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【例4】 如图，直线$ l_1 ⊥ x $轴于点$ A(2,0) $，点$ B $是直线$ l_1 $上的动点. 直线$ l_2: y=x+1 $交$ l_1 $于点$ C $，过点$ B $作直线$ l_3 ⊥ l_2 $，垂足为$ D $，过点$ O,B $的直线$ l_4 $交$ l_2 $于点$ E $，当直线$ l_1,l_2,l_3 $能围成三角形时，设该三角形的面积为$ S_1 $，当直线$ l_2,l_3,l_4 $能围成三角形时，设该三角形的面积为$ S_2 $.
(1)若点$ B $在线段$ AC $上，且$ S_1=S_2 $，则点$ B $的坐标为________；
(2)点$ B $在直线$ l_1 $，且$ S_2=\sqrt{3}S_1 $，则$ ∠ BOA $的度数为________.
【分析】 根据题意可知，$ △ BDC $的面积是$ S_1 $，$ △ BDE $的面积是$ S_2 $.
(1)先画出符合题意的图形，当$ S_1=S_2 $时，$ D $是$ CE $的中点，根据$ ∠ ACE=45° $得到$ OB ⊥ l_1 $，进而$ A,B $重合；
(2)根据点$ B $的运动画出所有符合题意的图形，①当点$ B $在线段$ CA $上时，$ ∠ BOA=15° $；②当点$ B $在$ CA $的延长线上时，$ ∠ BOA=75° $.
【解】 (1)设直线$ l_2 $与$ x $轴交于$ H(-1,0) $，与$ y $轴交于$ G(0,1) $，$ \therefore ∠ AHC=45° $，$ \because AC ⊥ x $轴，$ \therefore ∠ ACH=45° $，$ \because BD ⊥ CD $，$ \therefore ∠ CBD=45° $，$ \because S_1=S_2 $，$ \therefore CD=ED $，$ \because CD=BD $，$ \therefore CD=BD=ED $，$ \therefore ∠ CBE=90° $，$ \therefore OB ⊥ l_1 $，$ \therefore A,B $重合，$ \therefore B(2,0) $.故答案为$ (2,0) $；
(1)若点$ B $在线段$ AC $上，且$ S_1=S_2 $，则点$ B $的坐标为________；
(2)点$ B $在直线$ l_1 $，且$ S_2=\sqrt{3}S_1 $，则$ ∠ BOA $的度数为________.
【分析】 根据题意可知，$ △ BDC $的面积是$ S_1 $，$ △ BDE $的面积是$ S_2 $.
(1)先画出符合题意的图形，当$ S_1=S_2 $时，$ D $是$ CE $的中点，根据$ ∠ ACE=45° $得到$ OB ⊥ l_1 $，进而$ A,B $重合；
(2)根据点$ B $的运动画出所有符合题意的图形，①当点$ B $在线段$ CA $上时，$ ∠ BOA=15° $；②当点$ B $在$ CA $的延长线上时，$ ∠ BOA=75° $.
【解】 (1)设直线$ l_2 $与$ x $轴交于$ H(-1,0) $，与$ y $轴交于$ G(0,1) $，$ \therefore ∠ AHC=45° $，$ \because AC ⊥ x $轴，$ \therefore ∠ ACH=45° $，$ \because BD ⊥ CD $，$ \therefore ∠ CBD=45° $，$ \because S_1=S_2 $，$ \therefore CD=ED $，$ \because CD=BD $，$ \therefore CD=BD=ED $，$ \therefore ∠ CBE=90° $，$ \therefore OB ⊥ l_1 $，$ \therefore A,B $重合，$ \therefore B(2,0) $.故答案为$ (2,0) $；
答案
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$；(2) $\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{75°}$
解析
【分析】
首先明确三条直线围成的三角形：$l_1$、$l_2$、$l_3$围成等腰直角$△ BDC$，面积为$S_1$；$l_2$、$l_3$、$l_4$围成$△ BDE$，面积为$S_2$，两个三角形共享高$BD$，面积比等于底$CD$与$DE$的比。
