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【学以致用2】如图，$∠ AOB=48°$，$∠ 1=32°24'$，求$∠ 2$的度数。
答案
∠2=∠AOB-∠1=48°-32°24'=47°60'-32°24'=15°36'.
解析
【分析】
首先观察图形，可知∠AOB由∠1和∠2两部分组成，因此求∠2的度数用∠AOB的度数减去∠1的度数即可。计算时要注意度和分是60进制，1°=60'，当被减数的分不够减时，需要从度的部分借1°转化为60'再计算。
【解析】
由图可得角的和差关系：$∠ AOB = ∠ 1 + ∠ 2$，因此：
$∠ 2 = ∠ AOB - ∠ 1$
代入已知的$∠ AOB=48°$，$∠ 1=32°24'$：
先将$48°$换算为$47°60'$（借$1°$得$60'$），再分别计算度和分：
$∠ 2=47°60'-32°24'=(47°-32°)+(60'-24')=15°36'$
【答案】
$15°36'$
【知识点】
角的和差运算；度分换算
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题关键是先根据图形确定角之间的和差关系，计算时要注意度分的60进制规则，不要误按100进制计算，避免借位换算出错。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，可知∠AOB由∠1和∠2两部分组成，因此求∠2的度数用∠AOB的度数减去∠1的度数即可。计算时要注意度和分是60进制，1°=60'，当被减数的分不够减时，需要从度的部分借1°转化为60'再计算。
【解析】
由图可得角的和差关系：$∠ AOB = ∠ 1 + ∠ 2$，因此：
$∠ 2 = ∠ AOB - ∠ 1$
代入已知的$∠ AOB=48°$，$∠ 1=32°24'$：
先将$48°$换算为$47°60'$（借$1°$得$60'$），再分别计算度和分：
$∠ 2=47°60'-32°24'=(47°-32°)+(60'-24')=15°36'$
【答案】
$15°36'$
【知识点】
角的和差运算；度分换算
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题关键是先根据图形确定角之间的和差关系，计算时要注意度分的60进制规则，不要误按100进制计算，避免借位换算出错。
【难度系数】
0.8
【学以致用3】已知$∠ AOB=70°$,以$O$为端点作射线$OC$,使$∠ AOC=42°$.画出图形,并求出$∠ BOC$的度数.
答案
解:如图1,当OC在∠AOB的内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；
如图2,当OC在∠AOB的外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°。
解析
【分析】
题目仅说明以O为端点作射线OC使∠AOC=42°，没有明确射线OC和∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。再分别结合两种情形下∠BOC与已知角的和差关系，代入数值计算即可。
【解析】
我们分两种情况计算∠BOC的度数：
1. 当OC在∠AOB的内部时（对应图1）：
此时∠BOC为∠AOB与∠AOC的差，代入数值计算得：
∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 70° - 42° = 28°
2. 当OC在∠AOB的外部时（对应图2）：
此时∠BOC为∠AOB与∠AOC的和，代入数值计算得：
∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 70° + 42° = 112°
【答案】
如图1,当OC在∠AOB的内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；
如图2,当OC在∠AOB的外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°。
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题的核心是注意射线OC的位置不唯一，需要分情况讨论，避免漏解，主要考查对角度和差关系的掌握以及思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
题目仅说明以O为端点作射线OC使∠AOC=42°，没有明确射线OC和∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。再分别结合两种情形下∠BOC与已知角的和差关系，代入数值计算即可。
【解析】
我们分两种情况计算∠BOC的度数：
1. 当OC在∠AOB的内部时（对应图1）：
此时∠BOC为∠AOB与∠AOC的差，代入数值计算得：
∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 70° - 42° = 28°
2. 当OC在∠AOB的外部时（对应图2）：
此时∠BOC为∠AOB与∠AOC的和，代入数值计算得：
∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 70° + 42° = 112°
【答案】
如图1,当OC在∠AOB的内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；
如图2,当OC在∠AOB的外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°。
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的典型基础题，解题的核心是注意射线OC的位置不唯一，需要分情况讨论，避免漏解，主要考查对角度和差关系的掌握以及思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
【学以致用4】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，若∠AOE=128°，求∠BOD的度数. 
答案
解:因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠3=$\frac{1}{2}$∠COE.
因为∠BOD=∠2+∠3，所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠COE)=$\frac{1}{2}$∠AOE.
因为∠AOE=128°，所以∠BOD=$\frac{1}{2}$×128°=64°.
因为∠BOD=∠2+∠3，所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠COE)=$\frac{1}{2}$∠AOE.
因为∠AOE=128°，所以∠BOD=$\frac{1}{2}$×128°=64°.
