登录
5. 某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁。饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）。
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每千克3元，乙种饮料销售价是每千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；
（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每千克3元，乙种饮料销售价是每千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？
答案
5. 解:(1)$\begin{cases} 0.6x+0.2(650-x)≤ 300, \\ 0.3x+0.4(650-x)≤ 240, \end{cases}$ 解得$200≤ x≤ 425$；
(2)设这批饮料销售总金额为$y$元,根据题意得,$y=3x+4(650-x)$,化简,得$y=-x+2600$,$\because k=-1＜0$,$\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\therefore$ 当 $x=200$ 时,这批饮料销售总金额最大,最大销售总金额为$-200+2600=2400$(元),此时甲、乙两种饮料分别生产 200 千克、450 千克.
(2)设这批饮料销售总金额为$y$元,根据题意得,$y=3x+4(650-x)$,化简,得$y=-x+2600$,$\because k=-1＜0$,$\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\therefore$ 当 $x=200$ 时,这批饮料销售总金额最大,最大销售总金额为$-200+2600=2400$(元),此时甲、乙两种饮料分别生产 200 千克、450 千克.
解析
【分析】
（1）求解x的取值范围时，首先明确生产甲种饮料x千克，则乙种饮料为(650-x)千克。由于生产所用的A、B两种果汁总量不能超过现有原料存量，因此分别根据A、B果汁的用量上限列出两个不等式，组成一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
（2）求销售总金额最大值时，先根据“总销售额=甲饮料销售额+乙饮料销售额”列出总金额y关于x的函数关系式，判断一次函数的增减性，再结合第一问得到的x的取值范围，即可找到使总金额最大的x值，进而得到甲、乙两种饮料的最优产量。
【解析】
解：(1) 由题意得，生产乙种饮料的质量为(650-x)千克。
根据A种果汁总用量不超过300千克，列不等式：
$0.6x + 0.2(650-x) ≤ 300$ ①
根据B种果汁总用量不超过240千克，列不等式：
$0.3x + 0.4(650-x) ≤ 240$ ②
联立得不等式组$\begin{cases} 0.6x+0.2(650-x)≤ 300 \\ 0.3x+0.4(650-x)≤ 240 \end{cases}$
解不等式①：
$0.6x + 130 - 0.2x ≤ 300$
$0.4x ≤ 170$
$x ≤ 425$
解不等式②：
$0.3x + 260 - 0.4x ≤ 240$
$-0.1x ≤ -20$
$x ≥ 200$
综上，x的取值范围为$200 ≤ x ≤ 425$。
(2) 设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得：
$y = 3x + 4(650 - x)$
化简得：$y = -x + 2600$
$\because k=-1 ＜ 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当x取最小值200时，y取得最大值，
最大金额为$y=-200 + 2600 = 2400$（元），
此时乙种饮料产量为$650 - 200 = 450$（千克）。
【答案】
(1) 不等式组为$\begin{cases} 0.6x+0.2(650-x)≤ 300 \\ 0.3x+0.4(650-x)≤ 240 \end{cases}$，x的取值范围是$200≤x≤425$；
(2) 生产甲种饮料200千克，乙种饮料450千克时，这批饮料销售总金额最大。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数性质，最值问题
【点评】
本题是不等式与一次函数结合的典型实际应用题，解题核心是从题干提取限制条件建立不等式组确定自变量范围，再结合一次函数增减性求解最值，能有效考察学生的数学建模能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）求解x的取值范围时，首先明确生产甲种饮料x千克，则乙种饮料为(650-x)千克。由于生产所用的A、B两种果汁总量不能超过现有原料存量，因此分别根据A、B果汁的用量上限列出两个不等式，组成一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
（2）求销售总金额最大值时，先根据“总销售额=甲饮料销售额+乙饮料销售额”列出总金额y关于x的函数关系式，判断一次函数的增减性，再结合第一问得到的x的取值范围，即可找到使总金额最大的x值，进而得到甲、乙两种饮料的最优产量。
【解析】
解：(1) 由题意得，生产乙种饮料的质量为(650-x)千克。
根据A种果汁总用量不超过300千克，列不等式：
$0.6x + 0.2(650-x) ≤ 300$ ①
根据B种果汁总用量不超过240千克，列不等式：
$0.3x + 0.4(650-x) ≤ 240$ ②
联立得不等式组$\begin{cases} 0.6x+0.2(650-x)≤ 300 \\ 0.3x+0.4(650-x)≤ 240 \end{cases}$
解不等式①：
$0.6x + 130 - 0.2x ≤ 300$
$0.4x ≤ 170$
$x ≤ 425$
解不等式②：
$0.3x + 260 - 0.4x ≤ 240$
$-0.1x ≤ -20$
$x ≥ 200$
综上，x的取值范围为$200 ≤ x ≤ 425$。
(2) 设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得：
$y = 3x + 4(650 - x)$
化简得：$y = -x + 2600$
$\because k=-1 ＜ 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当x取最小值200时，y取得最大值，
