2.如图,若AM为∠BAC的平分线,则下列等式中,错误的是（）

A.$\frac{1}{2}∠BAC=∠BAM$
B.$∠BAM=∠CAM$
C.$∠BAM=2∠CAM$
D.$2∠CAM=∠BAC$

2.C [解析] 因为AM为∠BAC的平分线,所以$\frac{1}{2}∠BAC=∠BAM,∠BAM=∠CAM,2∠CAM=∠BAC$,故A,B,D选项正确.

【分析】
解题时首先明确题目核心条件：AM是∠BAC的角平分线，先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个大小相等的小角，且每个小角的大小都是原大角的一半，原大角的大小是每个小角的2倍。接下来我们根据这个结论逐一验证四个选项，找出不符合结论的选项即可。
【解析】
根据角平分线的定义可知，AM平分∠BAC时，可得：
1. 两个小角相等：$∠ BAM = ∠ CAM$，因此B选项正确，C选项$∠ BAM=2∠ CAM$显然错误；
2. 小角是大角的一半：$∠ BAM = ∠ CAM = \frac{1}{2}∠ BAC$，因此A选项$\frac{1}{2}∠ BAC=∠ BAM$正确；
3. 大角是小角的2倍：$∠ BAC = 2∠ BAM = 2∠ CAM$，因此D选项$2∠ CAM=∠ BAC$正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线定义的基础应用，解题关键是牢记角平分线分出的两个小角相等、且均为原角的一半，注意不要混淆大小角之间的倍数关系。
【难度系数】
0.9

3.如图，若$∠ AOB = ∠ COD$，则$∠ 1$与$∠ 2$的大小关系是。

3.相等 [解析] 因为$∠AOB=∠COD$,所以$∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC$,即$∠1=∠2$.

【分析】
解题思路如下：首先观察图形中角的组成，∠AOB由∠1和公共角∠BOC组成，∠COD由∠2和公共角∠BOC组成。已知两个大角∠AOB和∠COD相等，根据等式的性质，相等的量同时减去同一个相同的量，所得的结果仍然相等，因此将两个相等的大角同时减去公共角∠BOC，就能推出∠1和∠2的大小关系。
【解析】
由图可知：$∠ AOB = ∠ 1 + ∠ BOC$，$∠ COD = ∠ 2 + ∠ BOC$。
已知$∠ AOB = ∠ COD$，根据等式的性质，等式两边同时减去$∠ BOC$，可得：
$∠ AOB - ∠ BOC = ∠ COD - ∠ BOC$，
即$∠ 1 = ∠ 2$。
【答案】
相等
【知识点】
角的和差运算，等式的基本性质
【点评】
本题是角的大小比较的基础题型，核心是识别出两个相等的角包含的公共部分，结合等式性质推导剩余部分的大小关系，是几何入门阶段的典型练习题，熟练掌握角的组成和等式性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9

4.如图，射线OC的方向是北偏西$63°17'$，则$∠ BOC$的度数是。

4.$26°43'$ [解析] 依题意,得$∠AOC=63°17'$,所以$∠BOC=90°-∠AOC=90°-63°17'=26°43'$.

【分析】
首先观察方位图：南北方向线和东西方向线是互相垂直的，因此正北方向OA和正西方向OB的夹角为90°。题目说明射线OC的方向是北偏西$63°17'$，这个度数就是正北方向OA与OC的夹角$∠AOC$的大小。我们可以发现$∠BOC$与$∠AOC$的和刚好是90°，因此用90°减去$∠AOC$的度数就能得到$∠BOC$的结果。计算时要注意度和分是60进制，$1°=60'$，不够减时可以把90°转化为$89°60'$再计算。
【解析】
已知射线OC为北偏西$63°17'$，因此$∠AOC=63°17'$。
因为南北方向与东西方向互相垂直，所以正北和正西的夹角为90°，即$∠AOC+∠BOC=90°$。
因此$∠BOC=90°-∠AOC=90°-63°17'=89°60'-63°17'=26°43'$。
【答案】
$26°43'$
【知识点】
方位角的认识、角的和差计算、度分秒的换算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是正确理解方位角的含义，明确南北、东西方向线互相垂直，对应夹角为90°，计算时注意度分的60进制规则，避免换算错误即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

5.计算:(1)$48°39'+67°31'=$______;
(2)$58°32'21''-20°42'44''$______;
(3)$31°15'×4=$______;
(4)$34°27'36''÷2=$______.

