登录
【例4】 我们知道，在数轴上，$x=1$表示一个点，而在平面直角坐标系中，$x=1$表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程$2x - y + 1 = 0$的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数$y=2x+1$的图象，它也是一条直线，如图1.
观察图1可以得出：直线$x=1$与直线$y=2x+1$的交点$P$的坐标$(1,3)$就是方程组$\begin{cases}x=1, \\2x - y + 1 = 0\end{cases}$的解，所以这个方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=3\end{cases}$.
在直角坐标系中，$x≤1$表示一个平面区域，即直线$x=1$以及它左侧的部分，如图2；$y≤2x+1$也表示一个平面区域，即直线$y=2x+1$以及它下方的部分，如图3.
根据以上内容，回答下列问题：
(1)在直角坐标系(图4)中，用作图象的方法求出方程组$\begin{cases}x=-2, \\y=-2x + 2\end{cases}$的解；
(2)用阴影表示$\begin{cases}x≥-2, \\y≤-2x + 2, \\y≥0\end{cases}$，所围成的区域.
【分析】 本题是一道集阅读理解与解答于一体的综合型创新考题，要注意在阅读的过程中理解用函数图象解方程组及不等式组的方法.
第(1)小题画直线$x=-2$和$y=-2x + 2$，根据这两条直线的交点可确定方程组的解.
第(2)小题在直角坐标系中，$x≥-2$表示直线$x=-2$以及它右侧的部分；$y≤-2x + 2$表示直线$y=-2x + 2$以及它下方的部分；$y≥0$表示直线$y=0$以及它上方的部分.这三部分的公共部分就是所围成的区域.
【解】 (1)如图，在直角坐标系内分别作直线$x=-2$和直线$y=-2x + 2$，观察图象可知这两条直线的交点为$P(-2,6)$，所以方程组$\begin{cases}x=-2, \\y=-2x + 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2, \\y=6\end{cases}$；
(2)如图所示的阴影部分即为$\begin{cases}x≥-2, \\y≤-2x + 2, \\y≥0\end{cases}$围成的区域.
观察图1可以得出：直线$x=1$与直线$y=2x+1$的交点$P$的坐标$(1,3)$就是方程组$\begin{cases}x=1, \\2x - y + 1 = 0\end{cases}$的解，所以这个方程组的解为$\begin{cases}x=1, \\y=3\end{cases}$.
在直角坐标系中，$x≤1$表示一个平面区域，即直线$x=1$以及它左侧的部分，如图2；$y≤2x+1$也表示一个平面区域，即直线$y=2x+1$以及它下方的部分，如图3.
根据以上内容，回答下列问题：
(1)在直角坐标系(图4)中，用作图象的方法求出方程组$\begin{cases}x=-2, \\y=-2x + 2\end{cases}$的解；
(2)用阴影表示$\begin{cases}x≥-2, \\y≤-2x + 2, \\y≥0\end{cases}$，所围成的区域.
【分析】 本题是一道集阅读理解与解答于一体的综合型创新考题，要注意在阅读的过程中理解用函数图象解方程组及不等式组的方法.
第(1)小题画直线$x=-2$和$y=-2x + 2$，根据这两条直线的交点可确定方程组的解.
第(2)小题在直角坐标系中，$x≥-2$表示直线$x=-2$以及它右侧的部分；$y≤-2x + 2$表示直线$y=-2x + 2$以及它下方的部分；$y≥0$表示直线$y=0$以及它上方的部分.这三部分的公共部分就是所围成的区域.
【解】 (1)如图，在直角坐标系内分别作直线$x=-2$和直线$y=-2x + 2$，观察图象可知这两条直线的交点为$P(-2,6)$，所以方程组$\begin{cases}x=-2, \\y=-2x + 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2, \\y=6\end{cases}$；
(2)如图所示的阴影部分即为$\begin{cases}x≥-2, \\y≤-2x + 2, \\y≥0\end{cases}$围成的区域.
