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【例3】 在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，……，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位。当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是 （）
A.$(66,34)$
B.$(67,33)$
C.$(100,33)$
D.$(99,34)$
【解题思路】 先描出一些平移及对应的点，找出点的坐标与平移次数的关系。
【解答过程】 解：如上图，折线的下折点的横坐标是$(n+1)$（此时$n+1$是3的整倍数），纵坐标是（横坐标$÷3 -1$）；上折点的横坐标是步数$n$，纵坐标是横坐标$÷3$；100不是3的整倍数，不在折点，99是3的整倍数且是向上走1个单位，所以第100步的点是在上折点的右侧，$100÷3$余1，故第100步的点距上折点右侧点1个单位，所以坐标为$(100,33)$，故选择C。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是找不到上下折点坐标的规律，辨别不出点是在折点还是折线上，致问题出错。
【方法规律】 解规律探究性题，一般都应先就有限个点分析、寻找规律，再推广到一般。
A.$(66,34)$
B.$(67,33)$
C.$(100,33)$
D.$(99,34)$
【解题思路】 先描出一些平移及对应的点，找出点的坐标与平移次数的关系。
【解答过程】 解：如上图，折线的下折点的横坐标是$(n+1)$（此时$n+1$是3的整倍数），纵坐标是（横坐标$÷3 -1$）；上折点的横坐标是步数$n$，纵坐标是横坐标$÷3$；100不是3的整倍数，不在折点，99是3的整倍数且是向上走1个单位，所以第100步的点是在上折点的右侧，$100÷3$余1，故第100步的点距上折点右侧点1个单位，所以坐标为$(100,33)$，故选择C。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是找不到上下折点坐标的规律，辨别不出点是在折点还是折线上，致问题出错。
【方法规律】 解规律探究性题，一般都应先就有限个点分析、寻找规律，再推广到一般。
答案
C
解析
【分析】
我们可以先观察走法的规则，发现走法每3步为一个重复的规律周期，因此先计算每个周期内横坐标、纵坐标的变化量；再计算100步中包含多少个完整周期、剩余多少步；先求出完整周期结束时的坐标，再根据剩余步数的走法规则调整坐标，即可得到走完100步的最终坐标。
【解析】
解：根据走法规则，每3步为一个运动周期：
① 当n除以3余1时，向右走1个单位，横坐标+1；
② 当n除以3余2时，向右走2个单位，横坐标+2；
③ 当n能被3整除时，向上走1个单位，纵坐标+1。
因此每个周期（3步）结束后，横坐标总共增加$1+2=3$，纵坐标总共增加1。
计算100步包含的周期数：$100 ÷ 3 = 33$（个完整周期）……1（步），即33个完整周期后还剩1步。
先算走完99步（33个完整周期）时的坐标：
横坐标：$33 × 3 = 99$，纵坐标：$33 × 1 = 33$。
第100步时，$100 ÷ 3$余数为1，按照规则向右走1个单位，横坐标变为$99 + 1 = 100$，纵坐标不变仍为33。
因此走完第100步时，棋子坐标为$(100,33)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究，坐标与运动
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是先梳理出走法的周期规律，分别计算横、纵坐标的累计变化量，再结合剩余步数的走法调整坐标即可求解，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先观察走法的规则，发现走法每3步为一个重复的规律周期，因此先计算每个周期内横坐标、纵坐标的变化量；再计算100步中包含多少个完整周期、剩余多少步；先求出完整周期结束时的坐标，再根据剩余步数的走法规则调整坐标，即可得到走完100步的最终坐标。
【解析】
解：根据走法规则，每3步为一个运动周期：
① 当n除以3余1时，向右走1个单位，横坐标+1；
② 当n除以3余2时，向右走2个单位，横坐标+2；
③ 当n能被3整除时，向上走1个单位，纵坐标+1。
因此每个周期（3步）结束后，横坐标总共增加$1+2=3$，纵坐标总共增加1。
计算100步包含的周期数：$100 ÷ 3 = 33$（个完整周期）……1（步），即33个完整周期后还剩1步。
先算走完99步（33个完整周期）时的坐标：
横坐标：$33 × 3 = 99$，纵坐标：$33 × 1 = 33$。
第100步时，$100 ÷ 3$余数为1，按照规则向右走1个单位，横坐标变为$99 + 1 = 100$，纵坐标不变仍为33。
因此走完第100步时，棋子坐标为$(100,33)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究，坐标与运动
