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【典例】如图,钟表的时间显示为6时15分,此时钟表的分针与时针所成角的度数是
[解析]因为钟表上有12个数字,每相邻两个数字之间的夹角是$360°÷12=30°$,所以时针每小时旋转$30°$,每分钟旋转$30°÷60=0.5°$,分针每分钟旋转$30°÷5=6°$.
方法1:6时15分时,时针位于数字6和7之间,此时时针与分针所成角的度数是$(6-3)×30°+15×0.5°=90°+7.5°=97.5°$.
方法2:如图,如果退到整点0时开始,那么6时15分时,分针与时针所成角可以看作$∠β$减去$∠α$,即分针与时针所成角的度数是时针走过的角度减去分针从12到3的旋转角度,所以此时钟表的分针与时针所成角的度数是$6×30°+15×0.5°-15×6°=6×30°-15×(6-0.5)°=6×30°-15×5.5°=97.5°$.
97.5°
.[解析]因为钟表上有12个数字,每相邻两个数字之间的夹角是$360°÷12=30°$,所以时针每小时旋转$30°$,每分钟旋转$30°÷60=0.5°$,分针每分钟旋转$30°÷5=6°$.
方法1:6时15分时,时针位于数字6和7之间,此时时针与分针所成角的度数是$(6-3)×30°+15×0.5°=90°+7.5°=97.5°$.
方法2:如图,如果退到整点0时开始,那么6时15分时,分针与时针所成角可以看作$∠β$减去$∠α$,即分针与时针所成角的度数是时针走过的角度减去分针从12到3的旋转角度,所以此时钟表的分针与时针所成角的度数是$6×30°+15×0.5°-15×6°=6×30°-15×(6-0.5)°=6×30°-15×5.5°=97.5°$.
答案
[解析]因为钟表上有12个数字,每相邻两个数字之间的夹角是$360°÷12=30°$,所以时针每小时旋转$30°$,每分钟旋转$30°÷60=0.5°$,分针每分钟旋转$30°÷5=6°$.
方法1:6时15分时,时针位于数字6和7之间,此时时针与分针所成角的度数是$(6-3)×30°+15×0.5°=90°+7.5°=97.5°$.
方法2:如图,如果退到整点0时开始,那么6时15分时,分针与时针所成角可以看作$∠β$减去$∠α$,即分针与时针所成角的度数是时针走过的角度减去分针从12到3的旋转角度,所以此时钟表的分针与时针所成角的度数是$6×30°+15×0.5°-15×6°=6×30°-15×(6-0.5)°=6×30°-15×5.5°=97.5°$.
方法1:6时15分时,时针位于数字6和7之间,此时时针与分针所成角的度数是$(6-3)×30°+15×0.5°=90°+7.5°=97.5°$.
方法2:如图,如果退到整点0时开始,那么6时15分时,分针与时针所成角可以看作$∠β$减去$∠α$,即分针与时针所成角的度数是时针走过的角度减去分针从12到3的旋转角度,所以此时钟表的分针与时针所成角的度数是$6×30°+15×0.5°-15×6°=6×30°-15×(6-0.5)°=6×30°-15×5.5°=97.5°$.
