12. 如图(1),两个体积相同的圆柱形铁块A和B,圆柱A的底面半径为2厘米,高为20厘米,且比圆柱B高$\dfrac{1}{4}$.$(π$取3$)$
(1)求圆柱B的底面积是多少平方厘米.
(2)如图(2),一个底面长8厘米,宽6厘米的长方体水箱里有一些水,将圆柱A和B立放于水箱里,水面恰好与圆柱A高度相同,求将圆柱A,B放入之前水面的高度是多少厘米.
(3)若要使水面下降至与圆柱B高度相同,需将圆柱A提起多少厘米?

精题详解

12.(1)设B的底面半径为r厘米，B的高为$20÷(1+\dfrac{1}{4})=$16(厘米).
∵A与B体积相同，
∴$π×2^2×20=π×r^2×16$，解得$r^2=5$.
∵$π=3$，
∴B的底面积=$πr^2=15$平方厘米.
故圆柱B的底面积是15平方厘米.
(2)$V_总=8×6×20=960$(立方厘米)，
由$V_A=V_B$，
则$V_A+V_B=2V_B=15×16×2=480$(立方厘米)，
故$V_{之前}=V_总-2V_B=480$(立方厘米)，
则之前高度为$\dfrac{480}{6×8}=10$(厘米).
故放入圆柱A，B之前的水面高度为10厘米.
(3)当水面与B等高时，$V_{水箱}=8×6×16=768(\mathrm{cm^3})$，
∴相较于水面高度等于圆柱A高度时的体积相差$V=960-768=192$(立方厘米)，
∴需将A提起的高度为$\dfrac{V}{S_{A底面积}}=\dfrac{192}{π×2^2}=16$(厘米).
故需要将圆柱A提起16厘米.

【分析】
第(1)问：已知圆柱A比B高$\frac{1}{4}$，先求出圆柱B的高；再利用A、B体积相等，结合圆柱体积公式，求出圆柱B的底面积。
第(2)问：先计算放入A、B后，水箱内水和两个圆柱的总体积（长方体底面积×水面高度）；减去两个圆柱的体积得到原来水的体积，再除以水箱底面积，得到放入前水面高度。
第(3)问：先算出水面降至B高度时水箱内的总体积，与水面为A高度时的总体积的差值，这个差值等于圆柱A提起后空出的体积，用差值除以A的底面积，即可得到A被提起的高度。
【解析】
(1) 圆柱B的高：因为A比B高$\frac{1}{4}$，所以$h_B=20÷(1+\frac{1}{4})=16$（厘米）。
由于A、B体积相同，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，可得：
$π × 2^2 × 20 = π × r_B^2 × 16$，约去$π$后，$4×20=16r_B^2$，解得$r_B^2=5$。
因此B的底面积为$π r_B^2=3×5=15$（平方厘米）。
(2) 放入A、B后，水箱内水和两个圆柱的总体积：$8×6×20=960$（立方厘米）。
A、B体积相同，单个圆柱体积为$15×16=240$（立方厘米），两个总体积为$240×2=480$（立方厘米）。
原来水的体积：$960-480=480$（立方厘米）。
放入前水面高度：$480÷(8×6)=10$（厘米）。
(3) 水面降至B高度（16厘米）时，水箱内总体积：$8×6×16=768$（立方厘米）。
体积差（即A提起空出的体积）：$960-768=192$（立方厘米）。
圆柱A的底面积：$π×2^2=3×4=12$（平方厘米）。
A被提起的高度：$192÷12=16$（厘米）。
【答案】
(1) 15平方厘米；(2) 10厘米；(3) 16厘米
【知识点】
圆柱体积，长方体体积，体积应用
【点评】
本题综合考查圆柱与长方体体积公式的运用，核心是理解不同状态下体积的变化关系，需要理清水体积、物体体积与水箱容积的关联，对逻辑分析能力有一定要求，属于中等难度的体积应用题。
【难度系数】
0.5

13. 数学文化 欧拉公式 欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献. 他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数$V$、棱数$E$、面数$F$之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为$x$个，八边形的个数为$y$个，求$x+y$的值.
精题详解

13.(1)表格补充如下：
| 多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 四面体 | 4 | 4 | 6 |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
$V+F-E=2$
(2)20 [解析]由题意，得$F-8+F-30=2$，解得$F=20$.
(3)
∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
∴共有$24×3÷2=36$(条)棱.
由(1)可知，$24+F-36=2$，解得$F=14$，
∴$x+y=14$.

【分析】
本题围绕欧拉公式展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据常见多面体（四面体、长方体等）的顶点数$V$、面数$F$、棱数$E$，计算各组$V+F-E$的值，寻找三者的数量关系，完成表格并得出公式；
2. 第(2)问：利用第(1)问得到的欧拉公式，结合题目中“面数比顶点数大8”和棱数30的条件，设未知数代入公式求解面数；
3. 第(3)问：先根据顶点数和每个顶点的棱数计算总棱数（注意每条棱被两个顶点共用，需除以2），再用欧拉公式求出总面数，总面数即为三角形和八边形的个数和，即$x+y$的值。
【解析】
(1) 填写表格中各多面体的对应数值：
四面体：顶点数$V=4$，面数$F=4$，棱数$E=6$；
长方体：顶点数$V=8$，面数$F=6$，棱数$E=12$；
八面体：顶点数$V=6$，面数$F=8$，棱数$E=12$；
十二面体：顶点数$V=20$，面数$F=12$，棱数$E=30$；
计算各组$V+F-E$：$4+4-6=2$，$8+6-12=2$，$6+8-12=2$，$20+12-30=2$，故关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 设该多面体的顶点数为$V$，则面数$F=V+8$，已知棱数$E=30$，代入欧拉公式$V+F-E=2$得：
$V + (V+8) - 30 = 2$，
化简得$2V -22=2$，解得$V=12$，
故面数$F=12+8=\boldsymbol{20}$。
(3) 已知有24个顶点，每个顶点处有3条棱，每条棱被2个顶点共用，故棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$；
设总面数为$F$，代入欧拉公式$V+F-E=2$得：
$24 + F -36 =2$，
解得$F=14$；
因为外表面由三角形（$x$个）和八边形（$y$个）组成，总面数$F=x+y$，故$x+y=\boldsymbol{14}$。
【答案】
(1) 表格补充：四面体$V=4$、$F=4$、$E=6$；长方体$V=8$、$F=6$、$E=12$；八面体$V=6$、$F=8$、$E=12$；十二面体$V=20$、$F=12$、$E=30$；$\boldsymbol{V+F-E=2}$；
(2) $\boldsymbol{20}$；
(3) $\boldsymbol{14}$。
【知识点】
欧拉公式、多面体的顶点/棱/面关系
【点评】
本题以数学文化中的欧拉公式为载体，考察学生观察规律、运用公式解决实际问题的能力，属于基础应用类题目，只要掌握欧拉公式的内容和应用方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.6