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【例1】 如图是在同一坐标系内作出的一次函数$y_1$，$y_2$的图象$l_1$，$l_2$，设$y_1=k_1x+b_1$，$y_2=k_2x+b_2$，则方程组$\begin{cases}y_1=k_1x+b_1, \\ y_2=k_2x+b_2\end{cases}$的解是 （ ）
A.$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-2, \\ y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-3, \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-3, \\ y=4 \end{cases}$
【分析】 由函数图象上点的坐标，利用待定系数法确定函数解析式，然后联立两函数关系式，再解方程组求解。
A.$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-2, \\ y=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-3, \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-3, \\ y=4 \end{cases}$
【分析】 由函数图象上点的坐标，利用待定系数法确定函数解析式，然后联立两函数关系式，再解方程组求解。
答案
A
解析
【分析】
解题思路有两种：1. 利用一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解，直接观察图象找到两条直线的交点坐标即可得到答案；2. 先通过图象找到两条直线经过的整数坐标点，用待定系数法分别求出两个一次函数的解析式，再联立解方程组得到解。其中数形结合找交点的方法更简便。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标。
观察图象可得，直线$l_1$和$l_2$的交点坐标为$(-2,2)$，因此方程组$\begin{cases}y_1=k_1x+b_1 \\ y_2=k_2x+b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数与方程问题中的应用，核心是理解一次函数交点和方程组解的对应关系，既可以直接读图得到答案，也可以通过求解析式联立求解，掌握核心规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路有两种：1. 利用一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解，直接观察图象找到两条直线的交点坐标即可得到答案；2. 先通过图象找到两条直线经过的整数坐标点，用待定系数法分别求出两个一次函数的解析式，再联立解方程组得到解。其中数形结合找交点的方法更简便。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标。
观察图象可得，直线$l_1$和$l_2$的交点坐标为$(-2,2)$，因此方程组$\begin{cases}y_1=k_1x+b_1 \\ y_2=k_2x+b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数与方程问题中的应用，核心是理解一次函数交点和方程组解的对应关系，既可以直接读图得到答案，也可以通过求解析式联立求解，掌握核心规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7
【例2】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)乙队开挖到30 m时，用了h，开挖6 h时，甲队比乙队多挖了m；
(2)请你求出：
①甲队在$0≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式；
②乙队在$2≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式；
(3)当$x$为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
【分析】 写出实际问题中的函数关系解析式是中考考查的重要内容之一，要学会从图表所提供的信息中，分析其数量关系。特别是这种折线段，要善于在自变量$x$的各个区段中识别其函数关系。
【解】 (1)2 10
(2)①设甲队在$0≤x≤6$时段内$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k₁x$，由图象过点$(6,60)$，$\therefore 6k₁=60,k₁=10,\therefore y=10x$；
②设乙队在$2≤x≤6$时段内$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k₂x+b$，由图象过点$(2,30),(6,50)$得$\begin{cases}2k₂+b=30, \\6k₂+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₂=5, \\b=20,\end{cases}$$\therefore y=5x+20(2≤x≤6)$；
(3)由题意得，$10x=5x+20$，
解得$x=4$，
所以当$x$为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等。
(1)乙队开挖到30 m时，用了h，开挖6 h时，甲队比乙队多挖了m；
(2)请你求出：
①甲队在$0≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式；
②乙队在$2≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式；
(3)当$x$为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
【分析】 写出实际问题中的函数关系解析式是中考考查的重要内容之一，要学会从图表所提供的信息中，分析其数量关系。特别是这种折线段，要善于在自变量$x$的各个区段中识别其函数关系。
【解】 (1)2 10
(2)①设甲队在$0≤x≤6$时段内$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k₁x$，由图象过点$(6,60)$，$\therefore 6k₁=60,k₁=10,\therefore y=10x$；