解析
【分析】
要计算6时15分分针和时针的夹角，首先要明确钟面的角度规律：整个钟面是360°的周角，平均分成12个大格，每相邻两个数字（1个大格）的夹角是30°。需要注意时针不会固定在数字位置，会随分钟移动：时针每小时走1个大格即30°，因此每分钟走0.5°；分针每分钟走6°。6时15分时，分针指向数字3，时针从数字6向7移动了15分钟的角度，因此夹角就是数字3到6的角度加时针15分钟移动的角度，也可以用0时起时针总转动角度减分针总转动角度计算，注意不要漏算时针的移动角度。
【解析】
首先计算钟面基础角度参数：
钟面一周为360°，共12个大格，每个大格角度：$360°÷12=30°$
时针每分钟转动角度：$30°÷60=0.5°$
分针每分钟转动角度：$30°÷5=6°$
方法1：
6时15分，分针指向数字3，数字3到6的夹角为：$(6-3)×30°=90°$
15分钟时针额外转动的角度为：$15×0.5°=7.5°$
总夹角度数：$90°+7.5°=97.5°$
方法2：
从0时整开始计算总转动角度：
6时15分时针总转动角度：$6×30°+15×0.5°=187.5°$
6时15分分针总转动角度：$15×6°=90°$
总夹角度数：$187.5°-90°=97.5°$
【答案】
$97.5°$
【知识点】
钟面角计算，角的运算
【点评】
本题是钟面角计算的典型习题，解题核心是明确时针、分针的转动速度，易错点是容易忽略时针随分钟的移动，误将夹角直接算为3个大格的90°，掌握两种计算方法可灵活应对不同时间的钟面角求解问题。
【难度系数】
0.7
要计算6时15分分针和时针的夹角，首先要明确钟面的角度规律：整个钟面是360°的周角，平均分成12个大格，每相邻两个数字（1个大格）的夹角是30°。需要注意时针不会固定在数字位置，会随分钟移动：时针每小时走1个大格即30°，因此每分钟走0.5°；分针每分钟走6°。6时15分时，分针指向数字3，时针从数字6向7移动了15分钟的角度，因此夹角就是数字3到6的角度加时针15分钟移动的角度，也可以用0时起时针总转动角度减分针总转动角度计算，注意不要漏算时针的移动角度。
【解析】
首先计算钟面基础角度参数：
钟面一周为360°，共12个大格，每个大格角度：$360°÷12=30°$
时针每分钟转动角度：$30°÷60=0.5°$
分针每分钟转动角度：$30°÷5=6°$
方法1：
6时15分，分针指向数字3，数字3到6的夹角为：$(6-3)×30°=90°$
15分钟时针额外转动的角度为：$15×0.5°=7.5°$
总夹角度数：$90°+7.5°=97.5°$
方法2：
从0时整开始计算总转动角度：
6时15分时针总转动角度：$6×30°+15×0.5°=187.5°$
6时15分分针总转动角度：$15×6°=90°$
总夹角度数：$187.5°-90°=97.5°$
【答案】
$97.5°$
【知识点】
钟面角计算，角的运算
【点评】
本题是钟面角计算的典型习题，解题核心是明确时针、分针的转动速度，易错点是容易忽略时针随分钟的移动，误将夹角直接算为3个大格的90°，掌握两种计算方法可灵活应对不同时间的钟面角求解问题。
【难度系数】
0.7
【变式】如图，10:15时，时针和分针所成的角的度数为
142.5
°答案
[解析]方法1:因为钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角是30°，所以时针1 h旋转30°，1 min旋转0.5°.10:15时，时针位于数字10与11之间，时针和分针所成的角的度数为5×30°-15×0.5°=150°-7.5°=142.5°.
方法2:m时n分时，时针与分针的夹角公式为|30°m-5.5°n|.
代入公式，得|10×30°-15×5.5°|=|300°-82.5°|=217.5°.因为217.5°＞180°，所以夹角为360°-217.5°=142.5°.
方法2:m时n分时，时针与分针的夹角公式为|30°m-5.5°n|.
代入公式，得|10×30°-15×5.5°|=|300°-82.5°|=217.5°.因为217.5°＞180°，所以夹角为360°-217.5°=142.5°.
