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9.如图,在一次数学实践活动课上,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠。折痕分别为AB,CD。若$CD// BE$,且$∠ ABC=3∠ EBC$,则$∠ 1$的度数为 (
A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
A
)A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
9.A 【解析】由折叠可知,$2∠ ABE+∠ CBE=180°$,因为$∠ ABC=3∠ EBC$,$∠ ABC=∠ ABE+∠ CBE$,所以$∠ ABE=2∠ CBE$。所以$4∠ CBE+∠ CBE=180°$。所以$∠ CBE=36°$。因为$BE// CD$,所以$∠ BCD=180°-∠ CBE=144°$。由折叠可知,$2∠ DCF+∠ 1=180°$,因为$∠ BCD=∠ 1+∠ DCF$,所以$2(144°-∠ 1)+∠ 1=180°$。所以$∠ 1=108°$。故选A。
解析
【分析】
本题是纸带折叠问题，需结合折叠的性质和平行线的性质逐步推导。首先利用折叠前后角的等量关系，结合已知∠ABC与∠EBC的倍数关系，求出∠EBC的度数；再根据CD//BE，利用平行线同旁内角互补的性质得到∠BCD的度数；最后再次运用折叠性质，结合∠BCD与∠1、∠DCF的关系，计算出∠1的度数。
【解析】
解：设∠EBC = x，
由∠ABC = 3∠EBC，得∠ABC = 3x，
又因为∠ABC = ∠ABE + ∠EBC，所以∠ABE = 3x - x = 2x。
根据折叠的性质，折痕AB使2∠ABE + ∠EBC = 180°（平角定义），
代入得：2×2x + x = 180°，即5x = 180°，解得x = 36°，故∠EBC = 36°。
因为CD//BE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠BCD + ∠EBC = 180°，
所以∠BCD = 180° - 36° = 144°。
根据折叠的性质，折痕CD使2∠DCF + ∠1 = 180°，
又∠BCD = ∠1 + ∠DCF，所以∠DCF = 144° - ∠1，
代入2∠DCF + ∠1 = 180°得：
2×(144° - ∠1) + ∠1 = 180°，
计算得：288° - ∠1 = 180°，
解得∠1 = 108°。
【答案】
108°
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查折叠性质与平行线性质的应用，关键是理清折叠前后角的等量关系，结合平行线的角的关系建立等式，逐步推导求解，需注意角之间的和差关系，步骤清晰即可得出结果。
【难度系数】
0.5
本题是纸带折叠问题，需结合折叠的性质和平行线的性质逐步推导。首先利用折叠前后角的等量关系，结合已知∠ABC与∠EBC的倍数关系，求出∠EBC的度数；再根据CD//BE，利用平行线同旁内角互补的性质得到∠BCD的度数；最后再次运用折叠性质，结合∠BCD与∠1、∠DCF的关系，计算出∠1的度数。
【解析】
解：设∠EBC = x，
由∠ABC = 3∠EBC，得∠ABC = 3x，
又因为∠ABC = ∠ABE + ∠EBC，所以∠ABE = 3x - x = 2x。
根据折叠的性质，折痕AB使2∠ABE + ∠EBC = 180°（平角定义），
代入得：2×2x + x = 180°，即5x = 180°，解得x = 36°，故∠EBC = 36°。
因为CD//BE，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠BCD + ∠EBC = 180°，
所以∠BCD = 180° - 36° = 144°。
根据折叠的性质，折痕CD使2∠DCF + ∠1 = 180°，
又∠BCD = ∠1 + ∠DCF，所以∠DCF = 144° - ∠1，
代入2∠DCF + ∠1 = 180°得：
2×(144° - ∠1) + ∠1 = 180°，
计算得：288° - ∠1 = 180°，
解得∠1 = 108°。
【答案】
108°
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查折叠性质与平行线性质的应用，关键是理清折叠前后角的等量关系，结合平行线的角的关系建立等式，逐步推导求解，需注意角之间的和差关系，步骤清晰即可得出结果。
【难度系数】
0.5
10.如图,在正方形ABCD中,E为CD延长线上一点,以CE为边向右作正方形CEFG,连结AE,AG,EG。若要求出$△ AEG$的面积,只需知道
(
A.AB的长
B.AG的长
C.AE的长
D.CG的长
(
D
)A.AB的长
B.AG的长
C.AE的长
D.CG的长
答案
10.D 【解析】设正方形$ABCD$的边长为$a$,正方形$CEFG$的边长为$b$,所以$AB=BC=CD=a$,$CG=CE=b$。所以$BG=BC+CG=a+b$。所以$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}BG· AB=\frac{1}{2}a(a+b)$,$S_{△ CGE}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}b^2$。又因为$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}(AB+CE)· BC=\frac{1}{2}a(a+b)$,所以$S_{△ AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△ CGE}-S_{△ ABG}=\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}b^2$。所以若要求出$△ AEG$的面积,只需知道$CG$的长。故选D。
