系，需注意题目隐含条件（尽快减少库存）对解的选择，避免错解。
【难度系数】
0.7
22.(10分)如图,在正方形ABCD中,点P在对角线AC上,过点P分别作$PE⊥AB$于点E,$PF⊥BC$于点F,连结EF,PD。
(1)求证:$EF=PD$。
(2)如图2,过点P作$PG// EF$交AB于点G,判断PG与PD的数量关系与位置关系,并说明理由。
(3)在(2)的条件下,若$BG=2AG$,$PD=\sqrt{10}$,求正方形ABCD的边长。
(1)求证:$EF=PD$。
(2)如图2,过点P作$PG// EF$交AB于点G,判断PG与PD的数量关系与位置关系,并说明理由。
(3)在(2)的条件下,若$BG=2AG$,$PD=\sqrt{10}$,求正方形ABCD的边长。
答案
(1)证明:如图1,连结BP,因为$PE⊥AB$于点E,$PF⊥BC$于点F,所以$∠PEB=∠PFB=90°$。因为四边形ABCD是正方形,所以$∠EBF=90°$,所以$∠EBF=∠PEB=∠PFB=90°$,所以四边形EBFP是矩形。所以PB=EF,因为AC是正方形ABCD的对称轴,所以PB=PD,所以EF=PD。
(2)解:$PG=PD$,$PG⊥PD$。理由如下:由(1)得,四边形EBFP是矩形,所以$PF//AB$,因为$PG//EF$,$PF//AB$,所以四边形GEFP是平行四边形,所以GP=EF。由(1),得EF=PD,所以PG=PD。如图2,连结BP,因为AC是正方形ABCD的对称轴,所以$PB=PD$,$∠PBG=∠PDA$,因为GP=PD,PB=PD,所以PB=PG,所以$∠PBG=∠PGB$,所以$∠PDA=∠PGB$。因为$∠PGB+∠AGP=180°$,所以$∠PDA+∠AGP=180°$。因为四边形ABCD是正方形,所以$∠DAG=90°$。因为$∠DAG+∠AGP+∠GPD+∠PDA=360°$,所以$∠GPD=90°$,所以$PG⊥PD$。
(3)解:由(2),得四边形GEFP是平行四边形,所以PF=GE。由(1),得四边形EBFP是矩形,所以EB=PF。所以GE=EB。因为BG=2AG,BG=BE+GE,所以GE=EB=AG,因为AB=AG+GE+EB,所以AB=3AG。因为四边形ABCD是正方形,所以AD=AB=3AG。如图3,连结DG,由(2),得PG=PD,$PG⊥PD$,所以△DPG是等腰直角三角形,因为在等腰Rt△DPG中,$PD=\sqrt{10}$,所以$DG=2\sqrt{5}$,所以在Rt△AGD中,$AG^2+AD^2=DG^2$,即$AG^2+9AG^2=20$。所以$AG=±\sqrt{2}$。因为AG＞0,所以$AG=\sqrt{2}$。所以$AB=3\sqrt{2}$,即正方形ABCD的边长是$3\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题是正方形相关的几何综合题，解题思路如下：
(1) 要证$EF=PD$，先利用正方形的直角和垂直条件，证四边形$EBFP$是矩形，得矩形对角线$PB=EF$；再借助正方形对角线$AC$的对称性，得$PB=PD$，从而推得$EF=PD$。
(2) 判断$PG$与$PD$的关系：由$PG// EF$、$PF// AB$，证四边形$GEFP$是平行四边形，得$PG=EF$，结合(1)的结论得$PG=PD$；再通过连接$BP$，利用正方形对称性和等腰三角形性质推导角度关系，结合四边形内角和证得$∠ GPD=90°$，即$PG⊥ PD$。
(3) 求正方形边长：由平行四边形和矩形性质得$AG=GE=EB$，即$AB=3AG$；再由(2)中$△ DPG$是等腰直角三角形，结合$PD=\sqrt{10}$得$DG=2\sqrt{5}$，最后在$Rt△ AGD$中用勾股定理，代入$AD=3AG$求解得$AG$，进而得正方形边长。
【解析】
(1) 证明：如图1，连结$BP$。
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，$\therefore ∠ PEB=∠ PFB=90°$。
又$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ EBF=90°$，
$\therefore$四边形$EBFP$是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
$\therefore PB=EF$（矩形的对角线相等）。
$\because AC$是正方形$ABCD$的对称轴，点$P$在$AC$上，
$\therefore PB=PD$（正方形对称性，对称轴上点到对应顶点距离相等），
$\therefore EF=PD$。
(2) 解：$PG=PD$，$PG⊥ PD$，理由如下：
如图2，连结$BP$。
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore PF// AB$（垂直于同一直线的两条直线平行），即$PF// GE$。
又$\because PG// EF$，
$\therefore$四边形$GEFP$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
$\therefore PG=EF$（平行四边形对边相等）。
由(1)知$EF=PD$，$\therefore PG=PD$。
$\because AC$是正方形$ABCD$的对称轴，$\therefore PB=PD$，$∠ PBG=∠ PDA$，
又$\because PG=PD$，$\therefore PB=PG$，
$\therefore ∠ PBG=∠ PGB$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ PDA=∠ PGB$。
$\because ∠ PGB+∠ AGP=180°$，$\therefore ∠ PDA+∠ AGP=180°$。
在四边形$AGPD$中，$∠ DAG=90°$，
$\therefore ∠ GPD=360°-∠ DAG-∠ PDA-∠ AGP=90°$，
$\therefore PG⊥ PD$。
(3) 解：如图3，连结$DG$。
由(2)知四边形$GEFP$是平行四边形，$\therefore PF=GE$。
由(1)知四边形$EBFP$是矩形，$\therefore EB=PF$，
$\therefore GE=EB$。
已知$BG=2AG$，且$BG=BE+GE$，$\therefore BE+GE=2AG$，又$BE=GE$，
$\therefore GE=AG$，$BE=AG$，
$\therefore AB=AG+GE+BE=3AG$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD=AB=3AG$。
