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16. 当$a＞0$时，$\sqrt{-ax^3}$的化简结果是（
A.$x\sqrt{ax}$
B.$x\sqrt{-ax}$
C.$-x\sqrt{ax}$
D.$-x\sqrt{-ax}$
D
）A.$x\sqrt{ax}$
B.$x\sqrt{-ax}$
C.$-x\sqrt{ax}$
D.$-x\sqrt{-ax}$
答案
16. D
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。本题已知a＞0，可先据此推出x的取值范围，再将根号内的因式拆分，结合二次根式的非负性和绝对值的性质去掉根号，即可得到化简结果。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
二次根式有意义的前提是被开方数≥0，因此$-ax^3≥0$。
已知$a＞0$，不等式两边同时除以正数a，不等号方向不变，可得$-x^3≥0$，即$x^3≤0$，因此$x≤0$。
第二步：化简二次根式
将$x^3$拆分为$x^2· x$，则原式可变形为：
$\sqrt{-ax^3}=\sqrt{-a· x^2· x}=\sqrt{x^2}·\sqrt{-ax}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2}=|x|$，又因为$x≤0$，所以$|x|=-x$，代入得：
原式$=-x\sqrt{-ax}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简，二次根式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略x的取值范围，直接将$\sqrt{x^2}$化简为x导致符号错误。解题时需先根据二次根式有意义的条件确定未知字母的正负，再结合二次根式的非负性完成化简。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。本题已知a＞0，可先据此推出x的取值范围，再将根号内的因式拆分，结合二次根式的非负性和绝对值的性质去掉根号，即可得到化简结果。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
二次根式有意义的前提是被开方数≥0，因此$-ax^3≥0$。
已知$a＞0$，不等式两边同时除以正数a，不等号方向不变，可得$-x^3≥0$，即$x^3≤0$，因此$x≤0$。
第二步：化简二次根式
将$x^3$拆分为$x^2· x$，则原式可变形为：
$\sqrt{-ax^3}=\sqrt{-a· x^2· x}=\sqrt{x^2}·\sqrt{-ax}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2}=|x|$，又因为$x≤0$，所以$|x|=-x$，代入得：
原式$=-x\sqrt{-ax}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简，二次根式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略x的取值范围，直接将$\sqrt{x^2}$化简为x导致符号错误。解题时需先根据二次根式有意义的条件确定未知字母的正负，再结合二次根式的非负性完成化简。
【难度系数】
0.6
17. 如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的有（
①$AC ⊥ BD$；②$∠ BAD = 90°$；③$AB = BC$；④$AC = BD$.
A.①③
B.②③
C.③④
D.①②③
A
）①$AC ⊥ BD$；②$∠ BAD = 90°$；③$AB = BC$；④$AC = BD$.
A.①③
B.②③
C.③④
D.①②③
答案
17. A
解析
【分析】
解题时首先明确已知四边形ABCD是平行四边形，需结合平行四边形前提下菱形的判定定理来逐一验证条件：平行四边形判定为菱形的核心依据有两个，一是一组邻边相等，二是对角线互相垂直。接下来逐个分析给出的4个条件，判断是否符合上述判定依据，同时注意区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐个分析条件：
1. 条件①$AC ⊥ BD$：根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此①可判定平行四边形ABCD为菱形；
2. 条件②$∠ BAD = 90°$：有一个内角为直角的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，因此②不符合要求；
3. 条件③$AB = BC$：AB和BC是平行四边形的一组邻边，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知③可判定平行四边形ABCD为菱形；
4. 条件④$AC = BD$：对角线相等的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，因此④不符合要求。
综上，能使平行四边形ABCD是菱形的条件为①③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定区分，核心是牢记平行四边形基础上菱形、矩形的判定差异，只要不混淆两类特殊平行四边形的判定条件，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知四边形ABCD是平行四边形，需结合平行四边形前提下菱形的判定定理来逐一验证条件：平行四边形判定为菱形的核心依据有两个，一是一组邻边相等，二是对角线互相垂直。接下来逐个分析给出的4个条件，判断是否符合上述判定依据，同时注意区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐个分析条件：
1. 条件①$AC ⊥ BD$：根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此①可判定平行四边形ABCD为菱形；
2. 条件②$∠ BAD = 90°$：有一个内角为直角的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，因此②不符合要求；
3. 条件③$AB = BC$：AB和BC是平行四边形的一组邻边，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知③可判定平行四边形ABCD为菱形；
4. 条件④$AC = BD$：对角线相等的平行四边形是矩形，无法判定为菱形，因此④不符合要求。
综上，能使平行四边形ABCD是菱形的条件为①③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定区分，核心是牢记平行四边形基础上菱形、矩形的判定差异，只要不混淆两类特殊平行四边形的判定条件，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
18. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ A=70°$，将$□ ABCD$折叠，使点D，C分别落在点F，E处（点F，E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则$∠ AMF$等于（
A.$70°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
B
）A.$70°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
18. B