5.(1)$116°10'$ (2)$37°49'37''$ (3)$125°$ (4)$17°13'48''$
[解析] (1)原式$=115°70'=116°10'$.
(2)原式$=57°91'81''-20°42'44''=37°49'37''$.
(3)原式$=31°×4+15'×4=124°+60'=125°$.
(4)原式$=34°26'96''÷2=17°13'48''$.

【分析】
首先明确度、分、秒是角度单位，相邻单位间进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$，运算遵循“满60进1，不够减借1当60”的规则：
1. 加法：度与度相加、分与分相加，分的结果满60就转换为$1°$加到度的结果中；
2. 减法：从最低位（秒）开始减，低位不够减时从高一级单位借1当60，和原低位数值相加后再减；
3. 乘法：度、分分别与乘数相乘，分的结果满60就转换为$1°$加到度的结果中；
4. 除法：从最高位（度）开始除，除得的余数转成下一级单位，和原有下一级数值相加后继续除。
【解析】
(1) 先分别计算度、分的和：
度：$48°+67°=115°$，分：$39'+31'=70'$
因为$70'=1°10'$，所以$115°+1°10'=116°10'$
(2) 秒位$21''＜44''$，先从分位借$1'$当$60''$，秒位变为$21''+60''=81''$，分位变为$32'-1'=31'$；
分位$31'＜42'$，再从度位借$1°$当$60'$，分位变为$31'+60'=91'$，度位变为$58°-1°=57°$；
分别相减：度$57°-20°=37°$，分$91'-42'=49'$，秒$81''-44''=37''$，结果为$37°49'37''$
(3) 度、分分别乘4：
度：$31°×4=124°$，分：$15'×4=60'$
因为$60'=1°$，所以$124°+1°=125°$
(4) 把$34°27'36''$调整为$34°26'96''$（从分位借$1'$当$60''$，$27'36''=26'+60''+36''=26'96''$），再分别除以2：
度：$34°÷2=17°$，分：$26'÷2=13'$，秒：$96''÷2=48''$，结果为$17°13'48''$
【答案】
(1)$116°10'$；(2)$37°49'37''$；(3)$125°$；(4)$17°13'48''$
【知识点】
1. 度分秒进制
2. 度分秒加减运算
3. 度分秒乘除运算
【点评】
本题核心考查度分秒的四则运算，解题的关键是牢记度分秒相邻单位进率为60，注意进位、借位的规则，计算时逐位运算就能有效避免错误。
【难度系数】
0.7

6.在①$15°$，②$65°$，③$75°$，④$115°$，⑤$135°$的角中，可以用一副三角尺画出来的是（填序号）。

6.①③⑤ [解析] ①可以,$45°-30°=15°$;②不可以;③可以,$45°+30°=75°$;④不可以;⑤可以,$90°+45°=135°$.
【解题技巧】利用一副三角尺可以画出度数为$15°$的整数倍的角.

【分析】
解题首先要明确一副三角尺的固定角度：一副三角尺包含两种，角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。能用一副三角尺画出的角，本质是上述角度通过相加或相减得到的角，这类角都是15°的整数倍。我们只需逐个判断给出的角是否能通过这些角度的和差运算得到，即可完成解答。
【解析】
已知一副三角尺的固有角度为30°、45°、60°、90°，逐个判断：
1. 15°：可由45°-30°得到，符合要求；
2. 65°：无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求；
3. 75°：可由30°+45°得到，符合要求；
4. 115°：无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求；
5. 135°：可由90°+45°得到，符合要求。
综上，可画出的角为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
三角尺角度特征，角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记三角尺的固定角度，灵活运用角度的和差运算判断，记住“能用一副三角尺画出的角都是15°的整数倍”的技巧可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8

7.如图,已知$∠ AOB=40°,∠ BOC=3∠ AOB$,OD平分$∠ AOC$,求$∠ BOD$的度数.

7.解:因为$∠BOC=3∠AOB,∠AOB=40°$,
所以$∠BOC=120°$,
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+120°=160°$.
又因为OD平分$∠AOC$,
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=80°$,
所以$∠BOD=∠AOD-∠AOB=80°-40°=40°$.