解析
【分析】要计算△AEG的面积，可采用割补法，通过设两个正方形的边长，将周围规则图形（三角形、梯形）的面积用边长表示，再利用面积和差关系推导△AEG的面积表达式，进而判断所需的边长。
【解析】设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，则$AB=BC=a$，$CG=CE=b$。
1. 计算相关图形面积：
$BG = BC + CG = a + b$，$△ ABG$的面积：$S_{△ ABG} = \frac{1}{2} × BG × AB = \frac{1}{2}a(a + b)$；
$△ CGE$的面积：$S_{△ CGE} = \frac{1}{2} × CG × CE = \frac{1}{2}b^2$；
梯形ABCE的面积：$S_{梯形ABCE} = \frac{1}{2} × (AB + CE) × BC = \frac{1}{2}(a + b)a$；
2. 求$△ AEG$的面积：观察图形可知，$S_{△ AEG} = S_{梯形ABCE} + S_{△ CGE} - S_{△ ABG}$，代入上述表达式化简：
$S_{△ AEG} = \frac{1}{2}a(a + b) + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a(a + b) = \frac{1}{2}b^2$；
3. 由于$b = CG$，因此只需知道$CG$的长即可求出$△ AEG$的面积，故选D。
【答案】D
【知识点】正方形性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】本题运用割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，核心是通过代数化简消去无关边长，推导得出结论，考查几何面积的转化思想和代数运算能力。
【难度系数】0.5
【解析】设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，则$AB=BC=a$，$CG=CE=b$。
1. 计算相关图形面积：
$BG = BC + CG = a + b$，$△ ABG$的面积：$S_{△ ABG} = \frac{1}{2} × BG × AB = \frac{1}{2}a(a + b)$；
$△ CGE$的面积：$S_{△ CGE} = \frac{1}{2} × CG × CE = \frac{1}{2}b^2$；
梯形ABCE的面积：$S_{梯形ABCE} = \frac{1}{2} × (AB + CE) × BC = \frac{1}{2}(a + b)a$；
2. 求$△ AEG$的面积：观察图形可知，$S_{△ AEG} = S_{梯形ABCE} + S_{△ CGE} - S_{△ ABG}$，代入上述表达式化简：
$S_{△ AEG} = \frac{1}{2}a(a + b) + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a(a + b) = \frac{1}{2}b^2$；
3. 由于$b = CG$，因此只需知道$CG$的长即可求出$△ AEG$的面积，故选D。
【答案】D
【知识点】正方形性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】本题运用割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，核心是通过代数化简消去无关边长，推导得出结论，考查几何面积的转化思想和代数运算能力。
【难度系数】0.5
11.若分式$\frac{3}{x-1}$有意义,则$x$的取值范围是
x≠1
。答案
11.$x≠1$
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。对于给定的分式$\frac{3}{x-1}$，只需让它的分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，因此对于分式$\frac{3}{x-1}$，需满足分母$x-1≠0$，解这个不等式得$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础条件，属于分式章节的入门题型，只要掌握“分式分母不能为0”这一核心知识点即可快速解答，是学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。对于给定的分式$\frac{3}{x-1}$，只需让它的分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，因此对于分式$\frac{3}{x-1}$，需满足分母$x-1≠0$，解这个不等式得$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础条件，属于分式章节的入门题型，只要掌握“分式分母不能为0”这一核心知识点即可快速解答，是学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
12.分解因式:$3a - a^{2}=$
a(3−a)
。答案
12.$a(3-a)$
解析
【分析】分解因式时，先观察多项式各项是否存在公因式，本题中多项式$3a - a^2$的两项都含有公因式$a$，因此可通过提取公因式的方法完成因式分解。
【解析】解：对$3a - a^2$提取公因式$a$，可得：
$3a - a^2 = a(3 - a)$