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合折叠后对应点落在AB所在直线的条件，可得折痕MN与AB平行，进而得到∠DMN与∠A相等；再根据折叠前后对应角相等，可得∠FMN=∠DMN；最后利用平角为180°的性质，减去两个已知角的度数即可求出∠AMF的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
由折叠的性质可知，MN为折痕，点D、C落在AB所在直线的F、E处，
∴MN//AB，∠FMN=∠DMN，
∴∠DMN=∠A=70°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FMN=70°，
∵∠AMD为平角，即∠AMD=180°，
∴∠AMF=180°-∠DMN-∠FMN=180°-70°-70°=40°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题考查几何中角度的计算，解题核心是熟练掌握平行四边形和折叠的性质，找到角之间的等量关系进行推导，整体难度不高，是几何基础题的常考类型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，结合折叠后对应点落在AB所在直线的条件，可得折痕MN与AB平行，进而得到∠DMN与∠A相等；再根据折叠前后对应角相等，可得∠FMN=∠DMN；最后利用平角为180°的性质，减去两个已知角的度数即可求出∠AMF的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
由折叠的性质可知，MN为折痕，点D、C落在AB所在直线的F、E处，
∴MN//AB，∠FMN=∠DMN，
∴∠DMN=∠A=70°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FMN=70°，
∵∠AMD为平角，即∠AMD=180°，
∴∠AMF=180°-∠DMN-∠FMN=180°-70°-70°=40°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题考查几何中角度的计算，解题核心是熟练掌握平行四边形和折叠的性质，找到角之间的等量关系进行推导，整体难度不高，是几何基础题的常考类型。
【难度系数】
0.7
19. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$. 将$△ ABC$绕点$A$旋转至$△ ADE$，使$AD ⊥ BC$，$DE$交边$AC$于点$F$，则$AF$的长是（
A.4
B.$\frac{24}{5}$
C.5
D.6
C
）A.4
B.$\frac{24}{5}$
C.5
D.6
答案
19. C
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形的边长，用勾股定理算出斜边BC的长度；再利用旋转的性质得到△ADE与△ABC全等，得到对应边、对应角的等量关系；接着结合AD⊥BC的条件，通过角的互余关系推导角相等，利用等角对等边得到AF与DF、EF的等量关系，最终求出AF的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 由旋转的性质可知$△ ADE≌△ ABC$，因此：
$DE=BC=10$，$∠ ADE=∠ B$，$∠ DAE=∠ BAC=90°$。
3. 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ B+∠ BAD=90°$，又$∠ BAD+∠ DAC=∠ BAC=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ B=∠ DAC$。
4. 结合$∠ ADE=∠ B$，可得$∠ DAC=∠ ADE$，根据等角对等边，得$AF=DF$。
5. 在$Rt△ ADE$中，$∠ ADE+∠ E=90°$，又$∠ DAC+∠ FAE=∠ DAE=90°$，且$∠ DAC=∠ ADE$，因此$∠ E=∠ FAE$，根据等角对等边，得$AF=EF$。
6. 综上可得$AF=DF=EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过角的等量代换找到线段的相等关系，解题时需要熟练掌握旋转的性质和直角三角形的角的互余关系，整体解题思路清晰，技巧性适中。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直角三角形的边长，用勾股定理算出斜边BC的长度；再利用旋转的性质得到△ADE与△ABC全等，得到对应边、对应角的等量关系；接着结合AD⊥BC的条件，通过角的互余关系推导角相等，利用等角对等边得到AF与DF、EF的等量关系，最终求出AF的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 由旋转的性质可知$△ ADE≌△ ABC$，因此：
$DE=BC=10$，$∠ ADE=∠ B$，$∠ DAE=∠ BAC=90°$。
3. 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ B+∠ BAD=90°$，又$∠ BAD+∠ DAC=∠ BAC=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ B=∠ DAC$。
4. 结合$∠ ADE=∠ B$，可得$∠ DAC=∠ ADE$，根据等角对等边，得$AF=DF$。
5. 在$Rt△ ADE$中，$∠ ADE+∠ E=90°$，又$∠ DAC+∠ FAE=∠ DAE=90°$，且$∠ DAC=∠ ADE$，因此$∠ E=∠ FAE$，根据等角对等边，得$AF=EF$。
6. 综上可得$AF=DF=EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过角的等量代换找到线段的相等关系，解题时需要熟练掌握旋转的性质和直角三角形的角的互余关系，整体解题思路清晰，技巧性适中。
【难度系数】
0.6
20. 估计$\sqrt{2}(\sqrt{28}-\sqrt{7})$的值应在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
20. C
解析
【分析】
解决这道题首先需要对二次根式的混合运算进行化简，可先将括号内的二次根式化为最简二次根式再合并，也可利用乘法分配律展开运算，将原式化简为最简形式后，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，就能估算出结果所在的区间。
【解析】
第一步：化简原式
先化简括号内的二次根式：$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，
则括号内的运算为：$\sqrt{28}-\sqrt{7}=2\sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$，
因此原式可化为：$\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{2×7}=\sqrt{14}$。
第二步：估算$\sqrt{14}$的大小
已知$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜14＜16$，
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{14}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{14}＜4$。
所以$\sqrt{2}(\sqrt{28}-\sqrt{7})$的值在3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；无理数的估算
【点评】
