三、专项训练
1. 直线$y=3x-1$和直线$y=x-k$的交点在第四象限，则$k$的取值范围是。

1. $\frac{1}{3}＜k＜1$

【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：① 两条直线的交点坐标就是对应两个一次函数解析式联立组成的二元一次方程组的解，所以先联立两个解析式求出交点的横、纵坐标（用含k的代数式表示）；② 第四象限内点的坐标特征是横坐标大于0，纵坐标小于0，据此列出关于k的一元一次不等式组；③ 解不等式组即可得到k的取值范围。
【解析】
联立两条直线的解析式得方程组：
$\begin{cases} y=3x-1 \\ y=x-k \end{cases}$
将两个方程联立消去y，得：$3x-1=x-k$
移项合并同类项得：$2x=1-k$，解得 $x=\frac{1-k}{2}$
把$x=\frac{1-k}{2}$代入$y=x-k$，得：
$y=\frac{1-k}{2} - k = \frac{1-k-2k}{2} = \frac{1-3k}{2}$
∵ 交点在第四象限，第四象限内点的横坐标＞0，纵坐标＜0
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases} \frac{1-k}{2} ＞ 0 \\ \frac{1-3k}{2} ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：
$1-k＞0$，得 $k＜1$
解第二个不等式：
$1-3k＜0$，即$3k＞1$，得 $k＞\frac{1}{3}$
综上，k的取值范围是$\frac{1}{3}＜k＜1$。
【答案】
$\frac{1}{3}＜k＜1$
【知识点】
一次函数交点求解、象限坐标特征、一元一次不等式组解法
【点评】
本题将一次函数交点问题、象限坐标性质和不等式组求解相结合，解题的核心是把交点位置的几何条件转化为关于参数的不等式组，是一次函数综合应用的常规基础题型，需注意各象限坐标的符号不要混淆，解不等式时注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.7

2. 不等式$4x - a ≤ 0$的正整数解是1,2,则a的取值范围是.

2. $8≤a＜12$

【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解一元一次不等式，用含参数a的式子表示出x的解集；第二步结合题目给出的正整数解只有1、2，判断解集上限的取值范围：要保证2是不等式的解，同时3不是不等式的解，由此列出关于a的不等式组，最后求解不等式组即可得到a的取值范围，过程中要特别注意等号是否能取到。
【解析】
首先解不等式$4x - a ≤ 0$：
移项得：$4x ≤ a$
系数化为1得：$x ≤ \frac{a}{4}$
已知不等式的正整数解是1、2，说明：
1. $x$可以取到2，因此$\frac{a}{4} ≥ 2$；
2. $x$不能取到3，否则正整数解会包含3，不符合题意，因此$\frac{a}{4} ＜ 3$。
联立得到不等式组：$\begin{cases} \frac{a}{4} ≥ 2 \\ \frac{a}{4} ＜ 3 \end{cases}$
不等式组两边同时乘4，解得：$8 ≤ a ＜ 12$
【答案】
$8≤a＜12$
【知识点】
1. 一元一次不等式求解
2. 不等式整数解应用
【点评】
本题的易错点是边界处等号的取舍，解题时可以代入验证边界值是否符合题意，避免因多取或漏取等号导致结果错误。
【难度系数】
0.6

3. 如果不等式$(a-1)x ＞ a-1$的解为$x＜1$，则a的取值范围是 （）

A.$a＜0$
B.$a＜1$
C.$a＞1$
D.$a≤1$

3. B

【分析】
解题时首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向会发生改变。本题中给出原不等式$(a-1)x ＞ a-1$的解集是$x＜1$，对比不等号方向发现发生了反转，说明两边同时除以的系数$(a-1)$是负数，同时还要排除系数为0的特殊情况（此时不等式无解，不符合题意），据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
已知不等式$(a-1)x ＞ a-1$的解集为$x＜1$，不等号方向发生改变：
根据不等式的基本性质，可得不等式两边除以的系数$a-1＜0$，
解这个不等式，移项得$a＜1$。
若$a=1$，原不等式变为$0＞0$，不成立，无实数解，不符合题目的解集要求，因此$a≠1$。
综上，$a$的取值范围是$a＜1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质、含参数一元一次不等式求解
【点评】
本题核心考查对不等式基本性质的理解与应用，易错点是忽略不等号方向变化和系数为0的特殊情况，误选D选项，解题时需注意根据解集的形式先判断未知数系数的正负性。
【难度系数】
0.7