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是先梳理出走法的周期规律，分别计算横、纵坐标的累计变化量，再结合剩余步数的走法调整坐标即可求解，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 如果在一个会议室中，第5排第6号表示为(5,6)，那么第7排第9号可以表示为
(7,9)
，(6,9)表示的意义是第6排第9号
。答案
1. (7,9)；第6排第9号
解析
【分析】
首先从已知条件“第5排第6号表示为(5,6)”提炼对应规则：有序数对的第一个数对应排数，第二个数对应座位号数。解题时先依据这个规则，把待求的排号对应写成有序数对，再根据给出的有序数对的两个数分别对应排和号，解读出实际意义即可。
【解析】
解：根据题意可知，有序数对中第一个数表示排数，第二个数表示座位的号数：
1. 表示第7排第9号：将排数7作为有序数对的第一个数，号数9作为有序数对的第二个数，因此可表示为(7,9)；
2. 解读(6,9)的意义：有序数对第一个数为6，对应排数是第6排，第二个数为9，对应号数是第9号，因此表示第6排第9号。
【答案】
(7,9)；第6排第9号
【知识点】
1. 有序数对
2. 用有序数对表示位置
【点评】
本题属于基础题，核心是先明确有序数对与实际位置的对应规则，再按照规则进行转化和解读即可，做题时注意不要混淆两个数的顺序就不会出错。
【难度系数】
0.9
首先从已知条件“第5排第6号表示为(5,6)”提炼对应规则：有序数对的第一个数对应排数，第二个数对应座位号数。解题时先依据这个规则，把待求的排号对应写成有序数对，再根据给出的有序数对的两个数分别对应排和号，解读出实际意义即可。
【解析】
解：根据题意可知，有序数对中第一个数表示排数，第二个数表示座位的号数：
1. 表示第7排第9号：将排数7作为有序数对的第一个数，号数9作为有序数对的第二个数，因此可表示为(7,9)；
2. 解读(6,9)的意义：有序数对第一个数为6，对应排数是第6排，第二个数为9，对应号数是第9号，因此表示第6排第9号。
【答案】
(7,9)；第6排第9号
【知识点】
1. 有序数对
2. 用有序数对表示位置
【点评】
本题属于基础题，核心是先明确有序数对与实际位置的对应规则，再按照规则进行转化和解读即可，做题时注意不要混淆两个数的顺序就不会出错。
【难度系数】
0.9
2. 要确定在你家周围北偏东$60°$的某一地点，还需要知道
那地点到“我”家的距离
。答案
2. 那地点到“我”家的距离
解析
【分析】
要确定平面内某一点的具体位置，需要两个独立的条件。本题中已经给出了目标地点相对于家的方位是北偏东60°，这只能确定目标地点在从家出发、沿北偏东60°方向的射线上，这条射线上有无数个点，无法锁定唯一位置，因此还需要补充另一个条件：目标地点到观测点（我家）的距离，两个条件结合就能确定唯一的地点。
【解析】
解：平面内确定一个点的具体位置需要方位、距离两个要素。
已知该地点在我家北偏东60°的方向，仅明确了它所在的射线，缺少距离条件，无法确定具体位置，因此还需要知道该地点到“我”家的距离。
【答案】
那地点到“我”家的距离
【知识点】
确定位置的要素；方位角的应用
【点评】
本题结合生活场景考查确定位置的基础概念，属于基础类题目，只要理解平面内确定唯一位置需要两个独立条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要确定平面内某一点的具体位置，需要两个独立的条件。本题中已经给出了目标地点相对于家的方位是北偏东60°，这只能确定目标地点在从家出发、沿北偏东60°方向的射线上，这条射线上有无数个点，无法锁定唯一位置，因此还需要补充另一个条件：目标地点到观测点（我家）的距离，两个条件结合就能确定唯一的地点。
【解析】
解：平面内确定一个点的具体位置需要方位、距离两个要素。
已知该地点在我家北偏东60°的方向，仅明确了它所在的射线，缺少距离条件，无法确定具体位置，因此还需要知道该地点到“我”家的距离。
【答案】
那地点到“我”家的距离
【知识点】
确定位置的要素；方位角的应用
【点评】
本题结合生活场景考查确定位置的基础概念，属于基础类题目，只要理解平面内确定唯一位置需要两个独立条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 已知点$P(3,a)$关于$y$轴的对称点为$Q(b,2)$，则$ab=$
-6
.答案
3. -6
解析
【分析】
解题的核心是掌握关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们先根据这个特征，结合已知点P和对称点Q的坐标，分别求出a、b的值，再代入计算ab的乘积即可。
【解析】
∵ 关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
点$P(3,a)$关于y轴的对称点为$Q(b,2)$，
∴ $a = 2$，$b = -3$，