本题是二次根式运算和无理数估算的结合题，解题核心是熟练掌握二次根式的化简及运算法则，学会利用平方运算比较无理数与整数的大小，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先需要对二次根式的混合运算进行化简，可先将括号内的二次根式化为最简二次根式再合并，也可利用乘法分配律展开运算，将原式化简为最简形式后，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，就能估算出结果所在的区间。
【解析】
第一步：化简原式
先化简括号内的二次根式：$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，
则括号内的运算为：$\sqrt{28}-\sqrt{7}=2\sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$，
因此原式可化为：$\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{2×7}=\sqrt{14}$。
第二步：估算$\sqrt{14}$的大小
已知$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜14＜16$，
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{14}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{14}＜4$。
所以$\sqrt{2}(\sqrt{28}-\sqrt{7})$的值在3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；无理数的估算
【点评】
本题是二次根式运算和无理数估算的结合题，解题核心是熟练掌握二次根式的化简及运算法则，学会利用平方运算比较无理数与整数的大小，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
21. 计算.
(1)$\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{12}$;
(2)$\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}+\sqrt{\frac{1}{2}}$.
(1)$\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{12}$;
(2)$\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}+\sqrt{\frac{1}{2}}$.
答案
21. (1)$2\sqrt{3}$ (2)$2-\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的加减运算类题目，解题整体思路为：①先将式子中所有非最简二次根式化为最简二次根式；②涉及二次根式平方开方的，利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先判断绝对值内式子的正负再去绝对值；③最后合并同类二次根式得到结果。
针对第(1)题，先把$\sqrt{27}$、$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再和$\sqrt{3}$合并即可；针对第(2)题，先利用二次根式性质化简$\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$，再化简$\sqrt{\frac{1}{2}}$，最后合并同类项。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3}+3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=(1+3-2)\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简第一个项：
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜2$，所以$\sqrt{2}-2＜0$，因此$\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}=|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$
再化简第二个项：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2-(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})\\&=2-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$2-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式的性质；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题的核心是熟练掌握最简二次根式的化简方法，以及二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质应用，去绝对值时注意先判断符号，避免出现符号错误，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的加减运算类题目，解题整体思路为：①先将式子中所有非最简二次根式化为最简二次根式；②涉及二次根式平方开方的，利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先判断绝对值内式子的正负再去绝对值；③最后合并同类二次根式得到结果。
针对第(1)题，先把$\sqrt{27}$、$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再和$\sqrt{3}$合并即可；针对第(2)题，先利用二次根式性质化简$\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$，再化简$\sqrt{\frac{1}{2}}$，最后合并同类项。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3}+3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=(1+3-2)\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简第一个项：
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜2$，所以$\sqrt{2}-2＜0$，因此$\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}=|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$
再化简第二个项：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2-(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})\\&=2-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$2-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式的性质；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题的核心是熟练掌握最简二次根式的化简方法，以及二次根式$\sqrt{a^2}=|a|$的性质应用，去绝对值时注意先判断符号，避免出现符号错误，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.8
22. 解方程.
