【例1】 点$P(2,-5)$关于$x$轴对称的点的坐标为
$\boldsymbol{(\quad\quad)}$

A.$(-2,5)$
B.$(2,5)$
C.$(-2,-5)$
D.$(2,-5)$
【解题思路】 关于$x$轴对称的两个点的坐标，横坐标相等，纵坐标互为相反数。
【解答过程】 解：把点$P(2,-5)$的纵坐标$-5$改成

B

【分析】
要解决点关于x轴对称的坐标求解问题，首先要明确关于x轴对称的点的坐标变化规律：两个点关于x轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。我们只需将已知点的坐标对应这个规律调整，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(2,-5)$，横坐标保持不变仍为2，纵坐标$-5$的相反数是5，因此点P关于x轴对称的点的坐标为$(2,5)$。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类考题，主要考查平面直角坐标系中点的对称坐标规律，熟练记忆不同对称方式对应的坐标变化规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

【例2】 对坐标平面内不同两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，用$|AB|$表示$A,B$两点间的距离（即线段$AB$的长度），用$\| AB \|$表示$A,B$两点间的格距，定义$A,B$两点间的格距$\| AB \| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$，则$|AB|$与$\| AB \|$的大小关系为 （）

A.$|AB| ≥ \| AB \|$
B.$|AB| ＞ \| AB \|$
C.$|AB| ≤ \| AB \|$
D.$|AB| ＜ \| AB \|$
【解题思路】 首先求出$|AB|$的长，再求出$\| AB \|$的长，将它们相减，比较大小即可。
【解答过程】 解：$|AB|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$，$\| AB \|^2 = (|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|)^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + 2(|x_1 - x_2| × |y_1 - y_2|)$，所以$\| AB \|^2 - |AB|^2 = (|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|)^2 - [(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2] = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + 2(|x_1 - x_2| × |y_1 - y_2|) - [(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2] = 2(|x_1 - x_2| × |y_1 - y_2|) ≥ 0$，即$|AB| ≤ \| AB \|$，故选择C。

C

【分析】
要比较$|AB|$和$\| AB \|$的大小，由于二者均表示长度，都是非负数，可通过比较两者平方的大小来判断原数的大小。首先根据两点间距离公式写出$|AB|$的平方表达式，再根据题中给出的格距定义写出$\| AB \|$的平方并展开，将两个平方作差，结合绝对值的非负性判断差的正负，即可得出二者的大小关系，注意差为0时等号成立。
【解析】
解：根据两点间距离公式可得：
$|AB|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
根据格距的定义，将格距平方展开得：
$\|AB\|^2=(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+2|x_1-x_2|·|y_1-y_2|$
将两个平方作差：
$\|AB\|^2 - |AB|^2 = [(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+2|x_1-x_2|·|y_1-y_2|] - [(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2] = 2|x_1-x_2|·|y_1-y_2|$
由绝对值的非负性可知$2|x_1-x_2|·|y_1-y_2|≥0$，即$\|AB\|^2≥|AB|^2$。
因为$|AB|$和$\|AB\|$均为非负数，对不等式两边同时开方，不等号方向不变，可得$|AB|≤\|AB\|$。
【答案】
C
【知识点】
两点间距离公式；新定义运算；不等式性质
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是准确理解格距的定义，结合已学的两点间距离公式，通过平方作差的方法比较非负数的大小，解题时要注意利用绝对值的非负性判断差的符号。
【难度系数】
0.7