1. （2025·南通期中）如图，BD平分$∠ABC$，交边AC于点D，$AE⊥BD$，垂足为点E，$AF// BC$，$∠AFB=90°$，若$AB=5$，$BF=4$，则$△ ABE$的面积为 （）


A.4
B.5
C.6
D.10

1.B

2. 已知$△ ABC$中，$∠ B,∠ C$的平分线相交于点$O$，过点$O$作$EF// BC$交$AB,AC$于点$E,F$.
(1) 如图①，若$AB=15,AC=10$，求$△ AEF$的周长；
(2) 如图②，若$△ ABC$中，$∠ B$的平分线与三角形外角$∠ ACG$的平分线$CO$交于点$O$，过点$O$作$OE// BC$交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，写出$EF$与$BE,CF$之间的数量关系，并说明理由；
(3) 如图③，$△ ABC$的外角$∠ CBE,∠ BCF$的平分线相交于点$O$，请直接写出$EF,BE,CF,MN$之间的数量关系.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P28 专题18~P31 专题20

2. (1)
∵ BO 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠EBO = ∠CBO.
∵ EF // BC,
∴ ∠CBO = ∠BOE,
∴ ∠EBO = ∠EOB,
∴ BE = OE,
∴ △BEO 是等腰三角形,同理,△CFO 是等腰三角形,
∴ EF = OE+OF = BE+CF,
∴ △AEF 的周长为 AE+EF+AF = AE+OE+OF+AF = AE+BE+CF+AF = AB+AC = 25.
(2) EF = BE-CF,理由:
∵ BO 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABO = ∠CBO.
∵ EF // BC,
∴ ∠CBO = ∠EOB,
∴ ∠ABO = ∠EOB,
∴ OE = BE,同理,CF = OF,
∴ EF = OE-OF = BE-CF.
(3) EF = BE+MN+CF. 解析:
∵ BO 是∠CBE 的平分线,
∴ ∠EBO = ∠CBO.
∵ EF // BC,
∴ ∠EMB = ∠CBO,
∴ ∠EBM = ∠EMB,
∴ BE = EM,同理,FN = CF,
∴ EF = EM+MN+FN = BE+MN+CF.