解析
【分析】
首先从已知的角相等条件出发，由∠1=∠2可知OB平分∠AOC，因此∠2是∠AOC的一半；同理由∠3=∠4可知OD平分∠COE，因此∠3是∠COE的一半。再观察所求的∠BOD，它恰好是∠2与∠3的和，将角的倍分关系代入后，可发现∠BOD等于∠AOC与∠COE之和的一半，而∠AOC+∠COE就是已知度数的∠AOE，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：因为∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠3=$\frac{1}{2}$∠COE。
由图可知∠BOD=∠2+∠3，
因此∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠COE)。
又因为∠AOC+∠COE=∠AOE，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOE。
已知∠AOE=128°，代入得：
∠BOD=$\frac{1}{2}$×128°=64°。
【答案】
64°
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义、等量代换
【点评】
本题属于角的运算的基础常考题，解题核心是利用角的倍分关系，将分散的小角整合为已知大角的一部分，运用整体代换的思想快速求解，熟练掌握角的和差关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
首先从已知的角相等条件出发，由∠1=∠2可知OB平分∠AOC，因此∠2是∠AOC的一半；同理由∠3=∠4可知OD平分∠COE，因此∠3是∠COE的一半。再观察所求的∠BOD，它恰好是∠2与∠3的和，将角的倍分关系代入后，可发现∠BOD等于∠AOC与∠COE之和的一半，而∠AOC+∠COE就是已知度数的∠AOE，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：因为∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠3=$\frac{1}{2}$∠COE。
由图可知∠BOD=∠2+∠3，
因此∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠COE)。
又因为∠AOC+∠COE=∠AOE，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOE。
已知∠AOE=128°，代入得：
∠BOD=$\frac{1}{2}$×128°=64°。
【答案】
64°
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义、等量代换
【点评】
本题属于角的运算的基础常考题，解题核心是利用角的倍分关系，将分散的小角整合为已知大角的一部分，运用整体代换的思想快速求解，熟练掌握角的和差关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
【学以致用5】如图，已知$∠ AOC:∠ BOC=1:4$，$OD$平分$∠ AOB$，且$∠ COD=36°$，求$∠ AOB$的度数。
答案
[思路导引]当角度出现比值关系时，可以考虑设未知数，利用方程思想解决问题.
解:设∠AOC=x°,则∠BOC=4x°.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$(x°+4x°)=$\frac{5}{2}x°$.
又因为∠COD=∠AOD-∠AOC=36°，
所以$\frac{5}{2}x°-x°=36°$,解得x=24，
所以∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = x° + 4x° = 5x°=120°.
解:设∠AOC=x°,则∠BOC=4x°.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$(x°+4x°)=$\frac{5}{2}x°$.
又因为∠COD=∠AOD-∠AOC=36°，
所以$\frac{5}{2}x°-x°=36°$,解得x=24，
所以∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = x° + 4x° = 5x°=120°.
解析
【分析】
本题给出了角的比例关系、角平分线和已知角度，我们可以用方程思想来求解：第一步根据∠AOC和∠BOC的比例关系设未知数，分别表示出两个角的度数，进而得到∠AOB的总度数；第二步利用角平分线的性质，表示出∠AOD的度数；第三步结合图形找到∠COD和其余角的和差关系，代入已知的∠COD度数列方程，求出未知数的值后，就可以计算出∠AOB的总度数。
【解析】
解：设∠AOC=x°，由∠AOC:∠BOC=1:4可得∠BOC=4x°。
则∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = x° + 4x° = 5x°。
因为OD平分∠AOB，所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×5x°=\frac{5}{2}x°$。
观察图形可知$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC$，已知∠COD=36°，代入得：
$\frac{5}{2}x°-x°=36°$
化简得$\frac{3}{2}x°=36°$，解得x=24。
所以$∠ AOB=5x°=5×24°=120°$。
【答案】
120°
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；方程解角度
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是利用方程思想处理比例类角度关系，结合角平分线性质和角的和差关系建立等式求解，这种方法在几何计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题给出了角的比例关系、角平分线和已知角度，我们可以用方程思想来求解：第一步根据∠AOC和∠BOC的比例关系设未知数，分别表示出两个角的度数，进而得到∠AOB的总度数；第二步利用角平分线的性质，表示出∠AOD的度数；第三步结合图形找到∠COD和其余角的和差关系，代入已知的∠COD度数列方程，求出未知数的值后，就可以计算出∠AOB的总度数。
【解析】
解：设∠AOC=x°，由∠AOC:∠BOC=1:4可得∠BOC=4x°。
则∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = x° + 4x° = 5x°。
因为OD平分∠AOB，所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×5x°=\frac{5}{2}x°$。
观察图形可知$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC$，已知∠COD=36°，代入得：
$\frac{5}{2}x°-x°=36°$
化简得$\frac{3}{2}x°=36°$，解得x=24。
所以$∠ AOB=5x°=5×24°=120°$。
【答案】
120°
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；方程解角度
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是利用方程思想处理比例类角度关系，结合角平分线性质和角的和差关系建立等式求解，这种方法在几何计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