最大金额为$y=-200 + 2600 = 2400$（元），
此时乙种饮料产量为$650 - 200 = 450$（千克）。
【答案】
(1) 不等式组为$\begin{cases} 0.6x+0.2(650-x)≤ 300 \\ 0.3x+0.4(650-x)≤ 240 \end{cases}$，x的取值范围是$200≤x≤425$；
(2) 生产甲种饮料200千克，乙种饮料450千克时，这批饮料销售总金额最大。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数性质，最值问题
【点评】
本题是不等式与一次函数结合的典型实际应用题，解题核心是从题干提取限制条件建立不等式组确定自变量范围，再结合一次函数增减性求解最值，能有效考察学生的数学建模能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1.（安顺中考题）若不等式组$\begin{cases}5-3x≥0, \\x-m≥0\end{cases}$有实数解，则实数$m$的取值范围是（ ）
A.$m≤\frac{5}{3}$
B.$m＜\frac{5}{3}$
C.$m＞\frac{5}{3}$
D.$m≥\frac{5}{3}$
A.$m≤\frac{5}{3}$
B.$m＜\frac{5}{3}$
C.$m＞\frac{5}{3}$
D.$m≥\frac{5}{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决不等式组有解求参数范围的问题，解题思路分三步：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步明确不等式组有实数解的条件是两个解集存在公共部分；第三步结合两个解集的形式确定参数m的取值范围，解题时要注意解不等式时不等号方向的变化规则。
【解析】
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5-3x≥0$：
移项得$-3x≥ -5$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x≤ \frac{5}{3}$。
2. 解不等式$x-m≥0$：
移项得$x≥ m$。
因为不等式组有实数解，说明两个解集有公共部分，即$m$要满足$m≤ \frac{5}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组解集的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的解法和不等式组有解的判定规则，解题的易错点是解含负数系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及判断解集公共部分时弄错参数的不等号方向。
【难度系数】
0.8
要解决不等式组有解求参数范围的问题，解题思路分三步：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步明确不等式组有实数解的条件是两个解集存在公共部分；第三步结合两个解集的形式确定参数m的取值范围，解题时要注意解不等式时不等号方向的变化规则。
【解析】
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5-3x≥0$：
移项得$-3x≥ -5$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x≤ \frac{5}{3}$。
2. 解不等式$x-m≥0$：
移项得$x≥ m$。
因为不等式组有实数解，说明两个解集有公共部分，即$m$要满足$m≤ \frac{5}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组解集的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的解法和不等式组有解的判定规则，解题的易错点是解含负数系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及判断解集公共部分时弄错参数的不等号方向。
【难度系数】
0.8
2.（钦州中考题）不等式组$\begin{cases}3x≥9, \\ x＜5\end{cases}$的整数解共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个求不等式组整数解个数的问题，思路分三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集；第二步根据不等式组解集的确定规则，找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内找出所有整数，统计整数的个数即可得到结果。
【解析】
1. 解第一个不等式$3x≥9$：
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，得$x≥3$。
2. 结合第二个不等式$x＜5$，确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$3≤ x＜5$。
3. 找出该范围内的整数：
满足$3≤ x＜5$的整数为3、4，共2个。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的求解、不等式组解集的确定、不等式组的整数解
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础常考题，核心考察对不等式组解法的掌握程度，解题时要注意不等号的取值边界，避免因粗心多算、漏算整数解。
【难度系数】
0.8
要解决这个求不等式组整数解个数的问题，思路分三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集；第二步根据不等式组解集的确定规则，找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内找出所有整数，统计整数的个数即可得到结果。
【解析】
1. 解第一个不等式$3x≥9$：
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，得$x≥3$。
2. 结合第二个不等式$x＜5$，确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$3≤ x＜5$。
3. 找出该范围内的整数：
满足$3≤ x＜5$的整数为3、4，共2个。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的求解、不等式组解集的确定、不等式组的整数解