(1) 先求$l_1$与$l_2$的交点$C$坐标，由$l_2$与$x$轴夹角为$45°$可得$△ BDC$是等腰直角三角形，$CD=BD$。当$S_1=S_2$时，得$CD=DE$，推出$BD$垂直平分$CE$，得$∠ CBE=90°$，即$OB⊥ l_1$，结合$l_1$垂直$x$轴，可得$B$点纵坐标为0，与$A$点重合。
(2) 当$S_2=\sqrt{3}S_1$时，得$DE=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}BD$，在$Rt△ BDE$中推出$∠ DBE=60°$，再分两种情况讨论点$B$的位置：①点$B$在线段$AC$上；②点$B$在$A$点下方的$l_1$上，结合角度关系计算$∠ BOA$的度数。
【解析】
(1) 直线$l_1⊥ x$轴于$A(2,0)$，故$l_1$的解析式为$x=2$，将$x=2$代入$l_2:y=x+1$，得$y=3$，即$C(2,3)$。
直线$l_2$与$x$轴交点为$(-1,0)$，与$y$轴交点为$(0,1)$，故$l_2$与$x$轴夹角为$45°$，结合$l_1⊥ x$轴，可得$∠ BCD=45°$。
$\because BD⊥ l_2$，$\therefore △ BDC$为等腰直角三角形，$CD=BD$。
$S_1=\frac{1}{2}· CD· BD$，$S_2=\frac{1}{2}· DE· BD$，若$S_1=S_2$，则$CD=DE$，即$BD$垂直平分$CE$，$\therefore BC=BE$。
又$\because CD=BD=DE$，$\therefore ∠ BCE=∠ BEC=45°$，$\therefore ∠ CBE=90°$，即$OB⊥ l_1$。
$\because l_1⊥ x$轴，$\therefore OB// x$轴，点$B$纵坐标为0，又$B$在$l_1$上，故$B(2,0)$。
(2) 若$S_2=\sqrt{3}S_1$，由$S_1=\frac{1}{2}· CD· BD$，$S_2=\frac{1}{2}· DE· BD$，得$DE=\sqrt{3}CD$。
$\because △ BDC$为等腰直角三角形，$CD=BD$，$\therefore DE=\sqrt{3}BD$。
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ DBE=\frac{DE}{BD}=\sqrt{3}$，$\therefore ∠ DBE=60°$，分两种情况：
① 当点$B$在线段$AC$上时，$∠ CBD=45°$，$\therefore ∠ CBO=∠ DBE-∠ CBD=15°$，$\because l_1// y$轴，$\therefore ∠ BOA=∠ CBO=15°$；
② 当点$B$在$A$点下方的$l_1$上时，$∠ CBD=45°$，$\therefore ∠ CBO=∠ DBE+∠ CBD=105°$，$\therefore ∠ BOA=180°-105°=75°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$；(2) $\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
一次函数交点计算，等腰直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题将一次函数与三角形面积、角度计算结合，解题时需先根据直线位置关系判断三角形的形状，将面积关系转化为线段长度关系，再结合分类讨论思想避免漏解，考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.4
首先明确三条直线围成的三角形：$l_1$、$l_2$、$l_3$围成等腰直角$△ BDC$，面积为$S_1$；$l_2$、$l_3$、$l_4$围成$△ BDE$，面积为$S_2$，两个三角形共享高$BD$，面积比等于底$CD$与$DE$的比。
(1) 先求$l_1$与$l_2$的交点$C$坐标，由$l_2$与$x$轴夹角为$45°$可得$△ BDC$是等腰直角三角形，$CD=BD$。当$S_1=S_2$时，得$CD=DE$，推出$BD$垂直平分$CE$，得$∠ CBE=90°$，即$OB⊥ l_1$，结合$l_1$垂直$x$轴，可得$B$点纵坐标为0，与$A$点重合。
(2) 当$S_2=\sqrt{3}S_1$时，得$DE=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}BD$，在$Rt△ BDE$中推出$∠ DBE=60°$，再分两种情况讨论点$B$的位置：①点$B$在线段$AC$上；②点$B$在$A$点下方的$l_1$上，结合角度关系计算$∠ BOA$的度数。
【解析】
(1) 直线$l_1⊥ x$轴于$A(2,0)$，故$l_1$的解析式为$x=2$，将$x=2$代入$l_2:y=x+1$，得$y=3$，即$C(2,3)$。