(1)$2x^2 - 8x = 0$;
(2)$4x^2 - 4x - 3 = 0$.
(1)$2x^2 - 8x = 0$;
(2)$4x^2 - 4x - 3 = 0$.
答案
22. (1)$x_1=0,x_2=4$ (2)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这两道是一元二次方程求解的基础题，优先选择简便方法降低计算量：(1)观察方程左边两项有公因式2x，适合用因式分解法，先提取公因式，再根据“两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解；(2)方程左边是二次三项式，可用十字相乘法因式分解，分解后同样转化为一元一次方程求解，计算更快捷。
【解析】
(1) 解：$2x^2 - 8x = 0$
提取公因式$2x$，得：$2x(x - 4) = 0$
根据乘积为0的性质，可得$2x=0$或$x-4=0$
分别解一元一次方程：
当$2x=0$时，$x_1=0$；当$x-4=0$时，$x_2=4$。
(2) 解：$4x^2 - 4x - 3 = 0$
用十字相乘法分解因式：将$4x^2$拆为$2x·2x$，$-3$拆为$-3×1$，交叉相乘求和得$2x×1 + 2x×(-3) = -4x$，符合一次项系数，因此分解为：
$(2x - 3)(2x + 1) = 0$
可得$2x-3=0$或$2x+1=0$
分别解一元一次方程：
当$2x-3=0$时，$2x=3$，$x_1=\frac{3}{2}$；当$2x+1=0$时，$2x=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=4$；(2)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，主要考查学生对解方程简便方法的选择和计算能力，熟练掌握因式分解法可以大幅提升解题效率，是求解更复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8
这两道是一元二次方程求解的基础题，优先选择简便方法降低计算量：(1)观察方程左边两项有公因式2x，适合用因式分解法，先提取公因式，再根据“两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解；(2)方程左边是二次三项式，可用十字相乘法因式分解，分解后同样转化为一元一次方程求解，计算更快捷。
【解析】
(1) 解：$2x^2 - 8x = 0$
提取公因式$2x$，得：$2x(x - 4) = 0$
根据乘积为0的性质，可得$2x=0$或$x-4=0$
分别解一元一次方程：
当$2x=0$时，$x_1=0$；当$x-4=0$时，$x_2=4$。
(2) 解：$4x^2 - 4x - 3 = 0$
用十字相乘法分解因式：将$4x^2$拆为$2x·2x$，$-3$拆为$-3×1$，交叉相乘求和得$2x×1 + 2x×(-3) = -4x$，符合一次项系数，因此分解为：
$(2x - 3)(2x + 1) = 0$
可得$2x-3=0$或$2x+1=0$
分别解一元一次方程：
当$2x-3=0$时，$2x=3$，$x_1=\frac{3}{2}$；当$2x+1=0$时，$2x=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=4$；(2)$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，主要考查学生对解方程简便方法的选择和计算能力，熟练掌握因式分解法可以大幅提升解题效率，是求解更复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8
23. 如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE//DF，求证：CE＝AF.
答案
23. 证明:$\because$在平行四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AD=BC$,$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$.又$\because BE// DF$,$\therefore ∠ BEC=∠ DFA$,$\therefore △ BEC≌△ DFA$,$\therefore CE=AF$.