②设乙队在$2≤x≤6$时段内$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k₂x+b$，由图象过点$(2,30),(6,50)$得$\begin{cases}2k₂+b=30, \\6k₂+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₂=5, \\b=20,\end{cases}$$\therefore y=5x+20(2≤x≤6)$；
(3)由题意得，$10x=5x+20$，
解得$x=4$，
所以当$x$为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等。
答案
解：
(1) 2；10
(2) ① 设甲队在$0≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_1x$，
将图象过点$(6,60)$代入得：
$6k_1=60$，解得$k_1=10$，
∴甲队对应的函数关系式为$y=10x\ (0≤x≤6)$；
② 设乙队在$2≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_2x+b$，
将图象过点$(2,30)$、$(6,50)$代入得：
$\begin{cases}2k_2 + b = 30 \\6k_2 + b = 50\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=5 \\b=20\end{cases}$
∴乙队对应的函数关系式为$y=5x+20\ (2≤x≤6)$；
(3) 令甲、乙两队所挖河渠长度相等，可得方程：
$10x=5x+20$，
解得$x=4$。
答：当$x$为4时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等。
(1) 2；10
(2) ① 设甲队在$0≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_1x$，
将图象过点$(6,60)$代入得：
$6k_1=60$，解得$k_1=10$，
∴甲队对应的函数关系式为$y=10x\ (0≤x≤6)$；
② 设乙队在$2≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_2x+b$，
将图象过点$(2,30)$、$(6,50)$代入得：
$\begin{cases}2k_2 + b = 30 \\6k_2 + b = 50\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=5 \\b=20\end{cases}$
∴乙队对应的函数关系式为$y=5x+20\ (2≤x≤6)$；
(3) 令甲、乙两队所挖河渠长度相等，可得方程：
$10x=5x+20$，
解得$x=4$。
答：当$x$为4时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等。
解析
【分析】
解决本题首先要明确函数图象横、纵坐标的含义：横坐标x是挖掘时间，纵坐标y是所挖河渠的长度。
1. 第(1)问属于图象信息直接读取类问题：找乙队y=30m对应的横坐标，即可得到开挖时间；再找到x=6h时甲、乙两队对应的y值，作差即可得到甲队比乙队多挖的长度。
2. 第(2)问求函数解析式，先判断函数类型：①甲队0≤x≤6时段的图象是过原点的直线，为正比例函数，用待定系数法设y=k₁x，代入图象上的已知点即可求出解析式；②乙队2≤x≤6时段的图象是普通倾斜直线，为一次函数，设y=k₂x+b，代入该段图象上的两个已知点，解二元一次方程组即可得到系数，注意标注自变量的取值范围。
3. 第(3)问求两队挖的长度相等的时间，即两个函数的y值相等时对应的x值，联立两个函数解析式得到一元一次方程，求解后验证x是否在有效取值范围内即可。
【解析】
(1) 观察图象可得：乙队开挖到30m时，对应的横坐标x=2h；开挖6h时，甲队挖了60m，乙队挖了50m，甲队比乙队多挖60-50=10m。
(2) ①设甲队在$0≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_1x$，
将点$(6,60)$代入得：
$6k_1=60$，解得$k_1=10$，
∴甲队对应的函数关系式为$y=10x\ (0≤x≤6)$；
②设乙队在$2≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_2x+b$，
将点$(2,30)$、$(6,50)$代入得：
$\begin{cases}2k_2 + b = 30 \\6k_2 + b = 50\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4k_2=20$，解得$k_2=5$，
将$k_2=5$代入$2k_2 + b = 30$，得$10+b=30$，解得$b=20$，
∴乙队对应的函数关系式为$y=5x+20\ (2≤x≤6)$；
(3) 当甲、乙两队所挖河渠长度相等时，两队的函数值相等，可得方程：
$10x=5x+20$，
移项得$5x=20$，解得$x=4$，
$x=4$在$2≤x≤6$的范围内，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{10}$
(2) ① $\boldsymbol{y=10x\ (0≤x≤6)}$；② $\boldsymbol{y=5x+20\ (2≤x≤6)}$
(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；函数图象信息读取
【点评】
本题结合工程施工的实际场景，考查从函数图象中提取有效信息、运用待定系数法求解一次函数解析式，以及通过方程思想解决函数值相等的问题，需要学生掌握数形结合的思想，将图象信息和代数运算结合起来解题，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确函数图象横、纵坐标的含义：横坐标x是挖掘时间，纵坐标y是所挖河渠的长度。
1. 第(1)问属于图象信息直接读取类问题：找乙队y=30m对应的横坐标，即可得到开挖时间；再找到x=6h时甲、乙两队对应的y值，作差即可得到甲队比乙队多挖的长度。
2. 第(2)问求函数解析式，先判断函数类型：①甲队0≤x≤6时段的图象是过原点的直线，为正比例函数，用待定系数法设y=k₁x，代入图象上的已知点即可求出解析式；②乙队2≤x≤6时段的图象是普通倾斜直线，为一次函数，设y=k₂x+b，代入该段图象上的两个已知点，解二元一次方程组即可得到系数，注意标注自变量的取值范围。