答案
解：
(1) 在直角坐标系中分别作出直线$x=-2$和直线$y=-2x+2$：
直线$x=-2$是过点$(-2,0)$且垂直于$x$轴的直线；
直线$y=-2x+2$经过点$(0,2)$和$(1,0)$。
观察图象可得两条直线的交点坐标为$(-2,6)$，
因此方程组$\begin{cases}x=-2, \\y=-2x+2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2, \\y=6\end{cases}$。
(2) 不等式组中：
$x\ge-2$对应直线$x=-2$以及它右侧的所有点组成的区域；
$y\le-2x+2$对应直线$y=-2x+2$以及它下方的所有点组成的区域；
$y\ge0$对应直线$y=0$（即$x$轴）以及它上方的所有点组成的区域。
将三个区域的公共部分用阴影标注，该阴影部分即为不等式组所围成的区域。
(1) 在直角坐标系中分别作出直线$x=-2$和直线$y=-2x+2$：
直线$x=-2$是过点$(-2,0)$且垂直于$x$轴的直线；
直线$y=-2x+2$经过点$(0,2)$和$(1,0)$。
观察图象可得两条直线的交点坐标为$(-2,6)$，
因此方程组$\begin{cases}x=-2, \\y=-2x+2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2, \\y=6\end{cases}$。
(2) 不等式组中：
$x\ge-2$对应直线$x=-2$以及它右侧的所有点组成的区域；
$y\le-2x+2$对应直线$y=-2x+2$以及它下方的所有点组成的区域；
$y\ge0$对应直线$y=0$（即$x$轴）以及它上方的所有点组成的区域。
将三个区域的公共部分用阴影标注，该阴影部分即为不等式组所围成的区域。
解析
【分析】
本题是结合一次函数图象与方程、不等式的阅读理解类题目，解题可借鉴题干给出的示例方法：
(1) 二元一次方程组的解对应方程组中两个方程对应的直线的交点坐标，因此只需先分别画出直线$x=-2$和直线$y=-2x+2$，找到两直线的交点，交点的横、纵坐标就是方程组的解。画图时，$x=-2$是过点$(-2,0)$且垂直于x轴的直线，一次函数$y=-2x+2$可通过找与x轴、y轴的交点两个特殊点确定直线。
(2) 带等号的不等式表示的是对应直线以及直线一侧的平面区域，只需分别确定三个不等式各自对应的区域，三个区域的公共部分就是不等式组围成的区域：$x≥-2$对应直线$x=-2$右侧区域，$y≤-2x+2$对应直线$y=-2x+2$下方区域，$y≥0$对应x轴及上方区域。
【解析】
(1) 首先在平面直角坐标系中作两条直线：
① 直线$x=-2$：过点$(-2,0)$作垂直于x轴的直线即可；
② 直线$y=-2x+2$：分别取$x=0$得$y=2$，取$y=0$得$x=1$，过点$(0,2)$和$(1,0)$作直线即为$y=-2x+2$的图象。
观察两条直线的交点，可得交点坐标为$(-2,6)$，因此方程组的解就是交点的坐标值。
(2) 分别确定每个不等式对应的区域：
① $x≥-2$：包含直线$x=-2$，且是直线右侧的所有点组成的区域；
② $y≤-2x+2$：包含直线$y=-2x+2$，且是直线下方的所有点组成的区域；
③ $y≥0$：包含x轴（直线$y=0$），且是x轴上方的所有点组成的区域。
将上述三个区域的公共部分涂上阴影，该阴影就是所求的不等式组围成的区域。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-2 \\ y=6\end{cases}$；
(2) 直线$x=-2$右侧、直线$y=-2x+2$下方、x轴上方三者的公共阴影区域（作图略）。
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的联系
2. 一次函数与不等式组的区域表示
【点评】
本题属于创新阅读理解题，将方程、不等式与一次函数图象结合，考查知识迁移应用能力和作图读图能力，解题的关键是理解函数图象与方程、不等式的对应关系，借鉴题干给出的示例方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是结合一次函数图象与方程、不等式的阅读理解类题目，解题可借鉴题干给出的示例方法：
(1) 二元一次方程组的解对应方程组中两个方程对应的直线的交点坐标，因此只需先分别画出直线$x=-2$和直线$y=-2x+2$，找到两直线的交点，交点的横、纵坐标就是方程组的解。画图时，$x=-2$是过点$(-2,0)$且垂直于x轴的直线，一次函数$y=-2x+2$可通过找与x轴、y轴的交点两个特殊点确定直线。
(2) 带等号的不等式表示的是对应直线以及直线一侧的平面区域，只需分别确定三个不等式各自对应的区域，三个区域的公共部分就是不等式组围成的区域：$x≥-2$对应直线$x=-2$右侧区域，$y≤-2x+2$对应直线$y=-2x+2$下方区域，$y≥0$对应x轴及上方区域。
【解析】
(1) 首先在平面直角坐标系中作两条直线：
① 直线$x=-2$：过点$(-2,0)$作垂直于x轴的直线即可；
② 直线$y=-2x+2$：分别取$x=0$得$y=2$，取$y=0$得$x=1$，过点$(0,2)$和$(1,0)$作直线即为$y=-2x+2$的图象。
观察两条直线的交点，可得交点坐标为$(-2,6)$，因此方程组的解就是交点的坐标值。
(2) 分别确定每个不等式对应的区域：
① $x≥-2$：包含直线$x=-2$，且是直线右侧的所有点组成的区域；
② $y≤-2x+2$：包含直线$y=-2x+2$，且是直线下方的所有点组成的区域；
③ $y≥0$：包含x轴（直线$y=0$），且是x轴上方的所有点组成的区域。
将上述三个区域的公共部分涂上阴影，该阴影就是所求的不等式组围成的区域。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-2 \\ y=6\end{cases}$；
(2) 直线$x=-2$右侧、直线$y=-2x+2$下方、x轴上方三者的公共阴影区域（作图略）。
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的联系
2. 一次函数与不等式组的区域表示
【点评】
本题属于创新阅读理解题，将方程、不等式与一次函数图象结合，考查知识迁移应用能力和作图读图能力，解题的关键是理解函数图象与方程、不等式的对应关系，借鉴题干给出的示例方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