【分析】
解题时我们可以从已知条件逐步推导：第一步，先根据∠BOC和∠AOB的倍数关系，算出∠BOC的度数；第二步，将∠AOB和∠BOC相加，得到大角∠AOC的总度数；第三步，利用OD是∠AOC的角平分线这一条件，算出∠AOD的度数；最后观察图形可知，∠BOD等于∠AOD减去∠AOB，代入数值就能算出结果。
【解析】
解：因为$∠BOC=3∠AOB$，$∠AOB=40°$，
所以$∠BOC=3×40°=120°$，
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+120°=160°$。
又因为OD平分$∠AOC$，
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×160°=80°$，
所以$∠BOD=∠AOD-∠AOB=80°-40°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清图中各个角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可得出答案，能够帮助学生巩固角的相关运算知识。
【难度系数】
0.8

8.(辽宁阜新太平区期末)时钟在12时25分时,分针与时针之间的夹角的度数为 ()

A.$120°$
B.$137.5°$
C.$150°$
D.$137°$

8.B [解析] 分针与时针之间的夹角的度数为$6°×25-0.5°×25=150°-12.5°=137.5°$.

【分析】
要计算12时25分时针和分针的夹角，首先得明确时针和分针每分钟转动的角度：钟面一圈是360°，分针60分钟转一圈，可先算出分针每分钟转的度数；时针12小时转一圈，换算成分钟后可算出时针每分钟转的度数。12时整时针和分针重合，夹角为0，25分钟后两者的夹角就是分针25分钟转的度数减去时针25分钟转的度数，就能求出最终夹角。
【解析】
首先计算分针、时针每分钟转动的角度：
1. 分针60分钟转360°，每分钟转动：$360° ÷ 60 = 6°$
2. 时针12小时转360°，12小时=720分钟，每分钟转动：$360° ÷ 720 = 0.5°$
12时整时针、分针均指向12，夹角为0°。25分钟后：
分针转过的角度：$6° × 25 = 150°$
时针转过的角度：$0.5° × 25 = 12.5°$
两者夹角为：$150° - 12.5° = 137.5°$
【答案】
B
【知识点】
钟面夹角计算，角的度量，时间与角度换算
【点评】
本题是钟表角度计算的典型基础题，解题核心是牢记时针和分针各自的转动速度，易错点是容易忽略时针随时间的转动，直接按分针的指向计算夹角，计算时要注意二者的角度差才是最终的夹角度数。
【难度系数】
0.6

9.(济南高新区期末)如图,在正方形ABCD中,E为边DC上一点,沿线段BE折叠后,若∠ABF比∠EBF大15°,则∠EBC的度数为。

9.$25°$ [解析] 由折叠的性质可知,$∠EBF=∠EBC$.
设$∠EBC$的度数为$x°$,则$∠EBF=x°,∠ABF=(x+15)°$.
因为$∠ABC=90°$,
所以$(x+15)°+x°+x°=90°$,解得$x=25$,
所以$∠EBC$的度数为$25°$.

【分析】
这是一道结合正方形特征和折叠性质的角度计算题。解题时首先要明确两个关键条件：一是正方形ABCD的内角∠ABC为90°；二是沿BE折叠后，折叠前后的对应角相等，即∠EBF=∠EBC。已知∠ABF比∠EBF大15°，我们可以设∠EBC的度数为x，将∠EBF、∠ABF都用含x的式子表示，再根据三个角的和等于∠ABC=90°列等式求解即可。
【解析】
根据折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此∠EBF=∠EBC。
设∠EBC的度数为x°，则∠EBF=x°，由∠ABF比∠EBF大15°可得∠ABF=(x+15)°。
因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=90°，且∠ABF+∠EBF+∠EBC=∠ABC，代入得：
(x+15)°+x°+x°=90°
整理得3x+15=90，解得x=25。
【答案】
25°
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合正方形内角为90°的特征建立等量关系，理清图中三个角的和与直角的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10. 练思维·几何直观 如图，点A，O，B在同一直线上，$∠ AOC=80°$，$∠ DOE=70°$，OD是平角$∠ AOB$的一条靠近边OA的三等分线。
(1)求$∠ COE$的度数。
(2)OE是$∠ BOC$的平分线吗？说明你的理由。

10.解:(1)因为OD是平角$∠AOB$的一条靠近边OA的三等分线,所以$∠AOD=\frac{1}{3}×∠AOB=\frac{1}{3}×180°=60°$.
因为$∠AOC=80°$,所以$∠DOC=∠AOC-∠AOD=80°-60°=20°$.
因为$∠DOE=70°$,所以$∠COE=∠DOE-∠DOC=70°-20°=50°$.
(2)OE是$∠BOC$的平分线.理由如下:
由(1)可知,$∠COE=50°$.
因为$∠AOC=80°$,所以$∠BOE=∠AOB-∠COE-∠AOC=180°-50°-80°=50°$,
所以$∠COE=∠BOE=50°$,
所以OE是$∠BOC$的平分线.