4. 将五个边长都为2 cm 的正方形按如图所示摆放，点A,B,C,D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（）


A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$

4. B

【分析】
解题时可先探究单个阴影部分的面积规律：过正方形中心的两条互相垂直的直线可将正方形分成4个全等的部分，因此当两个正方形的中心重合时，无论正方形如何旋转，二者的重叠部分面积始终等于单个正方形面积的$\frac{1}{4}$。我们先计算单个正方形的面积，即可推出单个阴影的面积，再乘阴影的总个数就能得到四块阴影的总面积。
【解析】
首先计算单个边长为2cm的正方形面积：
$S_{\mathrm{正方形}}=2×2=4\ \mathrm{cm}^2$
根据正方形的性质，每块阴影部分的面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此单个阴影面积：
$S_{\mathrm{单阴影}}=4×\frac{1}{4}=1\ \mathrm{cm}^2$
图中共有4块相同的阴影，因此总面积：
$S_{\mathrm{总}}=4×1=4\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，割补法求面积，旋转的性质
【点评】
本题运用转化思想，将不规则的阴影部分面积转化为规则的正方形面积的固定占比求解，解题的关键是理解两个正方形中心重合时，重叠部分面积为固定值，避免了逐个计算不规则阴影面积的复杂运算。
【难度系数】
0.7

5. 如图,汽车在东西向的公路$l$上行驶,途中$A,B,C,D$四个十字路口都有红绿灯,$AB$之间的距离为$800\ \mathrm{m}$,$BC$为$1000\ \mathrm{m}$,$CD$为$1400\ \mathrm{m}$,且$l$上各路口的红绿灯设置为:同时亮红灯或同时亮绿灯,每次亮红(绿)灯的时间相同,红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同.若绿灯刚亮时,甲汽车从$A$路口以每小时$30$千米的速度沿$l$向东行驶,同时乙汽车从$D$路口以相同的速度沿$l$向西行驶,这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯,则每次绿灯亮的时间可能设置为 ()


A.50秒
B.45秒
C.40秒
D.35秒

5. D

【分析】首先将汽车速度换算为米每秒，计算两车到达每个路口的行驶时间，再明确红绿灯周期是绿灯时间的2倍（红灯和绿灯时长相等），要求到达每个路口的时间都落在绿灯时段内，即到达时间除以周期的余数小于绿灯时长，最后代入各选项验证即可。
【解析】首先换算汽车速度：
$v=30\mathrm{km/h}=\frac{30×1000}{3600}\mathrm{m/s}=\frac{25}{3}\mathrm{m/s}$
计算各路段行驶时间：
行驶AB段用时：$t_{AB}=800÷\frac{25}{3}=96\mathrm{s}$
行驶BC段用时：$t_{BC}=1000÷\frac{25}{3}=120\mathrm{s}$
行驶CD段用时：$t_{CD}=1400÷\frac{25}{3}=168\mathrm{s}$
两车到达各路口的时间为：
甲从A向东行驶：到A为0s，到B为96s，到C为$96+120=216\mathrm{s}$，到D为$216+168=384\mathrm{s}$
乙从D向西行驶：到D为0s，到C为168s，到B为$168+120=288\mathrm{s}$，到A为$288+96=384\mathrm{s}$
设每次绿灯亮的时间为$t$，则红灯时长也为$t$，红绿灯周期为$2t$，要求到达路口的时间$T$满足$T\mod 2t ＜ t$（即落在绿灯时段），代入选项验证：
选项A：$t=50\mathrm{s}$，周期为100s，$96\mod100=96＞50$，甲到B遇红灯，排除；
选项B：$t=45\mathrm{s}$，周期为90s，$168\mod90=78＞45$，乙到C遇红灯，排除；
选项C：$t=40\mathrm{s}$，周期为80s，$216\mod80=56＞40$，甲到C遇红灯，排除；
选项D：$t=35\mathrm{s}$，周期为70s，所有到达时间模70的余数分别为0、26、28、6、8、34，均小于35，符合要求。
【答案】D
【知识点】行程问题，周期问题，不等式应用
【点评】本题结合生活中红绿灯的实际场景，将行程问题和周期规律结合考查，解题关键是先算出各路口的到达时间，再利用周期特性逐一验证选项，侧重考查对实际问题的转化分析能力。
【难度系数】0.6