∴ $ab = 2×(-3) = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，熟记不同对称方式对应的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们先根据这个特征，结合已知点P和对称点Q的坐标，分别求出a、b的值，再代入计算ab的乘积即可。
【解析】
∵ 关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
点$P(3,a)$关于y轴的对称点为$Q(b,2)$，
∴ $a = 2$，$b = -3$，
∴ $ab = 2×(-3) = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，熟记不同对称方式对应的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 在平面直角坐标系中，已知点$O(0,0),A(1,3)$，将线段$OA$向右平移3个单位，得到线段$O_1A_1$，则点$O_1$的坐标是
(3,0)
，$A_1$的坐标是(4,3)
。答案
4. (3,0)；(4,3)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题时先明确平移的坐标变化规则：左右平移仅改变横坐标，遵循“右加左减”（向右平移横坐标加平移单位，向左平移横坐标减平移单位），上下平移仅改变纵坐标，遵循“上加下减”。本题中线段OA整体向右平移3个单位，线段上所有点的平移规律一致，只需将O、A两点的横坐标分别加3，纵坐标保持不变，即可得到平移后对应点的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中点的平移规律：将点向右平移n个单位时，所得对应点的横坐标为原横坐标加n，纵坐标保持不变。
已知点O的原坐标为(0,0)，向右平移3个单位后，横坐标为0+3=3，纵坐标仍为0，因此O₁的坐标是(3,0)；
已知点A的原坐标为(1,3)，向右平移3个单位后，横坐标为1+3=4，纵坐标仍为3，因此A₁的坐标是(4,3)。
【答案】
(3,0)；(4,3)
【知识点】
点的平移规律，平移的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查平移时点的坐标变化规则，熟记“右加左减、上加下减”的平移口诀即可快速解题，是图形与坐标板块的常规考查题目。
【难度系数】
0.9
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题时先明确平移的坐标变化规则：左右平移仅改变横坐标，遵循“右加左减”（向右平移横坐标加平移单位，向左平移横坐标减平移单位），上下平移仅改变纵坐标，遵循“上加下减”。本题中线段OA整体向右平移3个单位，线段上所有点的平移规律一致，只需将O、A两点的横坐标分别加3，纵坐标保持不变，即可得到平移后对应点的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中点的平移规律：将点向右平移n个单位时，所得对应点的横坐标为原横坐标加n，纵坐标保持不变。
已知点O的原坐标为(0,0)，向右平移3个单位后，横坐标为0+3=3，纵坐标仍为0，因此O₁的坐标是(3,0)；
已知点A的原坐标为(1,3)，向右平移3个单位后，横坐标为1+3=4，纵坐标仍为3，因此A₁的坐标是(4,3)。
【答案】
(3,0)；(4,3)
【知识点】
点的平移规律，平移的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查平移时点的坐标变化规则，熟记“右加左减、上加下减”的平移口诀即可快速解题，是图形与坐标板块的常规考查题目。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,-1),点B(-2,1),平移线段AB,使点A落在A₁(0,-1),点B落在点B₁,则点B₁的坐标为
(1,1)
。答案
5. (1,1)
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握平移的性质：平移过程中，图形上所有点的平移方向、平移距离完全相同，即坐标的变化规律一致。我们可以先通过点A平移前后的坐标，计算出横坐标和纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出点B₁的坐标。
【解析】
1. 计算平移的坐标变化规律
已知点A原坐标为$(-3,-1)$，平移后对应点$A_1$的坐标为$(0,-1)$：
横坐标变化量：$0 - (-3) = 3$，即横坐标向右平移3个单位（加3）；
纵坐标变化量：$-1 - (-1) = 0$，即纵坐标保持不变。
2. 计算点$B_1$的坐标
点B原坐标为$(-2,1)$，按照上述平移规律计算：
$B_1$的横坐标：$-2 + 3 = 1$
$B_1$的纵坐标：$1 + 0 = 1$
因此点$B_1$的坐标为$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
1. 平移坐标变换规律