3. 第(3)问求两队挖的长度相等的时间，即两个函数的y值相等时对应的x值，联立两个函数解析式得到一元一次方程，求解后验证x是否在有效取值范围内即可。
【解析】
(1) 观察图象可得：乙队开挖到30m时，对应的横坐标x=2h；开挖6h时，甲队挖了60m，乙队挖了50m，甲队比乙队多挖60-50=10m。
(2) ①设甲队在$0≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_1x$，
将点$(6,60)$代入得：
$6k_1=60$，解得$k_1=10$，
∴甲队对应的函数关系式为$y=10x\ (0≤x≤6)$；
②设乙队在$2≤x≤6$的时段内，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=k_2x+b$，
将点$(2,30)$、$(6,50)$代入得：
$\begin{cases}2k_2 + b = 30 \\6k_2 + b = 50\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4k_2=20$，解得$k_2=5$，
将$k_2=5$代入$2k_2 + b = 30$，得$10+b=30$，解得$b=20$，
∴乙队对应的函数关系式为$y=5x+20\ (2≤x≤6)$；
(3) 当甲、乙两队所挖河渠长度相等时，两队的函数值相等，可得方程：
$10x=5x+20$，
移项得$5x=20$，解得$x=4$，
$x=4$在$2≤x≤6$的范围内，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{10}$
(2) ① $\boldsymbol{y=10x\ (0≤x≤6)}$；② $\boldsymbol{y=5x+20\ (2≤x≤6)}$
(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；函数图象信息读取
【点评】
本题结合工程施工的实际场景，考查从函数图象中提取有效信息、运用待定系数法求解一次函数解析式，以及通过方程思想解决函数值相等的问题，需要学生掌握数形结合的思想，将图象信息和代数运算结合起来解题，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.7
【例3】 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元. 已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟；
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【分析】 本题综合考查了有关工程问题的分式方程的应用、一元一次方程的应用、方案决策问题，解决此问题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程求出所需的量，再进行计算比较.
【解】 (1)设甲车单独运完此堆垃圾需运$ x $趟，则乙车单独运完此堆垃圾需$ 2x $趟，依题意得：$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$
解得：$ x = 18 $
经检验$ x = 18 $是原方程的解
$\therefore 2x = 36$
答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟；
(2)设甲车每趟需运费$ a $元，则乙车每趟需运费$ (a - 200) $元，依题意得：
$ 12a + 12(a - 200) = 4800 $
解得：$ a = 300 $
$\therefore a - 200 = 100 $
$\therefore$单独租用甲车的费用$ = 300 × 18 = 5400 $（元）
单独租用乙车的费用$ = 100 × 36 = 3600 $（元）
$ 5400 ＞ 3600 $
$\therefore$单独租用乙车合算.
【评注】 在列方程解决实际问题时，我们一是要注意审题，找到题目中的相等关系；二是设未知数，注意选择和题目中各个量关系都密切的量，注意根据问题情况灵活选择设法. 如直接设、间接设、设多元等；三是求分式方程的解，验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又要符合实际意义；四是合算的问题就是方案选择问题，也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求哪几个量，再进行计算比较.
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟；
(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【分析】 本题综合考查了有关工程问题的分式方程的应用、一元一次方程的应用、方案决策问题，解决此问题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程求出所需的量，再进行计算比较.
【解】 (1)设甲车单独运完此堆垃圾需运$ x $趟，则乙车单独运完此堆垃圾需$ 2x $趟，依题意得：$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$
解得：$ x = 18 $
经检验$ x = 18 $是原方程的解
$\therefore 2x = 36$
答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟；
(2)设甲车每趟需运费$ a $元，则乙车每趟需运费$ (a - 200) $元，依题意得：
$ 12a + 12(a - 200) = 4800 $
解得：$ a = 300 $
$\therefore a - 200 = 100 $
$\therefore$单独租用甲车的费用$ = 300 × 18 = 5400 $（元）
单独租用乙车的费用$ = 100 × 36 = 3600 $（元）
$ 5400 ＞ 3600 $
$\therefore$单独租用乙车合算.
【评注】 在列方程解决实际问题时，我们一是要注意审题，找到题目中的相等关系；二是设未知数，注意选择和题目中各个量关系都密切的量，注意根据问题情况灵活选择设法. 如直接设、间接设、设多元等；三是求分式方程的解，验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又要符合实际意义；四是合算的问题就是方案选择问题，也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求哪几个量，再进行计算比较.