6. 第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：
如图①，已知在$Rt△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，$BO⊥ AC$于点$O$.点$P$，$D$分别在$AO$和$BC$上，$PB=PD$，$DE⊥ AC$于点$E$.
求证：$△ BPO≌△ PDE$.
(1)理清思路，完成解答
本题证明的思路可以用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；
(2)特殊位置，证明结论
图②(备用图)，若$BP$平分$∠ ABO$，其余条件不变.求证:$AP=CD$；
(3)知识迁移，探索新知
图③，若点$P$是一个动点，当点$P$运动到$OC$的中点$P'$时，满足题中条件的点$D$也随之在直线$BC$上运动到点$D'$，请直接写出$CD'$与$AP'$的数量关系.(不必写解答过程)

6. (1)证明:$\because PB=PD,\therefore ∠PBD=∠2$,
$\because AB=BC,∠ABC=90^{\circ },\therefore ∠C=45^{\circ }.$
$\because BO⊥AC$于点$O,\therefore ∠1=45^{\circ },\therefore ∠1=∠C=45^{\circ }.$
$\because ∠3=∠PBD-∠1,∠4=∠2-∠C,\therefore ∠3=∠4.$
又$\because BO⊥AC,DE⊥AC,\therefore ∠BOP=∠PED=90^{\circ }.$
$\because PB=DP,\therefore △BPO≌△PDE;$
(2)证明:由(1)可得$∠3=∠4$,$\because BP$平分$∠ABO$,
$\therefore ∠ABP=∠3,\therefore ∠ABP=∠4.$
又$\because ∠A=∠C,PB=DP,$
$\therefore △ABP≌△CPD,\therefore AP=CD;$
(3)$CD'$与$AP'$的数量关系:$CD'=\frac{\sqrt{2}}{3}AP'.$

【分析】
(1) 要证明△BPO≌△PDE，已知PB=PD，且BO⊥AC、DE⊥AC可得一组直角相等，只需再推导一组对应角相等即可。结合等腰Rt△ABC的性质可得∠1=∠C=45°，再利用等边对等角得到∠PBD=∠2，通过角的和差关系推出∠3=∠4，即可用AAS判定两三角形全等。
(2) 要证AP=CD，可证明两条线段所在的△ABP和△CPD全等。已知∠A=∠C、PB=PD，结合角平分线的定义和(1)中∠3=∠4的结论，可推出∠ABP=∠4，用AAS证得两三角形全等，即可得到对应边相等。
(3) 可设参数表示各线段长度，结合(1)的全等结论和P'是OC中点的条件，通过线段长度计算得到CD'和AP'的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because PB=PD,\therefore ∠PBD=∠2$，
$\because AB=BC,∠ABC=90^{\circ },\therefore ∠A=∠C=45^{\circ }$，
$\because BO⊥AC$于点$O,\therefore ∠1=45^{\circ }$，
$\therefore ∠1=∠C=45^{\circ }$，
$\because ∠3=∠PBD-∠1,∠4=∠2-∠C,\therefore ∠3=∠4$，
又$\because BO⊥AC,DE⊥AC,\therefore ∠BOP=∠PED=90^{\circ }$，
在$△ BPO$和$△ PDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠BOP=∠PED\\∠3=∠4\\PB=PD\end{array} $
$\therefore △BPO≌△PDE(AAS)$。
(2) 证明：
由(1)可得$∠3=∠4$，
$\because BP$平分$∠ABO,\therefore ∠ABP=∠3$，
$\therefore ∠ABP=∠4$，
在$△ ABP$和$△ CPD$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C\\∠ABP=∠4\\PB=PD\end{array} $
$\therefore △ABP≌△CPD(AAS)$，
$\therefore AP=CD$。
(3) 结合前两问结论和线段比例推导，可得$CD'$与$AP'$的数量关系。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $CD'=\frac{\sqrt{2}}{3}AP'$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题以等腰直角三角形为背景层层递进设置问题，前两问侧重全等三角形相关知识的基础应用，第三问考查知识迁移能力，需要灵活运用前序结论推导，能有效锻炼逻辑推理能力和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6