【分析】
(1) 要求∠COE的度数，首先利用平角的度数以及OD是∠AOB靠近OA的三等分线，先求出∠AOD的度数；再结合已知的∠AOC，通过角的差计算出∠DOC的度数；最后用∠DOE减去∠DOC就能得到∠COE的度数。
(2) 要判断OE是否为∠BOC的平分线，只需验证∠COE和∠BOE是否相等，可利用平角180°减去已知的∠AOC和第(1)问求出的∠COE，算出∠BOE的度数，对比两个角的度数即可得出结论。
【解析】
(1) 因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOB是平角，度数为180°。
已知OD是平角∠AOB靠近边OA的三等分线，因此：
$∠ AOD=\frac{1}{3}×∠ AOB=\frac{1}{3}×180°=60°$
又因为$∠ AOC=80°$，所以：
$∠ DOC=∠ AOC-∠ AOD=80°-60°=20°$
已知$∠ DOE=70°$，因此：
$∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=70°-20°=50°$
(2) OE是$∠ BOC$的平分线，理由如下：
由(1)可得$∠ COE=50°$，
因为$∠ AOB=180°$，$∠ AOC=80°$，所以：
$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOC-∠ COE=180°-80°-50°=50°$
可得$∠ COE=∠ BOE=50°$，根据角平分线的定义，可知OE是$∠ BOC$的平分线。
【答案】
(1) $∠ COE=50°$；
(2) OE是$∠ BOC$的平分线，理由见解析。
【知识点】
平角的定义；角的和差计算；角平分线的判定
【点评】
本题侧重考查角的基本运算和角平分线的判定，解题的核心是结合图形理清各个角之间的和差关系，只要掌握平角、角平分线的基础概念，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

11.(江苏南京)如图,点A,O,B在同一条直线上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.若∠AOE=162°,则∠BOD=°.

答案 P28

11.108 [解析] 因为OD是$∠AOC$的平分线,所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$.
因为OE是$∠BOC$的平分线,所以$∠EOC=\frac{1}{2}∠BOC$,所以$∠COD+∠EOC=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC$,即$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB=90°$.
因为$∠AOE=162°$,所以$∠AOD=∠AOE-∠DOE=72°$,所以$∠BOD=180°-∠AOD=108°$.

【分析】
解题时先梳理已知条件：①点A、O、B共线，可得∠AOB是平角，度数为180°；②OD是∠AOC的平分线、OE是∠BOC的平分线，根据角平分线的性质，平分线会把对应角分成两个相等的小角。首先可以先推导∠DOE的度数：∠AOC和∠BOC刚好组成平角∠AOB，两个角各取一半相加，就是平角的一半即90°。再结合已知∠AOE=162°，观察图形可知∠AOE=∠AOD+∠DOE，因此用∠AOE减去∠DOE就能求出∠AOD的度数。最后∠AOD和∠BOD组成平角，用180°减去∠AOD的度数即可得到∠BOD的度数。
【解析】
1. 因为点A、O、B在同一条直线上，所以∠AOB=180°。
2. 因为OD是∠AOC的平分线，所以$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$；因为OE是∠BOC的平分线，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
3. 因此$∠ DOE=∠ COD+∠ EOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
4. 已知$∠ AOE=162°$，所以$∠ AOD=∠ AOE-∠ DOE=162°-90°=72°$。
5. 因为$∠ AOD+∠ BOD=180°$（平角定义），所以$∠ BOD=180°-72°=108°$。
【答案】
108
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度计算
【点评】
本题是基础的角度运算综合题，解题的关键是利用角平分线和平角的性质先推出$∠ DOE=90°$，再结合图形中角的和差关系逐步计算即可，有助于提升对图形中角的位置关系的分析能力。
【难度系数】
0.7