27. 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，OA₁交AB于点E，OC₁交BC于点F.
(1)求证：$△ AOE ≌ △ BOF$；
(2)如果两个正方形的边长都为$a$，那么正方形$A_1B_1C_1O$绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

27. (1)证明:在正方形$ABCD$中,$AO=BO$,$∠ AOB=90°$,$∠ OAB=∠ OBC=45°$,$\because ∠ AOE+∠ EOB=90°$,$∠ BOF+∠ EOB=90°$,$\therefore ∠ AOE=∠ BOF$；
在$△ AOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OBF,\\OA=OB,\\∠ AOE=∠ BOF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ BOF$；
(2)解:两个正方形重叠部分面积等于$\frac{1}{4}a^2$,$\because △ AOE≌△ BOF$,$\therefore S_{四边形OEBF}=S_{△ EOB}+S_{△ OBF}=S_{△ EOB}+S_{△ AOE}=S_{△ AOB}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}a^2$.

【分析】
(1)要证明△AOE≌△BOF，首先结合正方形的性质推导全等所需条件：正方形ABCD的对角线互相垂直平分且相等，可得AO=BO，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°；再根据同角的余角相等推出∠AOE=∠BOF，即可用ASA判定两个三角形全等。
(2)重叠部分是不规则四边形OEBF，可利用(1)的全等结论，将△OBF的面积等价替换为△AOE的面积，从而把四边形OEBF的面积转化为规则的△AOB的面积，而△AOB的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{4}$，代入边长即可求出结果。
【解析】
(1)证明：在正方形$ABCD$中，$AO=BO$，$∠ AOB=90°$，$∠ OAB=∠ OBC=45°$，
$\because ∠ AOE+∠ EOB=90°$，$∠ BOF+∠ EOB=90°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ BOF$；
在$△ AOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OBF,\\OA=OB,\\∠ AOE=∠ BOF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ BOF$（ASA）；
(2)解：两个正方形重叠部分面积等于$\frac{1}{4}a^2$，理由如下：
$\because △ AOE≌△ BOF$，
$\therefore S_{△AOE}=S_{△BOF}$，
$\therefore S_{四边形OEBF}=S_{△ EOB}+S_{△ OBF}=S_{△ EOB}+S_{△ AOE}=S_{△ AOB}$，
又$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}a^2$，
$\therefore$ 两个正方形重叠部分的面积为$\frac{1}{4}a^2$。
【答案】
(1)△AOE≌△BOF，证明成立；
(2)重叠部分面积为$\boldsymbol{\frac{1}{4}a^2}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等积变换求面积
【点评】
本题是正方形相关的典型综合题，解题核心是利用正方形性质找到全等判定条件，再通过全等实现面积的转化，将不规则图形面积转化为规则图形面积求解，熟练掌握正方形性质和全等判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

28.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x +k^2 +k=0$，若$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是这个方程的两个实数根，第三边$BC$的长为5.
(1)若$k=3$时，请判断$△ ABC$的形状并说明理由；
(2)若$△ ABC$是等腰三角形，求$k$的值.

28. 解:(1)$△ ABC$为直角三角形,理由如下：
当$k=3$时,$x^2-(2×3+1)x+3^2+3=0$,即:$x^2-7x+12=0$,$\therefore (x-3)(x-4)=0$,
$\therefore x_1=3,x_2=4$,$\because 3^2+4^2=25=5^2$,$\therefore △ ABC$为直角三角形；
(2)当$BC$是底边时:则$AB$,$AC$是$△ ABC$的两条腰,$\therefore$方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta =b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=0$,整理,得:$1=0$,等式不成立,故此种情况不存在；
$\therefore BC$是$△ ABC$的一条腰,$\therefore$方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中有一个根为5,$\therefore 5^2-5(2k+1)+k^2+k=0$,解得:$k_1=4$,$k_2=5$,当$k=4$时,方程化为$x^2-9x+20=0$,解得:$x_1=4$,$x_2=5$,满足题意;当$k=5$时,方程化为$x^2-11x+30=0$,解得:$x_1=6$,$x_2=5$,满足题意；
$\therefore$当$△ ABC$是等腰三角形时,$k=4$或5.

【分析】
（1）第一问解题思路：先将k=3代入给定的一元二次方程，求解得到AB、AC的长度，再结合BC=5的条件，用勾股定理逆定理判断三角形形状。
（2）第二问解题思路：等腰三角形需分类讨论两种情况：①BC为底边，此时AB=AC，对应一元二次方程有两个相等实根，通过计算根的判别式判断该情况是否成立；②BC为腰，此时方程有一个根为5，将x=5代入方程求解k，最后验证所求三边长是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
(1) $△ ABC$为直角三角形，理由如下：
当$k=3$时，代入方程得$x^2-(2×3+1)x+3^2+3=0$，即$x^2-7x+12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3,x_2=4$，即AB、AC的长为3和4，
∵ $3^2+4^2=25=5^2$，满足勾股定理的逆定理，
∴ $△ ABC$为直角三角形。
(2) 分两种情况讨论：
① 当BC为底边时，$AB=AC$，即方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2k+1)]^2 - 4(k^2 +k) = 0$，
整理得$4k^2+4k+1 -4k^2-4k = 1=0$，等式不成立，故此种情况不存在；
② 当BC为腰时，方程有一个根为5，将$x=5$代入方程得：
$5^2 -5(2k+1) +k^2 +k = 0$，
整理得$k^2 -9k +20=0$，解得$k_1=4,k_2=5$，
当$k=4$时，方程化为$x^2-9x+20=0$，解得$x_1=4,x_2=5$，三边长为4、5、5，可构成等腰三角形，符合题意；
当$k=5$时，方程化为$x^2-11x+30=0$，解得$x_1=5,x_2=6$，三边长为5、5、6，可构成等腰三角形，符合题意；
综上，$k$的值为4或5。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形；
(2) $k$的值为4或5。
【知识点】
一元二次方程求解，等腰三角形性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形性质结合考查，解题时要注意对等腰三角形的腰和底边进行分类讨论，求出结果后需验证是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

29. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB.

(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE=∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），若∠ABC=58°，求∠DPE的度数并说明理由.

29. (1)证明:在正方形$ABCD$中,$BC=DC$,$∠ BCP=∠ DCP=45°$,$\because$在$△ BCP$和$△ DCP$中,$\begin{cases}BC=DC,\\∠ BCP=∠ DCP,\\PC=PC,\end{cases}$
$\therefore △ BCP≌△ DCP$(SAS)；
(2)证明:由(1)知,$△ BCP≌△ DCP$,$\therefore ∠ CBP=∠ CDP$,$\because PE=PB$,$\therefore ∠ CBP=∠ E$,$\therefore ∠ CDP=∠ E$,$\because ∠ 1=∠ 2$,$\therefore 180°-∠ 1-∠ CDP=180°-∠ 2-∠ E$,即$∠ DPE=∠ DCE$,$\because AB// CD$,$\therefore ∠ DCE=∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ DPE=∠ ABC=90°$；
(3)解:在菱形$ABCD$中,$BC=DC$,$∠ BCP=∠ DCP$,
在$△ BCP$和$△ DCP$中,$\begin{cases}BC=DC,\\∠ BCP=∠ DCP,\\PC=PC,\end{cases}$
$\therefore △ BCP≌△ DCP$(SAS);$\therefore ∠ CBP=∠ CDP$,$\because PE=PB$,$\therefore ∠ CBP=∠ E$,$\therefore ∠ CDP=∠ E$,同理可得:$∠ DPE=∠ DCE$,$\because AB// CD$,$\therefore ∠ DCE=∠ ABC=58°$,$\therefore ∠ DPE=∠ ABC=58°$.

【分析】
(1)要证明△BCP≌△DCP，结合正方形的性质找全等条件：正方形邻边相等可得BC=DC，对角线AC平分∠BCD可得∠BCP=∠DCP=45°，再加公共边PC=PC，即可用SAS判定全等。
(2)要证∠DPE=∠ABC，先利用(1)的全等结论得∠CBP=∠CDP，再由PE=PB（等边对等角）得∠CBP=∠E，等量代换得∠CDP=∠E，结合对顶角相等，根据三角形内角和可推出∠DPE=∠DCE，再由AB//CD的平行线性质得∠DCE=∠ABC，即可得证。
(3)菱形的推导思路与正方形类似，先利用菱形邻边相等、对角线平分内角的性质证△BCP≌△DCP，再类比(2)的推导过程，可得∠DPE=∠ABC，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
(1)证明：在正方形$ABCD$中，$BC=DC$，对角线$AC$平分$∠BCD$，因此$∠ BCP=∠ DCP=45°$，
在$△ BCP$和$△ DCP$中：
$\begin{cases}BC=DC,\\∠ BCP=∠ DCP,\\PC=PC,\end{cases}$
$\therefore △ BCP≌ △ DCP$(SAS)；
(2)证明：由(1)的全等结论可得$∠ CBP=∠ CDP$，
$\because PE=PB$，$\therefore ∠ CBP=∠ E$，
$\therefore ∠ CDP=∠ E$，
又$\because ∠ 1=∠ 2$（对顶角相等），
$\therefore 180°-∠ 1-∠ CDP=180°-∠ 2-∠ E$，即$∠ DPE=∠ DCE$，
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ DCE=∠ ABC=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ DPE=∠ ABC$；
(3)解：$∠DPE=58°$，理由如下：
在菱形$ABCD$中，$BC=DC$，对角线$AC$平分$∠BCD$，因此$∠ BCP=∠ DCP$，
在$△ BCP$和$△ DCP$中：
$\begin{cases}BC=DC,\\∠ BCP=∠ DCP,\\PC=PC,\end{cases}$
$\therefore △ BCP≌ △ DCP$(SAS)，
$\therefore ∠ CBP=∠ CDP$，
$\because PE=PB$，$\therefore ∠ CBP=∠ E$，
$\therefore ∠ CDP=∠ E$，
同理可得$∠ DPE=∠ DCE$，
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ DCE=∠ ABC=58°$，
$\therefore ∠ DPE=58°$。
【答案】
(1)△BCP≌△DCP得证；
(2)∠DPE=∠ABC得证；
(3)∠DPE=58°。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 特殊四边形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题以正方形和菱形为背景，综合考查全等判定、特殊四边形性质、等腰三角形性质的应用，按从特殊到一般的逻辑设置问题，解题思路具有共通性，是培养类比推导能力的典型几何题。
【难度系数】
0.65