1. 如图,在$△ ABC$中,$AC=8$,点$D,E$分别在边$BC,AC$上,$F$是$BD$的中点.若$AB=AD,EF=EC$,则$EF$的长是()


A.3
B.4
C.5
D.6

1. B 提示:连接AF. 因为AB=AD,F是BD的中点,所以$AF ⊥ BD$,所以$∠ AFD = 90°$,所以$∠ EAF+∠ C=90°$,$∠ AFE+∠ EFC=90°$. 因为$EF=EC$,所以$∠ EFC=∠ C$. 所以$∠ EAF=∠ AFE$,所以$EA=EF$,所以$EF=EA=EC=\frac{1}{2}AC=4$.

2. 如图,已知$∠ MON=30°$,点$A_1,A_2,A_3,···$在射线$ON$上,点$B_1,B_2,B_3,···$在射线$OM$上,$△ A_1B_1A_2$,$△ A_2B_2A_3$,$△ A_3B_3A_4$,$···$均为等边三角形.若$OA_1=2$,则$△ A_6B_6A_7$的边长为（）

A.$16$
B.$32$
C.$64$
D.$128$

2. C 提示:因为$△ A_1B_1A_2$为等边三角形,所以$∠ B_1A_1A_2=60°$,$A_1B_1=A_1A_2$,所以$∠ A_1B_1O=∠ B_1A_1A_2-∠ MON=30°$,所以$∠ A_1B_1O=∠ MON$,所以$A_1B_1=OA_1$,所以$A_1B_1=A_1A_2=OA_1$.同理可得$A_2B_2=A_2A_3=OA_2=2OA_1$,$A_3B_3=A_3A_4=OA_3=2OA_2=2^2 · OA_1$,$A_4B_4=A_4A_5=OA_4=2OA_3=2^3 · OA_1$,$···$,所以$A_nB_n=A_nA_{n+1}=2^{n-1} · OA_1=2^n$,所以$△ A_6B_6A_7$的边长$A_6B_6=2^6=64$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$.若在$BC$或$AC$所在直线上取一点$P$,使$△ PAB$是等腰三角形,则符合条件的点$P$有（）

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

3. B 提示:如图,符合条件的点P有6个.

4. 若等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是$70^{\circ }$,则它的顶角的度数是.

4. $110°或70°$ 提示:分2种情况讨论:如图1,当$∠ BAC$是钝角时,根据题意,得$AB=AC$,$∠ AEH=∠ ADH=90°$,$∠ EHD=70°$,所以$∠ BAC=∠ EAD=360°-90°-90°-70°=110°$;如图2,当$∠ A$是锐角时,根据题意,得$AB=AC$,$∠ CDA=∠ BEA=90°$,$∠ CHE=70°$,所以$∠ DHE=110°$,所以$∠ A=360°-90°-90°-110°=70°$.综上所述,该等腰三角形的顶角的度数为$110°或70°$.

5. 如图, 在以 $AB$ 为斜边的两个 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $∠ ACB=∠ ADB=90°$,$CD=m$,$AB=2m$, 则 $∠ AEB=$.

5. $120°$ 提示:如图,取AB的中点F,连接CF,DF. 因为$∠ ACB=∠ ADB=90°$,所以$CF=\frac{1}{2}AB=DF$.又因为$CD=m$,$AB=2m$,所以$CD=\frac{1}{2}AB$,所以$CF=DF=CD$,所以$△ CDF$是等边三角形,所以$∠ CFD=60°$,所以$∠ AFC+∠ BFD=120°$. 因为$CF=BF$,$AF=DF$,所以$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$. 因为$∠ AFC=∠ 1+∠ 2$,$∠ BFD=∠ 3+∠ 4$,所以$∠ 2+∠ 3=\frac{1}{2}∠ AFC+\frac{1}{2}∠ BFD=\frac{1}{2}(∠ AFC+∠ BFD)=60°$,所以$∠ AEB=180°-(∠ 2+∠ 3)=120°$.

6. 如图,在四边形$ABCD$中,
$AB=AC$,$BC=BD$. 若
$∠ ABC=\dfrac{1}{2}∠ BAD=α$,则
$∠ BCD=\underline{\qquad}$(用含$α$的代数式表示).

