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25. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
答案
25. 解:设每台冰箱应降价$x$元,则$(2400-2000-x)(8+4×\frac{x}{50})=4800$,解得$x_1=100$,$x_2=200$.要使百姓得到实惠,取$x=200$,即每台冰箱应降价200元.
解析
【分析】
这是一道销售利润类的应用题，解题核心是抓住“总利润=单台利润×销售数量”这个等量关系。首先我们先明确两个核心量：1. 降价后的单台利润：原来每台利润是售价2400元减进价2000元，降价x元后，单台利润就变为(2400-2000-x)元；2. 降价后的销售数量：原来每天卖8台，每降50元多卖4台，那么降价x元后多卖的台数为$4×\frac{x}{50}$，总销量就是原来的8台加多卖的台数。然后根据总盈利4800元列方程求解，最后结合“让百姓得到实惠”的要求，选择降价更多的那个解即可。
【解析】
解：设每台冰箱应降价$x$元。
根据总利润的等量关系可列方程：
$(2400-2000-x)(8+4×\frac{x}{50})=4800$
整理方程：
$(400-x)(8+\frac{2x}{25})=4800$
两边同乘25消分母得：
$(400-x)(200+2x)=120000$
展开并整理得：
$x^2-300x+20000=0$
因式分解得：
$(x-100)(x-200)=0$
解得：$x_1=100$，$x_2=200$
由于要使百姓得到实惠，需选择降价幅度更大的数值，因此取$x=200$。
【答案】
每台冰箱应降价200元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润问题
3. 方程根的实际取舍
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题的关键是准确抓住销售问题中总利润的计算等量关系，正确表示出降价后的单台利润和销售量，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对求出的根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
这是一道销售利润类的应用题，解题核心是抓住“总利润=单台利润×销售数量”这个等量关系。首先我们先明确两个核心量：1. 降价后的单台利润：原来每台利润是售价2400元减进价2000元，降价x元后，单台利润就变为(2400-2000-x)元；2. 降价后的销售数量：原来每天卖8台，每降50元多卖4台，那么降价x元后多卖的台数为$4×\frac{x}{50}$，总销量就是原来的8台加多卖的台数。然后根据总盈利4800元列方程求解，最后结合“让百姓得到实惠”的要求，选择降价更多的那个解即可。
【解析】
解：设每台冰箱应降价$x$元。
根据总利润的等量关系可列方程：
$(2400-2000-x)(8+4×\frac{x}{50})=4800$
整理方程：
$(400-x)(8+\frac{2x}{25})=4800$
两边同乘25消分母得：
$(400-x)(200+2x)=120000$
展开并整理得：
$x^2-300x+20000=0$
因式分解得：
$(x-100)(x-200)=0$
解得：$x_1=100$，$x_2=200$
由于要使百姓得到实惠，需选择降价幅度更大的数值，因此取$x=200$。
【答案】
每台冰箱应降价200元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润问题
3. 方程根的实际取舍
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题的关键是准确抓住销售问题中总利润的计算等量关系，正确表示出降价后的单台利润和销售量，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对求出的根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
26. 2025年11月19日,我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号A,B,C星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务取得圆满成功.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,学校开展了“航空航天”知识问答系列活动,为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取12名学生的成绩(单位:分)进行统计分析,并
绘制如图所示的箱线图(不完整).
七年级:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100;
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
(1)上表中,$b=$
(2)请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数$m_{25}$和上四分位数$m_{75}$,并补全箱线图;
(3)求八年级所抽取学生的平均成绩$m$和离差平方和.
绘制如图所示的箱线图(不完整).
七年级:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100;
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
(1)上表中,$b=$
90
,$c=$93
;(2)请你求出七年级所抽取学生成绩的下四分位数$m_{25}$和上四分位数$m_{75}$,并补全箱线图;
(3)求八年级所抽取学生的平均成绩$m$和离差平方和.
答案
26. 解:(1)八年级成绩排序:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
中位数$b=\frac{89+91}{2}=90$,众数$c=93$.
故答案:90;93；
(2)七年级成绩排序:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100.
下四分位数$m_{25}$为$\frac{70+80}{2}=75$,上四分位数$m_{75}$为$\frac{95+97}{2}=96$;中位数$a=\frac{89+91}{2}=90$,
作图如下：
(3)解:八年级平均数:$m = \frac{70+77+79+81+88+89+91+92+93+93+95+96}{12}=87$,离差平方和：
$(70-87)^2+(77-87)^2+(79-87)^2+(81-87)^2+(88-87)^2+(89-87)^2+(91-87)^2+(92-87)^2+(93-87)^2+(93-87)^2+(95-87)^2+(96-87)^2=752$.