直线$l_2$与$x$轴交点为$(-1,0)$，与$y$轴交点为$(0,1)$，故$l_2$与$x$轴夹角为$45°$，结合$l_1⊥ x$轴，可得$∠ BCD=45°$。
$\because BD⊥ l_2$，$\therefore △ BDC$为等腰直角三角形，$CD=BD$。
$S_1=\frac{1}{2}· CD· BD$，$S_2=\frac{1}{2}· DE· BD$，若$S_1=S_2$，则$CD=DE$，即$BD$垂直平分$CE$，$\therefore BC=BE$。
又$\because CD=BD=DE$，$\therefore ∠ BCE=∠ BEC=45°$，$\therefore ∠ CBE=90°$，即$OB⊥ l_1$。
$\because l_1⊥ x$轴，$\therefore OB// x$轴，点$B$纵坐标为0，又$B$在$l_1$上，故$B(2,0)$。
(2) 若$S_2=\sqrt{3}S_1$，由$S_1=\frac{1}{2}· CD· BD$，$S_2=\frac{1}{2}· DE· BD$，得$DE=\sqrt{3}CD$。
$\because △ BDC$为等腰直角三角形，$CD=BD$，$\therefore DE=\sqrt{3}BD$。
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ DBE=\frac{DE}{BD}=\sqrt{3}$，$\therefore ∠ DBE=60°$，分两种情况：
① 当点$B$在线段$AC$上时，$∠ CBD=45°$，$\therefore ∠ CBO=∠ DBE-∠ CBD=15°$，$\because l_1// y$轴，$\therefore ∠ BOA=∠ CBO=15°$；
② 当点$B$在$A$点下方的$l_1$上时，$∠ CBD=45°$，$\therefore ∠ CBO=∠ DBE+∠ CBD=105°$，$\therefore ∠ BOA=180°-105°=75°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$；(2) $\boldsymbol{15°}$或$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
一次函数交点计算，等腰直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题将一次函数与三角形面积、角度计算结合，解题时需先根据直线位置关系判断三角形的形状，将面积关系转化为线段长度关系，再结合分类讨论思想避免漏解，考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.4
【例5】 在数学活动课上，小明做了一个梯形纸板，测得一底为10 cm，高为12 cm.两腰长分别为15 cm和20 cm，求该梯形纸板另一底的长.
【分析】 由于本题没有给出梯形的图形，因此梯形的形状是不确定的，故需分情况讨论.
【解】 设梯形ABCD中，AD//BC，且AD=10 cm，AB=15 cm，CD=20 cm，高AE=12 cm.
画出梯形ABCD有如下三种情况：
如图①，②，③，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则EF=10 cm，AE=DF=12 cm.
在Rt△ABE中，BE=√(AB²−AE²)=√(15²−12²)=9（cm）. 同理 CF=√(20²−12²)=16（cm）.
在图①中，BC=BE+EF+FC=35（cm），在图②中，BC=EF−BE+FC=17（cm），在图③中，BC=BE+EF−CF=3（cm）.
综上所述，这个梯形纸板另一底边的长为35 cm或17 cm或3 cm.
【分析】 由于本题没有给出梯形的图形，因此梯形的形状是不确定的，故需分情况讨论.
【解】 设梯形ABCD中，AD//BC，且AD=10 cm，AB=15 cm，CD=20 cm，高AE=12 cm.
画出梯形ABCD有如下三种情况：
如图①，②，③，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则EF=10 cm，AE=DF=12 cm.
在Rt△ABE中，BE=√(AB²−AE²)=√(15²−12²)=9（cm）. 同理 CF=√(20²−12²)=16（cm）.
在图①中，BC=BE+EF+FC=35（cm），在图②中，BC=EF−BE+FC=17（cm），在图③中，BC=BE+EF−CF=3（cm）.
综上所述，这个梯形纸板另一底边的长为35 cm或17 cm或3 cm.