解析
【分析】
要证明CE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先回忆平行四边形的性质，可得到一组边相等和一组内错角相等；再结合已知BE//DF的条件，能得到另一组内错角相等，即可证明△BEC和△DFA全等，最后利用全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ACB=∠CAD。
又
∵ BE//DF，同理可得∠BEC=∠DFA。
在△BEC和△DFA中，满足两组角分别相等，且一组等角的对边BC=AD，符合AAS全等判定条件，
∴ △BEC≌△DFA，
∴ 根据全等三角形对应边相等，可得CE=AF。
【答案】
证明:$\because$在平行四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AD=BC$,$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$.又$\because BE// DF$,$\therefore ∠ BEC=∠ DFA$,$\therefore △ BEC≌△ DFA$,$\therefore CE=AF$.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察平行四边形性质和全等三角形的应用，解题的关键是准确找到待证线段所属的全等三角形，梳理清楚已知条件对应的边角关系，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
要证明CE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先回忆平行四边形的性质，可得到一组边相等和一组内错角相等；再结合已知BE//DF的条件，能得到另一组内错角相等，即可证明△BEC和△DFA全等，最后利用全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ACB=∠CAD。
又
∵ BE//DF，同理可得∠BEC=∠DFA。
在△BEC和△DFA中，满足两组角分别相等，且一组等角的对边BC=AD，符合AAS全等判定条件，
∴ △BEC≌△DFA，
∴ 根据全等三角形对应边相等，可得CE=AF。
【答案】
证明:$\because$在平行四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AD=BC$,$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$.又$\because BE// DF$,$\therefore ∠ BEC=∠ DFA$,$\therefore △ BEC≌△ DFA$,$\therefore CE=AF$.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察平行四边形性质和全等三角形的应用，解题的关键是准确找到待证线段所属的全等三角形，梳理清楚已知条件对应的边角关系，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
24. 观察下列等式，回答问题：
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$；
……
（1）根据上面三个等式的信息，猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=$
（2）请按照上式反应的规律，试写出用$n$表示的等式；
（3）验证你的结果。
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$；
……
（1）根据上面三个等式的信息，猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=$
$1\frac{1}{20}$
；（2）请按照上式反应的规律，试写出用$n$表示的等式；
（3）验证你的结果。
答案
24. 解:(1)$1\frac{1}{20}$；
(2)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(3)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2}} = \sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}} =\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)+(n+1)-n}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(2)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(3)$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2}} = \sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}} =\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=\frac{n(n+1)+(n+1)-n}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
解析
【分析】
（1）观察给出的3个等式可发现规律：根号下为“1加连续两个正整数的平方的倒数和”，结果为“1加较小数的倒数减较小数加1的倒数”，计算$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$时对应较小数为4，直接套用规律计算即可。
（2）将规律推广到一般情况，用正整数$n$表示较小的正整数，较大的正整数即为$n+1$，替换对应位置的数即可得到通用等式。
（3）验证时先对根号内的分式通分，将分子整理后配方为完全平方形式，再根据二次根式的性质去根号，最后拆分分式化简，证明左右两边相等即可。
【解析】
（1）根据规律，对应$n=4$：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$
（2）设$n$为正整数，可得通用等式：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
（3）验证过程：
对根号内的式子通分，公分母为$[n(n+1)]^2$：
$\begin{aligned}左边&=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}\\&=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2}}\\&=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+2n(n+1)+1}{[n(n+1)]^2}}\\&=\sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}}\end{aligned}$
因为$n$是正整数，$n(n+1)+1＞0$，$n(n+1)＞0$，所以：
$\begin{aligned}左边&=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}\\&=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\\&=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=右边\end{aligned}$
等式成立。
【答案】
(1) $1\frac{1}{20}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为正整数）
(3) 验证过程见解析，等式成立。
【知识点】
规律探究，二次根式化简，分式运算
【点评】
本题为规律探究类题型，需要先观察特例总结共性规律，再利用代数运算验证规律，既考查归纳推理能力，也考查分式、二次根式的运算基本功。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的3个等式可发现规律：根号下为“1加连续两个正整数的平方的倒数和”，结果为“1加较小数的倒数减较小数加1的倒数”，计算$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$时对应较小数为4，直接套用规律计算即可。
（2）将规律推广到一般情况，用正整数$n$表示较小的正整数，较大的正整数即为$n+1$，替换对应位置的数即可得到通用等式。
（3）验证时先对根号内的分式通分，将分子整理后配方为完全平方形式，再根据二次根式的性质去根号，最后拆分分式化简，证明左右两边相等即可。
【解析】
（1）根据规律，对应$n=4$：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$
（2）设$n$为正整数，可得通用等式：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
（3）验证过程：
对根号内的式子通分，公分母为$[n(n+1)]^2$：
$\begin{aligned}左边&=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}\\&=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+(n+1)^2+n^2}{[n(n+1)]^2}}\\&=\sqrt{\frac{[n(n+1)]^2+2n(n+1)+1}{[n(n+1)]^2}}\\&=\sqrt{\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}}\end{aligned}$
因为$n$是正整数，$n(n+1)+1＞0$，$n(n+1)＞0$，所以：
$\begin{aligned}左边&=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}\\&=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\\&=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=右边\end{aligned}$
等式成立。
【答案】
(1) $1\frac{1}{20}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为正整数）
(3) 验证过程见解析，等式成立。
【知识点】
规律探究，二次根式化简，分式运算
【点评】
本题为规律探究类题型，需要先观察特例总结共性规律，再利用代数运算验证规律，既考查归纳推理能力，也考查分式、二次根式的运算基本功。
【难度系数】
0.7