【点评】
本题属于一元一次不等式组的基础常考题，核心考察对不等式组解法的掌握程度，解题时要注意不等号的取值边界，避免因粗心多算、漏算整数解。
【难度系数】
0.8
3.（来宾中考题）不等式组$\begin{cases}x+3＞0, \\4-x≥0\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
3. D
解析
【分析】
求解这类题需要分三步：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步找到两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步结合数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈），匹配正确的选项即可。
【解析】
1. 解不等式$x+3＞0$：
移项得：$x ＞ -3$，该解集在数轴上表示为$-3$处画空心圆圈，方向向右。
2. 解不等式$4-x≥0$：
移项得：$-x ≥ -4$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ≤ 4$，该解集在数轴上表示为$4$处画实心圆点，方向向左。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-3 ＜ x ≤ 4$，对应数轴表示为选项D的图形。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，核心是掌握一元一次不等式的解法，以及数轴表示解集时实心点、空心圈的区分和方向判断，避免因不等号变号规则记错或者数轴表示不规范失分。
【难度系数】
0.8
求解这类题需要分三步：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步找到两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步结合数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈），匹配正确的选项即可。
【解析】
1. 解不等式$x+3＞0$：
移项得：$x ＞ -3$，该解集在数轴上表示为$-3$处画空心圆圈，方向向右。
2. 解不等式$4-x≥0$：
移项得：$-x ≥ -4$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ≤ 4$，该解集在数轴上表示为$4$处画实心圆点，方向向左。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-3 ＜ x ≤ 4$，对应数轴表示为选项D的图形。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，核心是掌握一元一次不等式的解法，以及数轴表示解集时实心点、空心圈的区分和方向判断，避免因不等号变号规则记错或者数轴表示不规范失分。
【难度系数】
0.8
4.（潍坊中考题）若不等式组$\begin{cases}x+a≥ 0, \\ 1-2x ＞ x-2\end{cases}$无解，则实数$a$的取值范围是（ ）
A.$a≥ -1$
B.$a ＜ -1$
C.$a≤ 1$
D.$a≤ -1$
A.$a≥ -1$
B.$a ＜ -1$
C.$a≤ 1$
D.$a≤ -1$
答案
4. D
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组无解问题，解题思路分三步：第一步先分别求解两个一元一次不等式的解集；第二步根据不等式组“无解即两个解集没有公共部分”的判定规则，结合“大大小小找不到”的解集口诀，列出关于参数a的不等式；第三步验证端点值是否满足无解的条件，最终确定a的取值范围。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式 $x + a ≥ 0$：
移项可得 $x ≥ -a$。
2. 解不等式 $1 - 2x ＞ x - 2$：
移项得 $1 + 2 ＞ x + 2x$，合并同类项得 $3 ＞ 3x$，两边同时除以3得 $x ＜ 1$。
已知该不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此可得：
$-a ≥ 1$
两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得 $a ≤ -1$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式；不等式组解集判定；含参不等式求解
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，核心考查不等式组无解的判定规则，解题时要注意先求出不含参数的不等式的解集，再结合解集的位置关系列参数不等式，尤其要注意端点值的验证，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组无解问题，解题思路分三步：第一步先分别求解两个一元一次不等式的解集；第二步根据不等式组“无解即两个解集没有公共部分”的判定规则，结合“大大小小找不到”的解集口诀，列出关于参数a的不等式；第三步验证端点值是否满足无解的条件，最终确定a的取值范围。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式 $x + a ≥ 0$：
移项可得 $x ≥ -a$。
2. 解不等式 $1 - 2x ＞ x - 2$：
移项得 $1 + 2 ＞ x + 2x$，合并同类项得 $3 ＞ 3x$，两边同时除以3得 $x ＜ 1$。
已知该不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此可得：
$-a ≥ 1$
两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得 $a ≤ -1$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次不等式；不等式组解集判定；含参不等式求解
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，核心考查不等式组无解的判定规则，解题时要注意先求出不含参数的不等式的解集，再结合解集的位置关系列参数不等式，尤其要注意端点值的验证，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.6
5.（福州中考题）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元.