答案
解：设梯形$ABCD$中，$AD// BC$，且$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，梯形的高为$12\ \mathrm{cm}$。
分三种情况讨论：
分别过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$，
由$AD// BC$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，可得四边形$AEFD$是矩形，
因此$EF=AD=10\ \mathrm{cm}$，$AE=DF=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \mathrm{cm}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ \mathrm{cm}$。
如图①，点$B,E,F,C$按顺序排列时：
$BC=BE+EF+CF=9+10+16=35\ \mathrm{cm}$。
如图②，点$E,B,F,C$按顺序排列时：
$BC=EF-BE+CF=10-9+16=17\ \mathrm{cm}$。
如图③，点$B,C,E,F$按顺序排列时：
$BC=BE+EF-CF=9+10-16=3\ \mathrm{cm}$。
综上，该梯形纸板另一底的长为$35\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$。
分三种情况讨论：
分别过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$，
由$AD// BC$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，可得四边形$AEFD$是矩形，
因此$EF=AD=10\ \mathrm{cm}$，$AE=DF=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \mathrm{cm}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ \mathrm{cm}$。
如图①，点$B,E,F,C$按顺序排列时：
$BC=BE+EF+CF=9+10+16=35\ \mathrm{cm}$。
如图②，点$E,B,F,C$按顺序排列时：
$BC=EF-BE+CF=10-9+16=17\ \mathrm{cm}$。
如图③，点$B,C,E,F$按顺序排列时：
$BC=BE+EF-CF=9+10-16=3\ \mathrm{cm}$。
综上，该梯形纸板另一底的长为$35\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题未给出梯形的具体图形，梯形两腰的相对位置不确定，因此需分类讨论求解。解题思路如下：第一步，采用梯形常用辅助线作法，过两个上底端点向下底作高，将梯形分割为1个矩形和2个直角三角形；第二步，利用矩形对边相等的性质，得到高相等、且两垂足间的线段长度等于上底长度；第三步，结合已知的腰长和高，用勾股定理分别计算两个直角三角形在底边上的直角边长度；第四步，根据垂足与下底端点的不同位置关系，分别计算下底的长度。
【解析】
设梯形$ABCD$中，$AD// BC$，且$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，梯形的高为$12\ \mathrm{cm}$。
分三种情况讨论：
分别过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$，
由$AD// BC$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，可得四边形$AEFD$是矩形，
因此$EF=AD=10\ \mathrm{cm}$，$AE=DF=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \mathrm{cm}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ \mathrm{cm}$。
如图①，点$B,E,F,C$按顺序排列时：
$BC=BE+EF+CF=9+10+16=35\ \mathrm{cm}$。
如图②，点$E,B,F,C$按顺序排列时：
$BC=EF-BE+CF=10-9+16=17\ \mathrm{cm}$。
如图③，点$B,C,E,F$按顺序排列时：
$BC=BE+EF-CF=9+10-16=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$或$35\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是无图几何题的典型考法，核心易错点是容易忽略图形的多种可能性导致漏解。题目同时考查了梯形作高辅助线的常规用法，以及勾股定理的计算应用，能够有效锻炼思维的严谨性和全面性。
【难度系数】
0.5
本题未给出梯形的具体图形，梯形两腰的相对位置不确定，因此需分类讨论求解。解题思路如下：第一步，采用梯形常用辅助线作法，过两个上底端点向下底作高，将梯形分割为1个矩形和2个直角三角形；第二步，利用矩形对边相等的性质，得到高相等、且两垂足间的线段长度等于上底长度；第三步，结合已知的腰长和高，用勾股定理分别计算两个直角三角形在底边上的直角边长度；第四步，根据垂足与下底端点的不同位置关系，分别计算下底的长度。
【解析】
设梯形$ABCD$中，$AD// BC$，且$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，梯形的高为$12\ \mathrm{cm}$。
分三种情况讨论：
分别过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$，
由$AD// BC$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，可得四边形$AEFD$是矩形，
因此$EF=AD=10\ \mathrm{cm}$，$AE=DF=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \mathrm{cm}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\ \mathrm{cm}$。
如图①，点$B,E,F,C$按顺序排列时：
$BC=BE+EF+CF=9+10+16=35\ \mathrm{cm}$。
如图②，点$E,B,F,C$按顺序排列时：
$BC=EF-BE+CF=10-9+16=17\ \mathrm{cm}$。
如图③，点$B,C,E,F$按顺序排列时：
$BC=BE+EF-CF=9+10-16=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}$或$17\ \mathrm{cm}$或$35\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是无图几何题的典型考法，核心易错点是容易忽略图形的多种可能性导致漏解。题目同时考查了梯形作高辅助线的常规用法，以及勾股定理的计算应用，能够有效锻炼思维的严谨性和全面性。
【难度系数】
0.5
【例6】 在等腰三角形ABC中，AB=5cm，BC=6cm，则△ABC的面积为.
【解】（1）当5cm为腰，6cm为底时，则AB=AC=5cm，如图1.过A点作AD⊥BC于D，所以CD=3，在Rt△ACD中，AD²=AC²−CD²，所以AD²=5²−3²，AD=4，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2)$；
（2）当6cm为腰，5cm为底时，则BC=AC=6cm，如图2.过C点作CD⊥AB于D，所以AD=$\frac{5}{2}$，在Rt△ACD中，CD²=AC²−AD²，所以CD²=$6^2−(\frac{5}{2})^2$，CD=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5}{4}\sqrt{119}(\mathrm{cm}^2)$.