解析
【分析】
(1)求解中位数和众数首先要将对应组数据从小到大排序：中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计即可得到结果。
(2)求解四分位数先排序七年级成绩，12个数据的下四分位数对应第25%分位，计算位置为$12×25\%=3$，取第3、4个数据的平均值；上四分位数对应第75%分位，计算位置为$12×75\%=9$，取第9、10个数据的平均值；箱线图需结合最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个节点补全。
(3)平均成绩为所有成绩总和除以总人数；离差平方和是每个成绩减去平均成绩的平方的总和，逐一计算求和即可。
【解析】
(1) 将八年级12名学生成绩从小到大排序：70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96。
中位数为第6、7个数据的平均数，即$b=\frac{89+91}{2}=90$；
数据93出现次数最多，故众数$c=93$。
(2) 将七年级12名学生成绩从小到大排序：60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100。
下四分位数位置为$12×25\%=3$，故$m_{25}=\frac{70+80}{2}=75$；
上四分位数位置为$12×75\%=9$，故$m_{75}=\frac{95+97}{2}=96$；
七年级成绩中位数$a=\frac{89+91}{2}=90$，结合最小值60、最大值100补全箱线图如下：
(3) 八年级平均成绩：
$m = \frac{70+77+79+81+88+89+91+92+93+93+95+96}{12}=87$
离差平方和计算：
$\begin{aligned}&(70-87)^2+(77-87)^2+(79-87)^2+(81-87)^2+(88-87)^2+(89-87)^2+(91-87)^2+(92-87)^2+(93-87)^2+(93-87)^2+(95-87)^2+(96-87)^2\\=&289+100+64+36+1+4+16+25+36+36+64+81\\=&752\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{93}$
(2) 下四分位数$m_{25}=\boxed{75}$，上四分位数$m_{75}=\boxed{96}$，补全箱线图：
(3) 平均成绩$m=\boxed{87}$，离差平方和为$\boxed{752}$
【知识点】
中位数与众数，四分位数，平均数与离差平方和
【点评】
本题结合实际科普活动情境考查统计特征数的计算，解题核心是掌握各类统计量的定义，计算前注意先对数据排序，运算时注意细心核对，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1)求解中位数和众数首先要将对应组数据从小到大排序：中位数是排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计即可得到结果。
(2)求解四分位数先排序七年级成绩，12个数据的下四分位数对应第25%分位，计算位置为$12×25\%=3$，取第3、4个数据的平均值；上四分位数对应第75%分位，计算位置为$12×75\%=9$，取第9、10个数据的平均值；箱线图需结合最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个节点补全。
(3)平均成绩为所有成绩总和除以总人数；离差平方和是每个成绩减去平均成绩的平方的总和，逐一计算求和即可。
【解析】
(1) 将八年级12名学生成绩从小到大排序：70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96。
中位数为第6、7个数据的平均数，即$b=\frac{89+91}{2}=90$；
数据93出现次数最多，故众数$c=93$。
(2) 将七年级12名学生成绩从小到大排序：60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100。
下四分位数位置为$12×25\%=3$，故$m_{25}=\frac{70+80}{2}=75$；
上四分位数位置为$12×75\%=9$，故$m_{75}=\frac{95+97}{2}=96$；
七年级成绩中位数$a=\frac{89+91}{2}=90$，结合最小值60、最大值100补全箱线图如下：
(3) 八年级平均成绩：
$m = \frac{70+77+79+81+88+89+91+92+93+93+95+96}{12}=87$
离差平方和计算：
$\begin{aligned}&(70-87)^2+(77-87)^2+(79-87)^2+(81-87)^2+(88-87)^2+(89-87)^2+(91-87)^2+(92-87)^2+(93-87)^2+(93-87)^2+(95-87)^2+(96-87)^2\\=&289+100+64+36+1+4+16+25+36+36+64+81\\=&752\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{93}$
(2) 下四分位数$m_{25}=\boxed{75}$，上四分位数$m_{75}=\boxed{96}$，补全箱线图：
(3) 平均成绩$m=\boxed{87}$，离差平方和为$\boxed{752}$
【知识点】
中位数与众数，四分位数，平均数与离差平方和
【点评】
本题结合实际科普活动情境考查统计特征数的计算，解题核心是掌握各类统计量的定义，计算前注意先对数据排序，运算时注意细心核对，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