（1）求：A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问：有几种购买方案，哪种方案费用最低？
（1）求：A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问：有几种购买方案，哪种方案费用最低？
答案
5. 解:(1)设 A 种商品每件 $x$ 元,$B$ 种商品每件 $y$ 元,根据题意,得:
$\begin{cases} 2x+y=90, \\ 3x+2y=160, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=20, \\ y=50. \end{cases}$
答:A 种商品每件 20 元,B 种商品每件 50 元;
(2)设小亮准备购买 A 种商品 $m$ 件,则购买 B 种商品$(10-m)$件.
由题意得:
$\begin{cases} 20m+50(10-m)≤ 350, \\ 20m+50(10-m)≥ 300, \end{cases}$ 解得 $5≤ m≤ 6\dfrac{2}{3}$.
根据题意,$m$ 的值应为整数,所以 $m=5$ 或 $m=6$.
方案一:当 $m=5$ 时,购买费用为 $20× 5+50×(10-5)=350$(元);
方案二:当 $m=6$ 时,购买费用为 $20× 6+50×(10-6)=320$(元).
$\because 350＞320$,
$\therefore$ 购买 A 种商品 6 件,B 种商品 4 件的费用最低.
答:有两种购买方案,方案一:购买 A 种商品 5 件,B 种商品 5 件;方案二:购买 A 种商品 6 件,B 种商品 4 件.其中方案二费用最低.
$\begin{cases} 2x+y=90, \\ 3x+2y=160, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=20, \\ y=50. \end{cases}$
答:A 种商品每件 20 元,B 种商品每件 50 元;
(2)设小亮准备购买 A 种商品 $m$ 件,则购买 B 种商品$(10-m)$件.
由题意得:
$\begin{cases} 20m+50(10-m)≤ 350, \\ 20m+50(10-m)≥ 300, \end{cases}$ 解得 $5≤ m≤ 6\dfrac{2}{3}$.
根据题意,$m$ 的值应为整数,所以 $m=5$ 或 $m=6$.
方案一:当 $m=5$ 时,购买费用为 $20× 5+50×(10-5)=350$(元);
方案二:当 $m=6$ 时,购买费用为 $20× 6+50×(10-6)=320$(元).
$\because 350＞320$,
$\therefore$ 购买 A 种商品 6 件,B 种商品 4 件的费用最低.
答:有两种购买方案,方案一:购买 A 种商品 5 件,B 种商品 5 件;方案二:购买 A 种商品 6 件,B 种商品 4 件.其中方案二费用最低.
解析
【分析】
（1）第一问求A、B两种商品的单价，题干给出了两次购买的总费用，存在两个明确的等量关系：2件A商品的费用+1件B商品的费用=90元，3件A商品的费用+2件B商品的费用=160元，因此可以设两个未知数，列二元一次方程组求解。
（2）第二问是方案设计问题，已知A、B两种商品总购买数量为10件，总费用有上下限限制，因此设购买A商品的数量为m件，那么B商品的数量就是(10-m)件，根据总费用的范围列一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数的实际意义得到可行的m值，对应得出不同购买方案，最后计算各方案总费用比较得出最低费用的方案即可。
【解析】
(1) 设A种商品每件$x$元，B种商品每件$y$元，根据题意得：
$\begin{cases} 2x+y=90 \\ 3x+2y=160 \end{cases}$
由第一个方程得$y=90-2x$，代入第二个方程：
$3x+2(90-2x)=160$
解得$x=20$，将$x=20$代入$y=90-2x$得$y=50$
即方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=50 \end{cases}$
(2) 设小亮准备购买A种商品$m$件，则购买B种商品$(10-m)$件，由题意得：
$\begin{cases} 20m+50(10-m)≤ 350 \\ 20m+50(10-m)≥ 300 \end{cases}$
解第一个不等式得$m≥5$，解第二个不等式得$m≤6\dfrac{2}{3}$，因此不等式组的解集为$5≤ m≤ 6\dfrac{2}{3}$
因为$m$为正整数，所以$m=5$或$m=6$，对应两种方案：
方案一：当$m=5$时，购买A商品5件、B商品5件，总费用为$20× 5+50×(10-5)=350$元；
方案二：当$m=6$时，购买A商品6件、B商品4件，总费用为$20× 6+50×(10-6)=320$元。
$\because 350＞320$，$\therefore$方案二费用更低。
【答案】
(1) A种商品每件20元，B种商品每件50元；
(2) 有两种购买方案：方案一为购买A种商品5件，B种商品5件；方案二为购买A种商品6件，B种商品4件。其中购买A种商品6件、B种商品4件的方案费用最低。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，最优方案选择