答案
解：(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运$2x$趟，
依题意得：
$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$
解得：$x=18$，
经检验，$x=18$是原方程的解，且符合实际意义，
$\therefore 2x=36$。
答：甲车单独运完此堆垃圾需运18趟，乙车单独运完此堆垃圾需运36趟。
(2)设甲车每趟需运费$a$元，则乙车每趟需运费$(a-200)$元，
依题意得：
$12a + 12(a-200) = 4800$
解得：$a=300$，
$\therefore a-200=100$。
单独租用甲车的总费用为：$300×18=5400$（元），
单独租用乙车的总费用为：$100×36=3600$（元），
$\because 5400＞3600$，
$\therefore$单独租用乙车合算。
答：若单独租用一台车，租用乙台车合算。
依题意得：
$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$
解得：$x=18$，
经检验，$x=18$是原方程的解，且符合实际意义，
$\therefore 2x=36$。
答：甲车单独运完此堆垃圾需运18趟，乙车单独运完此堆垃圾需运36趟。
(2)设甲车每趟需运费$a$元，则乙车每趟需运费$(a-200)$元，
依题意得：
$12a + 12(a-200) = 4800$
解得：$a=300$，
$\therefore a-200=100$。
单独租用甲车的总费用为：$300×18=5400$（元），
单独租用乙车的总费用为：$100×36=3600$（元），
$\because 5400＞3600$，
$\therefore$单独租用乙车合算。
答：若单独租用一台车，租用乙台车合算。
解析
【分析】
(1) 第一问属于工程问题，将总工作量看作单位“1”，设甲车单独运完需$x$趟，由题意得乙车单独运完需$2x$趟，因此甲、乙两车每趟的工作效率分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{2x}$。根据“两车各运12趟可完成总工作”的等量关系：甲车12趟工作量+乙车12趟工作量=总工作量1，即可列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否满足方程及实际意义。
(2) 第二问属于费用优化问题，设甲车每趟运费为$a$元，则乙车每趟运费为$(a-200)$元，根据“两车各运12趟总运费4800元”的等量关系列一元一次方程，求出两车每趟运费后，分别计算单独租用两车的总运费，比较大小即可判断哪种方案更合算。
【解析】
(1) 设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运$2x$趟，
依题意得：
$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$
解得：$x=18$，
经检验，$x=18$是原方程的解，且符合实际意义，
$\therefore 2x=36$。
答：甲车单独运完此堆垃圾需运18趟，乙车单独运完此堆垃圾需运36趟。
(2) 设甲车每趟需运费$a$元，则乙车每趟需运费$(a-200)$元，
依题意得：
$12a + 12(a-200) = 4800$
解得：$a=300$，
$\therefore a-200=100$。
单独租用甲车的总费用为：$300×18=5400$（元），
单独租用乙车的总费用为：$100×36=3600$（元），
$\because 5400＞3600$，
$\therefore$单独租用乙车合算。
答：若单独租用一台车，租用乙台车合算。
【答案】
(1) 甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
(2) 单独租用乙车合算。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题是贴近生活实际的方程应用题型，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，合理设未知数列方程求解。需要注意分式方程求解后要进行双重验根，既要保证根是方程的解，也要符合实际问题的要求；方案决策类问题可转化为数值大小比较得出结论。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于工程问题，将总工作量看作单位“1”，设甲车单独运完需$x$趟，由题意得乙车单独运完需$2x$趟，因此甲、乙两车每趟的工作效率分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{2x}$。根据“两车各运12趟可完成总工作”的等量关系：甲车12趟工作量+乙车12趟工作量=总工作量1，即可列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否满足方程及实际意义。
(2) 第二问属于费用优化问题，设甲车每趟运费为$a$元，则乙车每趟运费为$(a-200)$元，根据“两车各运12趟总运费4800元”的等量关系列一元一次方程，求出两车每趟运费后，分别计算单独租用两车的总运费，比较大小即可判断哪种方案更合算。
【解析】
(1) 设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运$2x$趟，
依题意得：
$\frac{12}{x} + \frac{12}{2x} = 1$
解得：$x=18$，
经检验，$x=18$是原方程的解，且符合实际意义，
$\therefore 2x=36$。
答：甲车单独运完此堆垃圾需运18趟，乙车单独运完此堆垃圾需运36趟。
(2) 设甲车每趟需运费$a$元，则乙车每趟需运费$(a-200)$元，
依题意得：
$12a + 12(a-200) = 4800$
解得：$a=300$，
$\therefore a-200=100$。
单独租用甲车的总费用为：$300×18=5400$（元），
单独租用乙车的总费用为：$100×36=3600$（元），
$\because 5400＞3600$，
$\therefore$单独租用乙车合算。
答：若单独租用一台车，租用乙台车合算。
【答案】
(1) 甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
(2) 单独租用乙车合算。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题是贴近生活实际的方程应用题型，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，合理设未知数列方程求解。需要注意分式方程求解后要进行双重验根，既要保证根是方程的解，也要符合实际问题的要求；方案决策类问题可转化为数值大小比较得出结论。
【难度系数】
0.7