2. 点坐标运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平移过程中点的坐标变化性质，解题的关键是明确平移时所有点的坐标变化规则完全一致，掌握平移的坐标变换规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握平移的性质：平移过程中，图形上所有点的平移方向、平移距离完全相同，即坐标的变化规律一致。我们可以先通过点A平移前后的坐标，计算出横坐标和纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出点B₁的坐标。
【解析】
1. 计算平移的坐标变化规律
已知点A原坐标为$(-3,-1)$，平移后对应点$A_1$的坐标为$(0,-1)$：
横坐标变化量：$0 - (-3) = 3$，即横坐标向右平移3个单位（加3）；
纵坐标变化量：$-1 - (-1) = 0$，即纵坐标保持不变。
2. 计算点$B_1$的坐标
点B原坐标为$(-2,1)$，按照上述平移规律计算：
$B_1$的横坐标：$-2 + 3 = 1$
$B_1$的纵坐标：$1 + 0 = 1$
因此点$B_1$的坐标为$(1,1)$。
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
1. 平移坐标变换规律
2. 点坐标运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平移过程中点的坐标变化性质，解题的关键是明确平移时所有点的坐标变化规则完全一致，掌握平移的坐标变换规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 在平面直角坐标系中，点$(-4,4)$在第
二
象限。答案
6. 二
解析
【分析】
要确定平面直角坐标系中点所在的象限，首先需要牢记四个象限对应的横、纵坐标的符号特征，再将已知点的横、纵坐标正负与特征对应匹配即可解题。首先回忆各象限坐标符号规律：第一象限横正纵正，第二象限横负纵正，第三象限横负纵负，第四象限横正纵负，再分析给定点的横纵坐标符号，匹配对应象限即可。
【解析】
平面直角坐标系中，四个象限内的点的坐标符号特征如下：
第一象限：横坐标为正、纵坐标为正，即$(+,+)$；
第二象限：横坐标为负、纵坐标为正，即$(-,+)$；
第三象限：横坐标为负、纵坐标为负，即$(-,-)$；
第四象限：横坐标为正、纵坐标为负，即$(+,-)$。
已知点为$(-4,4)$，其横坐标$-4＜0$，纵坐标$4＞0$，符合第二象限的坐标符号特征，因此该点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 平面直角坐标系象限划分
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，熟记规律即可快速得出答案，是图形与坐标模块的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
要确定平面直角坐标系中点所在的象限，首先需要牢记四个象限对应的横、纵坐标的符号特征，再将已知点的横、纵坐标正负与特征对应匹配即可解题。首先回忆各象限坐标符号规律：第一象限横正纵正，第二象限横负纵正，第三象限横负纵负，第四象限横正纵负，再分析给定点的横纵坐标符号，匹配对应象限即可。
【解析】
平面直角坐标系中，四个象限内的点的坐标符号特征如下：
第一象限：横坐标为正、纵坐标为正，即$(+,+)$；
第二象限：横坐标为负、纵坐标为正，即$(-,+)$；
第三象限：横坐标为负、纵坐标为负，即$(-,-)$；
第四象限：横坐标为正、纵坐标为负，即$(+,-)$。
已知点为$(-4,4)$，其横坐标$-4＜0$，纵坐标$4＞0$，符合第二象限的坐标符号特征，因此该点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 平面直角坐标系象限划分
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，熟记规律即可快速得出答案，是图形与坐标模块的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
7. 将$△ ABC$向右平移3个单位后得到$△ A'B'C'$，若点$A'$的坐标是$(-2,3)$，则点$A$的坐标是（
A.$(1,3)$
B.$(-2,6)$
C.$(-5,3)$
D.$(-2,0)$
C
）A.$(1,3)$
B.$(-2,6)$
C.$(-5,3)$
D.$(-2,0)$
答案
7. C
解析
【分析】
解决这道题首先要掌握平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：左右平移时，纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规律（向右平移横坐标加平移单位，向左平移横坐标减平移单位）。本题已知平移后的点$A'$的坐标，要求原点点$A$的坐标，属于逆向推导，我们可以把平移过程反过来：既然点$A$向右平移3个单位得到$A'$，那么把$A'$向左平移3个单位就能得到点$A$，对应横坐标减3，纵坐标不变即可求解。
