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23.(10分)如图1,在$□ ABCD$中,对角线$BD$的中垂线$EF$分别交$AD,BD,BC$于点$E,O,F$。
(1)连结$BE,DF$,请判断四边形$EBFD$的形状,并说明理由。
(2)若$∠ A=130°,∠ OED=70°$,求$∠ CDF$的度数。
(3)如图2,连结$AF$交$BD$于点$G$,若$S_{△ ABG}=6S_{△ CGF},BF=4\sqrt{7},FG=4$,求$∠ AGB$的度数和$AB$的长。
(1)连结$BE,DF$,请判断四边形$EBFD$的形状,并说明理由。
(2)若$∠ A=130°,∠ OED=70°$,求$∠ CDF$的度数。
(3)如图2,连结$AF$交$BD$于点$G$,若$S_{△ ABG}=6S_{△ CGF},BF=4\sqrt{7},FG=4$,求$∠ AGB$的度数和$AB$的长。
答案
(1)四边形EBFD是菱形。理由如下:在$□ABCD$中,因为AD//BC,所以∠EDO=∠FBO。因为EF为BD的中垂线,所以BO=DO,∠EOD=∠FOB,EF⊥BD,所以△BOF≌△DOE,所以BF=DE。因为AD//BC,BF=DE,所以四边形EBFD是平行四边形。因为EF⊥BD,所以四边形EBFD是菱形。
(2)在$□ABCD$中,因为AB//DC,所以∠EDC=180°-∠A,因为∠A=130°,所以∠EDC=50°。因为EF⊥BD,所以∠EDO=90°-∠OED=90°-70°=20°。由(1),得四边形EBFD是菱形,所以∠EDF=2∠EDO=40°,所以∠CDF=∠EDC-∠EDF=10°。
(3)在$□ABCD$中,因为AD//BC,所以$S_{△ABF}=S_{△EBF}$。因为四边形EBFD是菱形,所以$S_{△EBF}=2S_{△OBF}$,所以$S_{△ABG}+S_{△BGF}=2(S_{△CGF}+S_{△BGF})$,因为$S_{△ABG}=6S_{△CGF}$,所以$6S_{△CGF}+S_{△BGF}=2(S_{△CGF}+S_{△BGF})$,即$S_{△BGF}=4S_{△CGF}$。所以BG=4OG。所以设OG=m,则BG=4m,OB=OG+BG=5m,在Rt△BOF中,$OF^2=BF^2-OB^2=112-25m^2$,在Rt△OGF中,$OF^2=GF^2-OG^2=16-m^2$,所以112-25m^2=16-m^2,解得m=±2。因为m＞0,所以m=2。所以BG=8。因为在Rt△OGF中,OG=2,GF=4,OF=2√3,所以∠OGF=60°,所以∠AGB=∠OGF=60°。因为$S_{△CGF}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,所以$S_{△ABG}=6S_{△CGF}=12\sqrt{3}$。如图,过点A作AH⊥BG于点H,因为AH⊥BG,所以$\frac{AH×BG}{2}=12\sqrt{3}$,解得AH=$3\sqrt{3}$。因为在Rt△AHG中,∠AGB=60°,AH=3√3。所以HG=3。所以BH=BG-HG=8-3=5。所以在Rt△ABH中,$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=2\sqrt{13}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：要判断四边形EBFD的形状，先利用平行四边形ABCD对边平行的性质得到内错角相等；再结合EF是BD的中垂线，得到BO=DO及直角，通过全等三角形证明BF=DE，结合AD//BC推出四边形EBFD是平行四边形，最后由EF⊥BD，根据菱形判定定理得出结论。
2. 第(2)问：利用平行四边形邻角互补求出∠EDC，再在Rt△OED中计算∠EDO，结合菱形对角线平分内角得到∠EDF，通过角的差求出∠CDF。
3. 第(3)问：利用平行四边形同底等高三角形面积相等，结合菱形的面积关系转化面积比，得到线段比例；设未知数用勾股定理列方程求解线段长度，再通过直角三角形的角度关系和勾股定理求出∠AGB和AB的长。
【解析】
(1) 四边形EBFD是菱形，理由如下：
在$□ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore ∠ EDO=∠ FBO$。
$\because EF$为$BD$的中垂线，$\therefore BO=DO$，$∠ EOD=∠ FOB=90°$，$EF⊥ BD$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ FBO=∠ EDO \\ BO=DO \\ ∠ FOB=∠ EOD\end{array} $
$\therefore △ BOF≌△ DOE$（ASA），$\therefore BF=DE$。
又$\because AD// BC$，即$DE// BF$，且$DE=BF$，$\therefore$四边形EBFD是平行四边形。