由(2)知$PG=PD$，$PG⊥ PD$，$\therefore △ DPG$是等腰直角三角形，
$\because PD=\sqrt{10}$，$\therefore DG=\sqrt{PD^2+PG^2}=\sqrt{10+10}=2\sqrt{5}$。
在$Rt△ AGD$中，由勾股定理得：$AG^2+AD^2=DG^2$，
代入$AD=3AG$，$DG=2\sqrt{5}$，得：$AG^2+(3AG)^2=(2\sqrt{5})^2$，
即$10AG^2=20$，解得$AG=\sqrt{2}$（$AG＞0$），
$\therefore AB=3AG=3\sqrt{2}$，即正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $PG=PD$，$PG⊥ PD$；
(3) 正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{2}$；
【知识点】
正方形性质、矩形判定与性质、平行四边形判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的几何综合题，综合考查多个核心几何知识点，解题关键是通过辅助线构造特殊图形，推导线段与角度关系，难度适中，适合中等水平学生巩固几何综合应用能力。
【难度系数】
0.5
本题是正方形相关的几何综合题，解题思路如下：
(1) 要证$EF=PD$，先利用正方形的直角和垂直条件，证四边形$EBFP$是矩形，得矩形对角线$PB=EF$；再借助正方形对角线$AC$的对称性，得$PB=PD$，从而推得$EF=PD$。
(2) 判断$PG$与$PD$的关系：由$PG// EF$、$PF// AB$，证四边形$GEFP$是平行四边形，得$PG=EF$，结合(1)的结论得$PG=PD$；再通过连接$BP$，利用正方形对称性和等腰三角形性质推导角度关系，结合四边形内角和证得$∠ GPD=90°$，即$PG⊥ PD$。
(3) 求正方形边长：由平行四边形和矩形性质得$AG=GE=EB$，即$AB=3AG$；再由(2)中$△ DPG$是等腰直角三角形，结合$PD=\sqrt{10}$得$DG=2\sqrt{5}$，最后在$Rt△ AGD$中用勾股定理，代入$AD=3AG$求解得$AG$，进而得正方形边长。
【解析】
(1) 证明：如图1，连结$BP$。
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，$\therefore ∠ PEB=∠ PFB=90°$。
又$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore ∠ EBF=90°$，
$\therefore$四边形$EBFP$是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
$\therefore PB=EF$（矩形的对角线相等）。
$\because AC$是正方形$ABCD$的对称轴，点$P$在$AC$上，
$\therefore PB=PD$（正方形对称性，对称轴上点到对应顶点距离相等），
$\therefore EF=PD$。
(2) 解：$PG=PD$，$PG⊥ PD$，理由如下：
如图2，连结$BP$。
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore PF// AB$（垂直于同一直线的两条直线平行），即$PF// GE$。
又$\because PG// EF$，
$\therefore$四边形$GEFP$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
$\therefore PG=EF$（平行四边形对边相等）。
由(1)知$EF=PD$，$\therefore PG=PD$。
$\because AC$是正方形$ABCD$的对称轴，$\therefore PB=PD$，$∠ PBG=∠ PDA$，
又$\because PG=PD$，$\therefore PB=PG$，
$\therefore ∠ PBG=∠ PGB$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ PDA=∠ PGB$。
$\because ∠ PGB+∠ AGP=180°$，$\therefore ∠ PDA+∠ AGP=180°$。
在四边形$AGPD$中，$∠ DAG=90°$，
$\therefore ∠ GPD=360°-∠ DAG-∠ PDA-∠ AGP=90°$，
$\therefore PG⊥ PD$。
(3) 解：如图3，连结$DG$。
由(2)知四边形$GEFP$是平行四边形，$\therefore PF=GE$。
由(1)知四边形$EBFP$是矩形，$\therefore EB=PF$，
$\therefore GE=EB$。
已知$BG=2AG$，且$BG=BE+GE$，$\therefore BE+GE=2AG$，又$BE=GE$，
$\therefore GE=AG$，$BE=AG$，
$\therefore AB=AG+GE+BE=3AG$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD=AB=3AG$。
由(2)知$PG=PD$，$PG⊥ PD$，$\therefore △ DPG$是等腰直角三角形，
$\because PD=\sqrt{10}$，$\therefore DG=\sqrt{PD^2+PG^2}=\sqrt{10+10}=2\sqrt{5}$。
在$Rt△ AGD$中，由勾股定理得：$AG^2+AD^2=DG^2$，
代入$AD=3AG$，$DG=2\sqrt{5}$，得：$AG^2+(3AG)^2=(2\sqrt{5})^2$，
即$10AG^2=20$，解得$AG=\sqrt{2}$（$AG＞0$），
$\therefore AB=3AG=3\sqrt{2}$，即正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $PG=PD$，$PG⊥ PD$；
(3) 正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{2}$；
【知识点】
正方形性质、矩形判定与性质、平行四边形判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的几何综合题，综合考查多个核心几何知识点，解题关键是通过辅助线构造特殊图形，推导线段与角度关系，难度适中，适合中等水平学生巩固几何综合应用能力。
【难度系数】
0.5