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是基础的因式分解题目，直接考查提公因式法的应用，属于因式分解中最基础的题型，解题思路清晰，步骤简单。
【难度系数】0.9
【解析】解：对$3a - a^2$提取公因式$a$，可得：
$3a - a^2 = a(3 - a)$
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是基础的因式分解题目，直接考查提公因式法的应用，属于因式分解中最基础的题型，解题思路清晰，步骤简单。
【难度系数】0.9
13. 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{5}$，则$\dfrac{a}{a+b}=$$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.$\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】已知两个数的比值，求含这两个数的分式的值，可采用设参数法简化计算：先根据已知比例设出a和b的表达式，再代入所求分式，约去参数即可得到结果。
【解析】解：由$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$，保证分母不为0），则$b=5k$。
将$a=4k$，$b=5k$代入$\dfrac{a}{a+b}$得：
$\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{4k}{4k+5k}=\dfrac{4k}{9k}=\dfrac{4}{9}$。
【答案】$\dfrac{4}{9}$
【知识点】比例的性质，分式化简求值
【点评】本题是比例相关的基础计算题，通过设参数法将抽象的比例关系转化为具体的代数式，计算简便，是解决此类问题的常用方法，适合巩固比例知识点的基础练习。
【难度系数】0.8
【解析】解：由$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$，保证分母不为0），则$b=5k$。
将$a=4k$，$b=5k$代入$\dfrac{a}{a+b}$得：
$\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{4k}{4k+5k}=\dfrac{4k}{9k}=\dfrac{4}{9}$。
【答案】$\dfrac{4}{9}$
【知识点】比例的性质，分式化简求值
【点评】本题是比例相关的基础计算题，通过设参数法将抽象的比例关系转化为具体的代数式，计算简便，是解决此类问题的常用方法，适合巩固比例知识点的基础练习。
【难度系数】0.8
14. 如图1,为响应国家新能源建设,浙江某市公交站亭装上了太阳能电池板。当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为62°,如图2,电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直,此时电池板CD与水平线夹角为48°,要使AB// CD,需将电池板CD逆时针旋转α°,则α为
20
。(0答案
14.20
解析
【分析】要解决本题，需先求出电池板AB与水平线的夹角，再结合CD当前与水平线的夹角，根据平行线的角度关系计算旋转角度α。首先利用AB与太阳光线垂直的关系，结合太阳光线与水平线的夹角，求出AB与水平线的夹角；再根据AB//CD时两者与水平线的夹角相等，计算CD需要旋转的角度。
【解析】
1. 求AB与水平线的夹角：已知太阳光线与水平线最大夹角为62°，且AB与该太阳光线垂直，因此AB与水平线的夹角为 $90° - 62° = 28°$。
2. 计算旋转角度α：当前CD与水平线夹角为48°，要使AB//CD，则CD与水平线的夹角需调整为28°，因此CD逆时针旋转的角度 $α = 48° - 28° = 20°$。
【答案】20
【知识点】平行线性质、角度计算
【点评】本题结合实际场景考查几何角度的应用，核心是利用垂直和平行的角度关系推导，难度适中，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 求AB与水平线的夹角：已知太阳光线与水平线最大夹角为62°，且AB与该太阳光线垂直，因此AB与水平线的夹角为 $90° - 62° = 28°$。
2. 计算旋转角度α：当前CD与水平线夹角为48°，要使AB//CD，则CD与水平线的夹角需调整为28°，因此CD逆时针旋转的角度 $α = 48° - 28° = 20°$。
【答案】20
【知识点】平行线性质、角度计算
【点评】本题结合实际场景考查几何角度的应用，核心是利用垂直和平行的角度关系推导，难度适中，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
15.若$8^{x}· 2^{y}=16$，则$3x+y=$
4
。答案
15.4 【解析】因为$8^x· 2^y=16$,所以$(2^3)^x· 2^y=2^{3x}· 2^y=2^{3x+y}=2^4$。所以$3x+y=4$。
解析
【分析】要解决这个问题，需利用幂的运算性质，先将等式两边的底数统一为2，再通过同底数幂的乘法法则化简左边，结合右边的结果得到指数关系，进而求出$3x+y$的值。
【解析】因为$8^x·2^y = 16$，先将各数转化为以2为底的幂：$8 = 2^3$，$16 = 2^4$，所以左边可变形为$(2^3)^x·2^y$；根据幂的乘方法则$(a^m)^n = a^{mn}$，得$(2^3)^x = 2^{3x}$；再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n = a^{m+n}$，则$2^{3x}·2^y = 2^{3x+y}$；此时等式变为$2^{3x+y} = 2^4$，由于底数相同且不为1，指数相等，因此$3x + y = 4$。
