1. 如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$交$BC$于点$D$,点$E$在$AB$边上,点$F$在$AC$边的延长线上,连接$EF$交$BC$于点$M$,交$AD$于点$N$,$∠ AEF=2∠ F$,$EM=FM$.
(1)求证:$∠ B=\dfrac{3}{2}∠ F$;
(2)如图②,过点$A$作$AH ⊥ EF$于点$H$,若$AH=5$,$△ AEN$的面积为$15$,求线段$CF$的长.

1.(1) 如图①,过点 E 作 $EG// AC$ 交 BC 于点 G,$\therefore ∠ BGE=∠ BCA,∠ GEM=∠ F.\because ∠ AEF=2∠ F,\therefore ∠ GEM+ ∠ AEF=∠ F+2∠ F=3∠ F$,即 $∠ AEG=3∠ F.\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ BCA$,$\therefore ∠ BGE = ∠ B.\because ∠ AEG = ∠ B + ∠ BGE,\therefore ∠ AEG= 2 ∠ B$,$\therefore 3∠ F=2∠ B,\therefore ∠ B=\dfrac{3}{2}∠ F$.

(2) 如图②,作 $EL// BC$ 交 AC 于点 L,连接 NL,$\therefore ∠ AEL=∠ ALE=∠ B = ∠ ACB=\dfrac{3}{2}∠ F$,$\therefore ∠ LEN = 2∠ F-\dfrac{3}{2}∠ F=\dfrac{1}{2}∠ F.\because EG// AC,EL// BC,\therefore$ 四边形 EGCL 是平行四边形,$\therefore EG=LC$.在$△ EGM$ 和 $△ FCM$ 中,$\begin{cases} ∠ GEM=∠ F,\\ EM=FM,\\ ∠ GME=∠ CMF, \end{cases}$ $\therefore △ EGM ≌ △ FCM (\mathrm{ASA}),\therefore EG=CF,\therefore LC=CF,\therefore CF=\dfrac{1}{2}LF$.
$\because ∠ AEL=∠ ALE,\therefore AE=AL.\because AB=AC,AD ⊥ BC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.在$△ EAN$ 和 $△ LAN$ 中,$\begin{cases} EA=LA,\\ ∠ BAD=∠ CAD,\\ AN=AN, \end{cases}$
$\therefore △ EAN ≌ △ LAN (\mathrm{SAS}),\therefore EN=LN,\therefore ∠ LEN = ∠ ELN =\dfrac{1}{2}∠ F.\because ∠ LNF=∠ LEN+∠ NLE=∠ F,\therefore LN=LF,\therefore EN=LF$.
$\because \dfrac{1}{2}EN· AH=15,AH=5,\therefore \dfrac{1}{2}×5EN=15,\therefore EN=6,\therefore LF=6$,$\therefore CF=3$.

2. 已知等边三角形 $ ABC $ 的边长为 2.
(1)如图①,当 $ P $ 为 $ BA $ 的延长线上一点时,作 $ PE ⊥ CA $ 的延长线于点 $ E $,$ Q $ 为边 $ BC $ 上一点,且 $ AP = CQ $,连接 $ PQ $ 交 $ AC $ 于点 $ D $.求 $ DE $ 的长.
(2)当 $ P $ 为 $ AB $ 的延长线上一点时,作 $ PE ⊥ $ 射线 $ AC $ 于点 $ E $,$ Q $ 为 $ BC $ 延长线上一点,且 $ AP = CQ $,连接 $ PQ $ 交射线 $ AC $ 于点 $ D $,请在图②中补全图形,并证明 $ DE $ 长度保持不变.

$\ggg$ 进一步挑战进阶专题:$\mathrm{P}27$ 专题 $17$~$\mathrm{P}31$ 专题 $20$

2.(1) 如图①,过点 P 作 $PF// BC$ 交 CE 的延长线于点 F,$\therefore ∠ DQC=∠ FPD,∠ APF=∠ ABC,∠ AFP=∠ ACB.\because △ ABC$ 为等边三角形,$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ BAC = 60°,\therefore ∠ APF =∠ AFP=∠ FAP=60°,\therefore △ APF$ 为等边三角形,$\therefore AP=AF=PF$.
$\because PE ⊥ AC,\therefore EF=\dfrac{1}{2}AF,\therefore PF=AP=QC$.又 $∠ PDF=∠ QDC$,$∠ FPD=∠ CQD,\therefore △ PDF ≌ △ QDC (\mathrm{AAS}),\therefore FD=CD=\dfrac{1}{2}FC=\dfrac{1}{2}(AC+AF),\therefore DE=DF-EF=\dfrac{1}{2}(AC+AF)-\dfrac{1}{2}AF=\dfrac{1}{2}AC=1$.

(2) 补全图形如图②.证明:过点 P 作 $PF// BC$ 交射线 AC 于点 F,$\therefore ∠ DQC=∠ FPD,∠ APF=∠ ABC,∠ AFP=∠ ACB$.
$\because △ ABC$ 为等边三角形,$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ BAC = 60°$,$\therefore ∠ APF=∠ AFP=∠ BAC=60°,\therefore △ APF$ 为等边三角形,$\therefore AP=AF=PF.\because PE ⊥ AC,\therefore EF=\dfrac{1}{2}AF.\because PF=AP=QC$,$∠ PDF=∠ QDC,∠ DPF=∠ DQC,\therefore △ PDF ≌ △ QDC (\mathrm{AAS})$,$\therefore FD=CD=\dfrac{1}{2}FC,\therefore DE=EF-DF=\dfrac{1}{2}(AC+CF)-\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{1}{2}AC=1,\therefore DE$ 长度保持不变.