$\because EF⊥ BD$，$\therefore$平行四边形EBFD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 在$□ABCD$中，$AB// DC$，$\therefore ∠ A+∠ ADC=180°$，
$\because ∠ A=130°$，$\therefore ∠ ADC=∠ EDC=50°$。
$\because EF⊥ BD$，$\therefore ∠ EOD=90°$，在$Rt△ OED$中，$∠ OED=70°$，
$\therefore ∠ EDO=90°-70°=20°$。
由(1)知四边形EBFD是菱形，$\therefore BD$平分$∠ EDF$，即$∠ EDF=2∠ EDO=40°$，
$\therefore ∠ CDF=∠ EDC-∠ EDF=50°-40°=10°$。
(3) 在$□ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore △ ABF$与$△ EBF$同底等高，$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ EBF}$。
$\because$四边形EBFD是菱形，$\therefore S_{△ EBF}=2S_{△ OBF}$，即$S_{△ ABG}+S_{△ BGF}=2(S_{△ CGF}+S_{△ BGF})$。
已知$S_{△ ABG}=6S_{△ CGF}$，代入得：$6S_{△ CGF}+S_{△ BGF}=2(S_{△ CGF}+S_{△ BGF})$，
整理得：$S_{△ BGF}=4S_{△ CGF}$。
$\because △ BGF$和$△ OGF$等高，$\therefore BG:OG=4:1$，设$OG=m$，则$BG=4m$，$OB=5m$。
在$Rt△ BOF$中，$OF^2=BF^2-OB^2=(4\sqrt{7})^2-(5m)^2=112-25m^2$；
在$Rt△ OGF$中，$OF^2=GF^2-OG^2=4^2-m^2=16-m^2$；
$\therefore 112-25m^2=16-m^2$，解得$m=2$（$m＞0$），故$OG=2$，$BG=8$，$OF=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ OGF$中，$\cos∠ OGF=\frac{OG}{GF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ OGF=60°$，故$∠ AGB=∠ OGF=60°$。
$\because S_{△ CGF}=\frac{1}{2}× OG× OF=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$\therefore S_{△ ABG}=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
过$A$作$AH⊥ BG$于$H$，$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× BG× AH=\frac{1}{2}×8× AH=12\sqrt{3}$，解得$AH=3\sqrt{3}$。
在$Rt△ AHG$中，$∠ AGH=60°$，$HG=\frac{AH}{\tan60°}=3$，$\therefore BH=BG-HG=5$，
在$Rt△ ABH$中，$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{5^2+(3\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 四边形EBFD是菱形；
(2) $∠ CDF=10°$；
(3) $∠ AGB=60°$，$AB=2\sqrt{13}$；
【知识点】平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】本题是平行四边形与菱形的综合应用，融合了全等三角形、直角三角形性质、面积转化等知识点，解题时需灵活运用几何图形的性质，通过设未知数建立方程求解，对学生的逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】0.5
1. 第(1)问：要判断四边形EBFD的形状，先利用平行四边形ABCD对边平行的性质得到内错角相等；再结合EF是BD的中垂线，得到BO=DO及直角，通过全等三角形证明BF=DE，结合AD//BC推出四边形EBFD是平行四边形，最后由EF⊥BD，根据菱形判定定理得出结论。
2. 第(2)问：利用平行四边形邻角互补求出∠EDC，再在Rt△OED中计算∠EDO，结合菱形对角线平分内角得到∠EDF，通过角的差求出∠CDF。
3. 第(3)问：利用平行四边形同底等高三角形面积相等，结合菱形的面积关系转化面积比，得到线段比例；设未知数用勾股定理列方程求解线段长度，再通过直角三角形的角度关系和勾股定理求出∠AGB和AB的长。
【解析】
(1) 四边形EBFD是菱形，理由如下：
在$□ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore ∠ EDO=∠ FBO$。