【解析】
根据平面直角坐标系点平移的坐标变化规律：点向右平移时，纵坐标不变，横坐标增加平移的单位长度。
设点$A$的坐标为$(x,y)$，点$A$向右平移3个单位得到$A'(-2,3)$，因此可得：
$\begin{cases}x + 3 = -2\\y = 3\end{cases}$
解得$x = -2 - 3 = -5$，$y=3$
所以点$A$的坐标为$(-5,3)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
点平移的坐标规律、坐标与图形变化-平移
【点评】
这道题是平移坐标变化的基础应用题，解题的关键是明确平移方向和坐标加减的对应关系，注意逆向推导原坐标时要反方向运算，避免把横坐标的加减搞反。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要掌握平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：左右平移时，纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规律（向右平移横坐标加平移单位，向左平移横坐标减平移单位）。本题已知平移后的点$A'$的坐标，要求原点点$A$的坐标，属于逆向推导，我们可以把平移过程反过来：既然点$A$向右平移3个单位得到$A'$，那么把$A'$向左平移3个单位就能得到点$A$，对应横坐标减3，纵坐标不变即可求解。
【解析】
根据平面直角坐标系点平移的坐标变化规律：点向右平移时，纵坐标不变，横坐标增加平移的单位长度。
设点$A$的坐标为$(x,y)$，点$A$向右平移3个单位得到$A'(-2,3)$，因此可得：
$\begin{cases}x + 3 = -2\\y = 3\end{cases}$
解得$x = -2 - 3 = -5$，$y=3$
所以点$A$的坐标为$(-5,3)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
点平移的坐标规律、坐标与图形变化-平移
【点评】
这道题是平移坐标变化的基础应用题，解题的关键是明确平移方向和坐标加减的对应关系，注意逆向推导原坐标时要反方向运算，避免把横坐标的加减搞反。
【难度系数】
0.85
8. 将点$A(-2,-3)$向右平移3个单位得到点$B$,则点$B$所处的象限是 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. D
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：左右平移仅改变横坐标，遵循“右加左减”的规则，上下平移仅改变纵坐标，遵循“上加下减”的规则。首先根据平移规则计算出平移后点B的坐标，再结合各象限内点的坐标符号特征，即可判断点B所在的象限。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律：点向右平移时，横坐标加平移单位长度，纵坐标不变。
已知点A(-2,-3)向右平移3个单位长度，因此点B的横坐标为$-2+3=1$，纵坐标保持$-3$不变，即点B的坐标为$(1,-3)$。
根据各象限内点的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$，可知$(1,-3)$属于第四象限内的点，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律、象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，核心考查点平移的坐标变化规则以及象限的判断，只要熟练掌握平移坐标变化口诀和各象限坐标的符号特点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：左右平移仅改变横坐标，遵循“右加左减”的规则，上下平移仅改变纵坐标，遵循“上加下减”的规则。首先根据平移规则计算出平移后点B的坐标，再结合各象限内点的坐标符号特征，即可判断点B所在的象限。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律：点向右平移时，横坐标加平移单位长度，纵坐标不变。
已知点A(-2,-3)向右平移3个单位长度，因此点B的横坐标为$-2+3=1$，纵坐标保持$-3$不变，即点B的坐标为$(1,-3)$。
根据各象限内点的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$，可知$(1,-3)$属于第四象限内的点，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律、象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，核心考查点平移的坐标变化规则以及象限的判断，只要熟练掌握平移坐标变化口诀和各象限坐标的符号特点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