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，重点考查从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意未知数的实际意义，购买数量必须为正整数，最后通过对比得到最优方案，是代数应用类的常规题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求A、B两种商品的单价，题干给出了两次购买的总费用，存在两个明确的等量关系：2件A商品的费用+1件B商品的费用=90元，3件A商品的费用+2件B商品的费用=160元，因此可以设两个未知数，列二元一次方程组求解。
（2）第二问是方案设计问题，已知A、B两种商品总购买数量为10件，总费用有上下限限制，因此设购买A商品的数量为m件，那么B商品的数量就是(10-m)件，根据总费用的范围列一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数的实际意义得到可行的m值，对应得出不同购买方案，最后计算各方案总费用比较得出最低费用的方案即可。
【解析】
(1) 设A种商品每件$x$元，B种商品每件$y$元，根据题意得：
$\begin{cases} 2x+y=90 \\ 3x+2y=160 \end{cases}$
由第一个方程得$y=90-2x$，代入第二个方程：
$3x+2(90-2x)=160$
解得$x=20$，将$x=20$代入$y=90-2x$得$y=50$
即方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=50 \end{cases}$
(2) 设小亮准备购买A种商品$m$件，则购买B种商品$(10-m)$件，由题意得：
$\begin{cases} 20m+50(10-m)≤ 350 \\ 20m+50(10-m)≥ 300 \end{cases}$
解第一个不等式得$m≥5$，解第二个不等式得$m≤6\dfrac{2}{3}$，因此不等式组的解集为$5≤ m≤ 6\dfrac{2}{3}$
因为$m$为正整数，所以$m=5$或$m=6$，对应两种方案：
方案一：当$m=5$时，购买A商品5件、B商品5件，总费用为$20× 5+50×(10-5)=350$元；
方案二：当$m=6$时，购买A商品6件、B商品4件，总费用为$20× 6+50×(10-6)=320$元。
$\because 350＞320$，$\therefore$方案二费用更低。
【答案】
(1) A种商品每件20元，B种商品每件50元；
(2) 有两种购买方案：方案一为购买A种商品5件，B种商品5件；方案二为购买A种商品6件，B种商品4件。其中购买A种商品6件、B种商品4件的方案费用最低。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，最优方案选择
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，重点考查从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意未知数的实际意义，购买数量必须为正整数，最后通过对比得到最优方案，是代数应用类的常规题型。
【难度系数】
0.7
6.（攀枝花中考题）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进。花城新区建设某工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540 m³，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作。租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表所示：
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的租用方案？
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的租用方案？
答案
6. 解:(1)设租用甲型号的挖掘机 $x$ 台,乙型号的挖掘机 $y$ 台,根据题意,得
$\begin{cases} x+y=8, \\ 60x+80y=540, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\ y=3. \end{cases}$
答:甲、乙两种型号的挖掘机各需 5 台、3 台；
(2)设租用甲型号的挖掘机 $m$ 台,则租用乙型号的挖掘机 $\dfrac{540-60m}{80}$ 台,根据题意,得
$100m+120×\dfrac{540-60m}{80}≤ 850$,解得 $m≤ 4$.
又 $m$ 为非负整数,$\therefore m=0$ 或 1 或 2 或 3 或 4,分别代入 $\dfrac{540-60m}{80}$,可知,只有当 $m=1$ 时,$\dfrac{540-60m}{80}=6$ 为整数,符合题意. $\therefore$ 符合条件的租用方案只有一种,即租用甲型号的挖掘机 1 台,乙型号的挖掘机 6 台.
$\begin{cases} x+y=8, \\ 60x+80y=540, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\ y=3. \end{cases}$
答:甲、乙两种型号的挖掘机各需 5 台、3 台；
(2)设租用甲型号的挖掘机 $m$ 台,则租用乙型号的挖掘机 $\dfrac{540-60m}{80}$ 台,根据题意,得
$100m+120×\dfrac{540-60m}{80}≤ 850$,解得 $m≤ 4$.
又 $m$ 为非负整数,$\therefore m=0$ 或 1 或 2 或 3 或 4,分别代入 $\dfrac{540-60m}{80}$,可知,只有当 $m=1$ 时,$\dfrac{540-60m}{80}=6$ 为整数,符合题意. $\therefore$ 符合条件的租用方案只有一种,即租用甲型号的挖掘机 1 台,乙型号的挖掘机 6 台.