【答案】4
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】本题考查指数运算的基本法则，核心是统一底数后利用幂的运算性质化简，属于基础题型，需熟练掌握幂的运算公式。
【难度系数】0.6
【解析】因为$8^x·2^y = 16$，先将各数转化为以2为底的幂：$8 = 2^3$，$16 = 2^4$，所以左边可变形为$(2^3)^x·2^y$；根据幂的乘方法则$(a^m)^n = a^{mn}$，得$(2^3)^x = 2^{3x}$；再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n = a^{m+n}$，则$2^{3x}·2^y = 2^{3x+y}$；此时等式变为$2^{3x+y} = 2^4$，由于底数相同且不为1，指数相等，因此$3x + y = 4$。
【答案】4
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】本题考查指数运算的基本法则，核心是统一底数后利用幂的运算性质化简，属于基础题型，需熟练掌握幂的运算公式。
【难度系数】0.6
16.“九宫图”又称“龟背图”。数学上的“九宫图”所体现的是一个$3×3$表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方。如图所示为一个满足条件的三阶幻方的一部分，则$x$的值为
2
。答案
16.2 【解析】如图,设第二行第二个方格中的数字为$a$,则第一行第二个方格中的数为$2a+4$,第二行第一个方格中的数为$2a-8$,第三行第三个方格中的数为$2a-x$。根据题意得$x+2a-8=-4+2a-x$,解得$x=2$。所以$x$的值为2。
解析
【分析】
本题是三阶幻方（九宫图）问题，核心性质为每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。我们先设中间方格的数为a，根据幻方的和相等性质，建立含x和a的方程，消去参数a即可求出x的值。
【解析】
设第二行中间方格的数字为a，根据三阶幻方的性质，每行的三个数之和相等，据此列出方程：
$x + (2a - 8) = -4 + (2a - x)$
化简方程：
$x + 2a - 8 = 2a - 4 - x$
两边同时减去$2a$，得：
$x - 8 = -4 - x$
移项合并同类项：
$2x = 4$
解得：$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
三阶幻方、一元一次方程
【点评】
本题考查三阶幻方的性质与一元一次方程的应用，解题关键是利用幻方“行、列和相等”的特点建立方程，通过消去中间参数a快速求出x，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是三阶幻方（九宫图）问题，核心性质为每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。我们先设中间方格的数为a，根据幻方的和相等性质，建立含x和a的方程，消去参数a即可求出x的值。
【解析】
设第二行中间方格的数字为a，根据三阶幻方的性质，每行的三个数之和相等，据此列出方程：
$x + (2a - 8) = -4 + (2a - x)$
化简方程：
$x + 2a - 8 = 2a - 4 - x$
两边同时减去$2a$，得：
$x - 8 = -4 - x$
移项合并同类项：
$2x = 4$
解得：$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
三阶幻方、一元一次方程
【点评】
本题考查三阶幻方的性质与一元一次方程的应用，解题关键是利用幻方“行、列和相等”的特点建立方程，通过消去中间参数a快速求出x，难度适中。
【难度系数】
0.5
17.(8分)计算：$(\dfrac{1}{2})^{-2}+(-1)^{3}-(π - 3.14)^{0}$。
答案
17.原式=2。
解析
【分析】
本题是有理数的混合运算，需先分别计算负整数指数幂、乘方、零指数幂，再进行加减运算。解题时要牢记相关公式：非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；$-1$的奇数次方为$-1$，偶数次方为$1$；任何非零数的$0$次方都等于$1$。
【解析】
原式$=(\frac{1}{2})^{-2}+(-1)^3-(π - 3.14)^0$
$=2^2 + (-1) - 1$
$=4 - 1 - 1$
$=2$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】
本题考查有理数混合运算的基本运算，涉及负整数指数幂、零指数幂和乘方的基础计算，属于常规基础题，只要掌握相关公式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题是有理数的混合运算，需先分别计算负整数指数幂、乘方、零指数幂，再进行加减运算。解题时要牢记相关公式：非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；$-1$的奇数次方为$-1$，偶数次方为$1$；任何非零数的$0$次方都等于$1$。
【解析】
原式$=(\frac{1}{2})^{-2}+(-1)^3-(π - 3.14)^0$
$=2^2 + (-1) - 1$
$=4 - 1 - 1$
$=2$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】
本题考查有理数混合运算的基本运算，涉及负整数指数幂、零指数幂和乘方的基础计算，属于常规基础题，只要掌握相关公式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