解析
【分析】要计算10:15时针与分针的夹角，首先明确钟面基本特征：钟面一周为360°，平均分为12个大格，因此每个大格对应30°；时针1小时走1个大格，因此每分钟时针转动0.5°。解题时先确定15分时分针指向3，若时针固定在10的位置，二者夹角为5个大格的角度，再减去15分钟时针向11方向偏移的角度，就能得到实际夹角。
【解析】第一步：计算钟面每个大格的角度：$360°÷12=30°$，时针每分钟转动的角度：$30°÷60=0.5°$。
第二步：10:15时，分针指向数字3，若时针仍在数字10处，二者相差5个大格，对应角度为$5×30°=150°$。
第三步：15分钟内时针从数字10向11转动的角度为$15×0.5°=7.5°$。
第四步：实际夹角为$150° - 7.5°=142.5°$。
【答案】142.5
【知识点】钟面角计算；角的运算
【点评】本题是钟面角度计算的典型习题，易错点是忽略时针会随分针走动发生偏移，直接按整格角度计算导致结果偏大，解题时需掌握时针和分针各自的转动速度，准确计算时针的偏移角度。
【难度系数】0.6
【解析】第一步：计算钟面每个大格的角度：$360°÷12=30°$，时针每分钟转动的角度：$30°÷60=0.5°$。
第二步：10:15时，分针指向数字3，若时针仍在数字10处，二者相差5个大格，对应角度为$5×30°=150°$。
第三步：15分钟内时针从数字10向11转动的角度为$15×0.5°=7.5°$。
第四步：实际夹角为$150° - 7.5°=142.5°$。
【答案】142.5
【知识点】钟面角计算；角的运算
【点评】本题是钟面角度计算的典型习题，易错点是忽略时针会随分针走动发生偏移，直接按整格角度计算导致结果偏大，解题时需掌握时针和分针各自的转动速度，准确计算时针的偏移角度。
【难度系数】0.6
1.在小于平角的∠AOB的内部取一点C,并作射线OC,则一定有 （
A.$∠ AOC＞∠ BOC$
B.$∠ AOC=∠ BOC$
C.$∠ BOC＞∠ AOC$
D.$∠ AOB＞∠ AOC$
D
）A.$∠ AOC＞∠ BOC$
B.$∠ AOC=∠ BOC$
C.$∠ BOC＞∠ AOC$
D.$∠ AOB＞∠ AOC$
答案
1.D [解析] 因为在∠AOB的内部作射线OC,所以∠AOC与∠BOC两者的大小关系无法比较,但一定都小于∠AOB.故一定成立的是D选项.
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：射线OC在∠AOB内部，且题目没有说明OC是∠AOB的角平分线。第一步先判断∠AOC和∠BOC的大小关系：因为点C是任意取的，两个小角的大小会随着C的位置变化而改变，没有固定大小关系，因此涉及两个小角大小比较的选项都不一定成立。第二步结合角的和的关系判断：∠AOB是由∠AOC和∠BOC共同组成的，两个小角都大于0，所以∠AOB一定大于任意一个小角，由此就能确定正确选项。
【解析】
因为射线OC是在∠AOB内部任意画出的，点C的位置不固定：
1. 若点C靠近OA，则∠AOC ＜ ∠BOC；若点C靠近OB，则∠AOC ＞ ∠BOC；只有当OC恰好是∠AOB的角平分线时，才有∠AOC=∠BOC，因此∠AOC和∠BOC的大小关系不确定，A、B、C选项都不一定成立。
2. 根据角的和的关系可得：∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，因为∠BOC是大于0的角，所以∠AOB ＞ ∠AOC，该结论一定成立。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角的大小比较；角的和差关系；角的概念
【点评】
这道题是角的相关基础题，解题时要注意：题目没有明确射线是角平分线时，不能默认两个小角相等，要通过角的和差关系判断必然成立的结论，避免主观臆断。
【难度系数】
0.9
解题时先明确已知条件：射线OC在∠AOB内部，且题目没有说明OC是∠AOB的角平分线。第一步先判断∠AOC和∠BOC的大小关系：因为点C是任意取的，两个小角的大小会随着C的位置变化而改变，没有固定大小关系，因此涉及两个小角大小比较的选项都不一定成立。第二步结合角的和的关系判断：∠AOB是由∠AOC和∠BOC共同组成的，两个小角都大于0，所以∠AOB一定大于任意一个小角，由此就能确定正确选项。
【解析】
因为射线OC是在∠AOB内部任意画出的，点C的位置不固定：
1. 若点C靠近OA，则∠AOC ＜ ∠BOC；若点C靠近OB，则∠AOC ＞ ∠BOC；只有当OC恰好是∠AOB的角平分线时，才有∠AOC=∠BOC，因此∠AOC和∠BOC的大小关系不确定，A、B、C选项都不一定成立。
2. 根据角的和的关系可得：∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，因为∠BOC是大于0的角，所以∠AOB ＞ ∠AOC，该结论一定成立。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角的大小比较；角的和差关系；角的概念
【点评】
这道题是角的相关基础题，解题时要注意：题目没有明确射线是角平分线时，不能默认两个小角相等，要通过角的和差关系判断必然成立的结论，避免主观臆断。
【难度系数】
0.9