解析
【分析】
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，我们可以分别设甲、乙两种型号挖掘机的台数为未知数，根据“两种挖掘机总数量为8台”“每小时总挖掘量为540m³”这两个等量关系列出方程组，求解就能得到两种挖掘机的台数。
(2) 第二问是结合不等式的方案设计问题，先设租用甲型挖掘机m台，根据总挖掘量的等量关系用含m的式子表示出乙型挖掘机的台数，再根据“每小时支付租金不超过850元”的限制列不等式，求出m的取值范围；再结合“挖掘机台数为非负整数”的隐藏条件，代入验证筛选出符合要求的m值，即可得到可行的租用方案。
【解析】
(1) 设租用甲型号的挖掘机 $x$ 台，乙型号的挖掘机 $y$ 台，根据题意，得：
$\begin{cases} x+y=8 \\ 60x+80y=540 \end{cases}$
将$y=8-x$代入第二个方程，得$60x+80(8-x)=540$，解得$x=5$，则$y=8-5=3$。
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台。
(2) 设租用甲型号的挖掘机 $m$ 台，因恰好完成每小时的挖掘量，故租用乙型号的挖掘机 $\dfrac{540-60m}{80}$ 台，根据租金限制列不等式：
$100m+120×\dfrac{540-60m}{80}≤ 850$
化简得$10m≤40$，解得 $m≤ 4$。
又$m$为非负整数，因此$m$的可能取值为0、1、2、3、4，分别代入$\dfrac{540-60m}{80}$验证：
只有当$m=1$时，$\dfrac{540-60×1}{80}=6$为整数，符合题意，其余取值得到的乙的台数均不是整数，舍去。
因此符合条件的租用方案只有1种：租用甲型挖掘机1台，乙型挖掘机6台。
【答案】
(1) 甲型挖掘机5台，乙型挖掘机3台；
(2) 共有1种租用方案：租用甲型挖掘机1台，乙型挖掘机6台。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、方案设计
【点评】
本题结合实际工程场景考察方程与不等式的综合应用，解题时要注意挖掘隐藏条件：挖掘机的台数必须为非负整数，求出取值范围后要对解逐一验证筛选，整体解题思路清晰，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，我们可以分别设甲、乙两种型号挖掘机的台数为未知数，根据“两种挖掘机总数量为8台”“每小时总挖掘量为540m³”这两个等量关系列出方程组，求解就能得到两种挖掘机的台数。
(2) 第二问是结合不等式的方案设计问题，先设租用甲型挖掘机m台，根据总挖掘量的等量关系用含m的式子表示出乙型挖掘机的台数，再根据“每小时支付租金不超过850元”的限制列不等式，求出m的取值范围；再结合“挖掘机台数为非负整数”的隐藏条件，代入验证筛选出符合要求的m值，即可得到可行的租用方案。
【解析】
(1) 设租用甲型号的挖掘机 $x$ 台，乙型号的挖掘机 $y$ 台，根据题意，得：
$\begin{cases} x+y=8 \\ 60x+80y=540 \end{cases}$
将$y=8-x$代入第二个方程，得$60x+80(8-x)=540$，解得$x=5$，则$y=8-5=3$。
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台。
(2) 设租用甲型号的挖掘机 $m$ 台，因恰好完成每小时的挖掘量，故租用乙型号的挖掘机 $\dfrac{540-60m}{80}$ 台，根据租金限制列不等式：
$100m+120×\dfrac{540-60m}{80}≤ 850$
化简得$10m≤40$，解得 $m≤ 4$。
又$m$为非负整数，因此$m$的可能取值为0、1、2、3、4，分别代入$\dfrac{540-60m}{80}$验证：
只有当$m=1$时，$\dfrac{540-60×1}{80}=6$为整数，符合题意，其余取值得到的乙的台数均不是整数，舍去。
因此符合条件的租用方案只有1种：租用甲型挖掘机1台，乙型挖掘机6台。
【答案】
(1) 甲型挖掘机5台，乙型挖掘机3台；
(2) 共有1种租用方案：租用甲型挖掘机1台，乙型挖掘机6台。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、方案设计
【点评】
本题结合实际工程场景考察方程与不等式的综合应用，解题时要注意挖掘隐藏条件：挖掘机的台数必须为非负整数，求出取值范围后要对解逐一验证筛选，整体解题思路清晰，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