所以△ABC的面积为12cm²或$\frac{5}{4}\sqrt{119}$ cm².
故答案为12cm²或$\frac{5}{4}\sqrt{119}$ cm².
【解】（1）当5cm为腰，6cm为底时，则AB=AC=5cm，如图1.过A点作AD⊥BC于D，所以CD=3，在Rt△ACD中，AD²=AC²−CD²，所以AD²=5²−3²，AD=4，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2)$；
（2）当6cm为腰，5cm为底时，则BC=AC=6cm，如图2.过C点作CD⊥AB于D，所以AD=$\frac{5}{2}$，在Rt△ACD中，CD²=AC²−AD²，所以CD²=$6^2−(\frac{5}{2})^2$，CD=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5}{4}\sqrt{119}(\mathrm{cm}^2)$.
所以△ABC的面积为12cm²或$\frac{5}{4}\sqrt{119}$ cm².
故答案为12cm²或$\frac{5}{4}\sqrt{119}$ cm².
答案
解：
分两种情况讨论：
（1）当腰长为5cm，底边长为6cm时，即$AB=AC=5\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-3^2=16$，
$\therefore AD=4\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm}^2$。
（2）当腰长为6cm，底边长为5cm时，即$BC=AC=6\mathrm{cm}$，$AB=5\mathrm{cm}$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=6^2-(\frac{5}{2})^2=\frac{119}{4}$，
$\therefore CD=\frac{\sqrt{119}}{2}\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
综上，$△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$或$\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
分两种情况讨论：
（1）当腰长为5cm，底边长为6cm时，即$AB=AC=5\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-3^2=16$，
$\therefore AD=4\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm}^2$。
（2）当腰长为6cm，底边长为5cm时，即$BC=AC=6\mathrm{cm}$，$AB=5\mathrm{cm}$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=6^2-(\frac{5}{2})^2=\frac{119}{4}$，
$\therefore CD=\frac{\sqrt{119}}{2}\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
综上，$△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$或$\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
题目给出等腰三角形的两条边长，但未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况分类讨论求解：①当腰长为5cm，底边长为6cm时；②当腰长为6cm，底边长为5cm时。每种情况先利用等腰三角形“三线合一”的性质求出底边一半的长度，再通过勾股定理算出底边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可，本题两种情况均满足三角形三边关系，无需排除。
【解析】
分两种情况讨论：
（1）当腰长为5cm，底边长为6cm时，即$AB=AC=5\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-3^2=16$，
$\therefore AD=4\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm}^2$。
（2）当腰长为6cm，底边长为5cm时，即$BC=AC=6\mathrm{cm}$，$AB=5\mathrm{cm}$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=6^2-(\frac{5}{2})^2=\frac{119}{4}$，
$\therefore CD=\frac{\sqrt{119}}{2}\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
综上，$△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$或$\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm^2}$或$\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的典型题型，核心考查分类讨论思想，未明确腰和底的等腰三角形问题需分情况讨论，避免漏解，解题过程中结合等腰三角形三线合一和勾股定理即可求出对应面积，难度适中。
【难度系数】
0.6
题目给出等腰三角形的两条边长，但未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况分类讨论求解：①当腰长为5cm，底边长为6cm时；②当腰长为6cm，底边长为5cm时。每种情况先利用等腰三角形“三线合一”的性质求出底边一半的长度，再通过勾股定理算出底边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可，本题两种情况均满足三角形三边关系，无需排除。
【解析】
分两种情况讨论：
（1）当腰长为5cm，底边长为6cm时，即$AB=AC=5\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-3^2=16$，
$\therefore AD=4\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm}^2$。
（2）当腰长为6cm，底边长为5cm时，即$BC=AC=6\mathrm{cm}$，$AB=5\mathrm{cm}$。
过点C作$CD⊥ AB$于点D，
由等腰三角形三线合一性质，得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=6^2-(\frac{5}{2})^2=\frac{119}{4}$，
$\therefore CD=\frac{\sqrt{119}}{2}\mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
综上，$△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$或$\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm^2}$或$\frac{5}{4}\sqrt{119}\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的典型题型，核心考查分类讨论思想，未明确腰和底的等腰三角形问题需分情况讨论，避免漏解，解题过程中结合等腰三角形三线合一和勾股定理即可求出对应面积，难度适中。
【难度系数】
0.6