$\because EF$为$BD$的中垂线，$\therefore BO=DO$，$∠ EOD=∠ FOB=90°$，$EF⊥ BD$。
在$△ BOF$和$△ DOE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ FBO=∠ EDO \\ BO=DO \\ ∠ FOB=∠ EOD\end{array} $
$\therefore △ BOF≌△ DOE$（ASA），$\therefore BF=DE$。
又$\because AD// BC$，即$DE// BF$，且$DE=BF$，$\therefore$四边形EBFD是平行四边形。
$\because EF⊥ BD$，$\therefore$平行四边形EBFD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 在$□ABCD$中，$AB// DC$，$\therefore ∠ A+∠ ADC=180°$，
$\because ∠ A=130°$，$\therefore ∠ ADC=∠ EDC=50°$。
$\because EF⊥ BD$，$\therefore ∠ EOD=90°$，在$Rt△ OED$中，$∠ OED=70°$，
$\therefore ∠ EDO=90°-70°=20°$。
由(1)知四边形EBFD是菱形，$\therefore BD$平分$∠ EDF$，即$∠ EDF=2∠ EDO=40°$，
$\therefore ∠ CDF=∠ EDC-∠ EDF=50°-40°=10°$。
(3) 在$□ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore △ ABF$与$△ EBF$同底等高，$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ EBF}$。
$\because$四边形EBFD是菱形，$\therefore S_{△ EBF}=2S_{△ OBF}$，即$S_{△ ABG}+S_{△ BGF}=2(S_{△ CGF}+S_{△ BGF})$。
已知$S_{△ ABG}=6S_{△ CGF}$，代入得：$6S_{△ CGF}+S_{△ BGF}=2(S_{△ CGF}+S_{△ BGF})$，
整理得：$S_{△ BGF}=4S_{△ CGF}$。
$\because △ BGF$和$△ OGF$等高，$\therefore BG:OG=4:1$，设$OG=m$，则$BG=4m$，$OB=5m$。
在$Rt△ BOF$中，$OF^2=BF^2-OB^2=(4\sqrt{7})^2-(5m)^2=112-25m^2$；
在$Rt△ OGF$中，$OF^2=GF^2-OG^2=4^2-m^2=16-m^2$；
$\therefore 112-25m^2=16-m^2$，解得$m=2$（$m＞0$），故$OG=2$，$BG=8$，$OF=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ OGF$中，$\cos∠ OGF=\frac{OG}{GF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ OGF=60°$，故$∠ AGB=∠ OGF=60°$。
$\because S_{△ CGF}=\frac{1}{2}× OG× OF=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$\therefore S_{△ ABG}=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
过$A$作$AH⊥ BG$于$H$，$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× BG× AH=\frac{1}{2}×8× AH=12\sqrt{3}$，解得$AH=3\sqrt{3}$。
在$Rt△ AHG$中，$∠ AGH=60°$，$HG=\frac{AH}{\tan60°}=3$，$\therefore BH=BG-HG=5$，
在$Rt△ ABH$中，$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{5^2+(3\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 四边形EBFD是菱形；
(2) $∠ CDF=10°$；
(3) $∠ AGB=60°$，$AB=2\sqrt{13}$；
【知识点】平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】本题是平行四边形与菱形的综合应用，融合了全等三角形、直角三角形性质、面积转化等知识点，解题时需灵活运用几何图形的性质，通过设未知数建立方程求解，对学生的逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】0.5