6. $180°-2α$ 提示:延长DA至点M,使$AM=AB$,连接BM. 因为$AB=AC$,所以$AM=AB=AC$,$∠ ACB=∠ ABC=α$,所以$∠ BAC=180°-2α$. 因为$∠ BAD=2α$,所以$∠ BAM=180°-∠ BAD=180°-2α$,所以$∠ BAC=∠ BAM$. 所以$∠ CAD=180°-2∠ BAC=4α-180°$.在$△ MAB$和$△ CAB$中,
$\begin{cases} AM=AC, \\ ∠ BAM=∠ BAC, \\ AB=AB, \end{cases}$
所以$△ MAB ≌ △ CAB$,所以$∠ M=∠ ACB=α$,$BM=BC=BD$,所以$∠ ADB=∠ M=∠ ACB=α$. 因为$∠ DBC+∠ ACB=∠ CAD+∠ ADB$,所以$∠ DBC=∠ CAD=4α-180°$,所以$∠ BCD=\frac{180°-∠ DBC}{2}=90°-\frac{1}{2}∠ DBC=90°-\frac{1}{2}(4α-180°)=180°-2α$.

7. 如图,在$△ ABC$中,$AD$为边$BC$的中线,$E$为$AD$上一点,连接$BE$并延长交$AC$于点$F$,若$∠ AEF=∠ FAE$,$BE=4$,$EF=1.6$,则$CF$的长为.

7. $2.4$ 提示:如图,延长AD至点G,使$DG=AD$,连接BG. 因为AD为边BC的中线,所以$BD=CD$.在$△ BDG$和$△ CDA$中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ BDG=∠ CDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
所以$△ BDG ≌ △ CDA$(SAS),所以$BG=CA$,$∠ G=∠ CAD$. 因为$∠ AEF=∠ FAE$,即$∠ CAD=∠ AEF$,又因为$∠ BEG=∠ AEF$,所以$∠ CAD=∠ BEG$,所以$∠ G=∠ BEG$,所以$BG=BE=4$,所以$CA=BG=4$. 因为$∠ AEF=∠ FAE$,所以$AF=EF=1.6$,所以$CF=CA-AF=4-1.6=2.4$.

8. 如图,等边三角形$ABC$的边长为4,动点$D$从点$B$出发,沿射线$BC$方向移动,以$AD$为边在右侧作等边三角形$ADE$,取$AC$的中点$F$,连接$EF$.当$EF$的值最小时,$BD=$.
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8. $1$ 提示:如图,连接CE. 因为$△ ABC$,$△ ADE$均为等边三角形,所以$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=∠ ABC=∠ ACB=60°$. 所以$∠ BAD=∠ CAE$,所以$△ BAD ≌ △ CAE$. 所以$BD=CE$,$∠ ACE=∠ ABC=∠ BAC=60°$,所以$CE // AB$. 过点F作$FH ⊥ CE$,垂足为H.当点E与点H重合时,EF的值最小. 因为$∠ ACH=60°$,$∠ FHC=90°$,所以$∠ CFH=30°$. 因为$CF=\frac{1}{2}AC=2$,所以$CH=\frac{1}{2}CF=1$. 所以$BD=CE=1$(点E与点H重合).

9. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ BAD =α$,
$∠ C=180°-α,BD$ 平分 $∠ ABC$.
(1) 如图 1,若 $α=90°$,根据教材中的一个重要性质,直接可得 $AD=CD$,这个性质是.
(2) 问题解决:如图 2,求证:$AD=CD$.
(3) 问题拓展:如图 3,在等腰三角形 $ABC$ 中,$∠ A=100°,BD$ 平分 $∠ ABC$,求证:$BD+AD=BC$.

9. (1) 角平分线上的点到角两边的距离相等
(2) 证明:过点D分别作$DE ⊥ BA$,交BA的延长线于点E,$DF ⊥ BC$于点F. 因为BD平分$∠ ABC$,$DE ⊥ BE$,$DF ⊥ BF$,所以$DE=DF$. 因为$∠ BAD + ∠ C = 180°$,$∠ BAD+∠ EAD=180°$,所以$∠ EAD=∠ C$.
在$△ DEA$和$△ DFC$中,
$\begin{cases} ∠ DEA=∠ DFC, \\ ∠ EAD=∠ C, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以$△ DEA ≌ △ DFC$,所以$AD=CD$.
(3) 证明:在BC上截取$BK=BD$,连接DK. 因为$AB=AC$,$∠ A = 100°$,所以$∠ ABC=∠ C=40°$. 因为BD平分$∠ ABC$,所以$∠ DBK=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$. 因为$BD=BK$,所以$∠ BKD=∠ BDK=80°$,所以$∠ A + ∠ BKD = 180°$. 由(2),得$AD=DK$. 因为$∠ BKD = ∠ C + ∠ KDC$,所以$∠ KDC = ∠ C=40°$,所以$DK=CK$,所以$AD=DK=CK$. 所以$BD+AD=BK+CK=BC$.