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8. 如图,将五边形纸片ABCDE分别沿AF,DF,AD折叠后,顶点B,C,E恰好都落在纸片内的点P处,且∠CDE是锐角,则在下列判断中,正确的是(
A.∠AFD=90°且AF ＜ DF
B.∠AFD=90°且AF ＞ DF
C.∠AFD≠90°且AF ＜ DF
D.∠AFD≠90°且AF ＞ DF
A
).A.∠AFD=90°且AF ＜ DF
B.∠AFD=90°且AF ＞ DF
C.∠AFD≠90°且AF ＜ DF
D.∠AFD≠90°且AF ＞ DF
答案
8. A 【点拨】本题考查折叠问题,多边形内角和,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
【解析】由折叠的性质得,∠AFB = ∠AFP,∠CFD = ∠PFD,
∴ $∠AFD = ∠AFP + ∠DFP = \frac{1}{2}∠BFC =90°$.
由折叠的性质得,∠APF = ∠B,∠APD = ∠E,∠DPF = ∠C,∠BAF = ∠PAF,∠EAD = ∠PAD,∠CDF = ∠PDF,∠EDA = ∠PDA,
∴ $∠FAD = \frac{1}{2}∠BAE,∠ADF = \frac{1}{2}∠CDE$.
∵ ∠APF + ∠DPF + ∠APD = 360°,且五边形内角和为 540°,
∴ ∠BAE + ∠CDE = 540° - (∠B + ∠C + ∠E) = 540° - (∠APF + ∠APD + ∠DPF) = 540° - 360° = 180°.
∵ ∠CDE 是锐角,
∴ ∠CDE ＜90°,
∴ ∠BAE ＞90°.
∵ $∠FAD = \frac{1}{2}∠BAE ＞45°,∠ADF = \frac{1}{2}∠CDE ＜45°$,
∴ ∠FAD ＞ ∠ADF,
∴ AF ＜ DF. 故选 A.
【解析】由折叠的性质得,∠AFB = ∠AFP,∠CFD = ∠PFD,
∴ $∠AFD = ∠AFP + ∠DFP = \frac{1}{2}∠BFC =90°$.
由折叠的性质得,∠APF = ∠B,∠APD = ∠E,∠DPF = ∠C,∠BAF = ∠PAF,∠EAD = ∠PAD,∠CDF = ∠PDF,∠EDA = ∠PDA,
∴ $∠FAD = \frac{1}{2}∠BAE,∠ADF = \frac{1}{2}∠CDE$.
∵ ∠APF + ∠DPF + ∠APD = 360°,且五边形内角和为 540°,
∴ ∠BAE + ∠CDE = 540° - (∠B + ∠C + ∠E) = 540° - (∠APF + ∠APD + ∠DPF) = 540° - 360° = 180°.
∵ ∠CDE 是锐角,
∴ ∠CDE ＜90°,
∴ ∠BAE ＞90°.
∵ $∠FAD = \frac{1}{2}∠BAE ＞45°,∠ADF = \frac{1}{2}∠CDE ＜45°$,
∴ ∠FAD ＞ ∠ADF,
∴ AF ＜ DF. 故选 A.
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
9. $\sqrt[3]{8}=$
10. 若$a^m=3,a^n=4$,则$a^{m+n}=$
11. 命题“如果$a=b$,那么$a^2=b^2$”的逆命题是
12. 比较大小:$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
13. 已知$a^2+b^2=7,a+b=3$,则$ab=$
14. 已知不等式$ax-b＜0$的解集是$x＜2$,则不等式$bx+a＞0$的解集是
9. $\sqrt[3]{8}=$
2
.10. 若$a^m=3,a^n=4$,则$a^{m+n}=$
12
.11. 命题“如果$a=b$,那么$a^2=b^2$”的逆命题是
假
命题.(填“真”或“假”)12. 比较大小:$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
＞
$\frac{3}{5}$.(填“＞”“＜”或“=”)13. 已知$a^2+b^2=7,a+b=3$,则$ab=$
1
.14. 已知不等式$ax-b＜0$的解集是$x＜2$,则不等式$bx+a＞0$的解集是
$x ＞ -\frac{1}{2}$
.答案
9. 2 【点拨】本题考查立方根的定义.
【解析】
∵ $2^3=8$,
∴ $\sqrt[3]{8}=2$. 故答案为 2.
10. 12 【点拨】本题考查同底数幂的乘法,熟知同底数幂相乘,底数不变,指数相加是解答此题的关键.
【解析】
∵ $a^m=3$,$a^n=4$,
∴ $a^{m+n}=a^m · a^n =3 ×4 =12$. 故答案为12.
11. 假 【点拨】本题考查对逆命题的定义的理解及运用.
【解析】“如果 a = b,那么 $a^2 = b^2$”的逆命题是“如果 $a^2 = b^2$,那么 a = b”,该命题是假命题. 故答案为假.
12. ＞ 【点拨】本题考查实数的大小比较.
【解析】
∵ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{5\sqrt{5}-5}{10}$,$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$,$5\sqrt{5}=\sqrt{5×5^2}=\sqrt{125}$,$11=\sqrt{121}$,
∴ $\sqrt{125}-5＞\sqrt{121}-5$,即 $5\sqrt{5}-5＞6$.
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{3}{5}$. 故答案为 ＞.
13. 1 【点拨】本题考查完全平方公式.
【解析】
∵ a + b = 3,
∴ $(a + b)^2 = 3^2$,即 $a^2 + 2ab + b^2 =9$.
∵ $a^2 + b^2 =7$,
∴ 7 + 2ab =9,解得 ab =1. 故答案为 1.
14. $x ＞ -\frac{1}{2}$ 【点拨】本题考查一元一次不等式的解法,熟练掌握不等式的性质,解不等式是解题的关键.
【解析】
∵ 不等式 ax - b ＜ 0 的解集是 x ＜ 2,不等号没有发生改变,
∴ a ＞ 0,
∴ 不等式 ax - b ＜ 0 的解集是 $x ＜ \frac{b}{a}$,
∴ $\frac{b}{a}=2$,
∴ b = 2a ＞ 0.
∵ bx + a ＞ 0,
∴ bx ＞ -a,
∴ $x ＞ -\frac{a}{b}$,
∴ $x ＞ -\frac{1}{2}$. 故答案为 $x ＞ -\frac{1}{2}$.
【解析】
∵ $2^3=8$,
∴ $\sqrt[3]{8}=2$. 故答案为 2.
10. 12 【点拨】本题考查同底数幂的乘法,熟知同底数幂相乘,底数不变,指数相加是解答此题的关键.
【解析】
∵ $a^m=3$,$a^n=4$,
∴ $a^{m+n}=a^m · a^n =3 ×4 =12$. 故答案为12.
11. 假 【点拨】本题考查对逆命题的定义的理解及运用.
【解析】“如果 a = b,那么 $a^2 = b^2$”的逆命题是“如果 $a^2 = b^2$,那么 a = b”,该命题是假命题. 故答案为假.
12. ＞ 【点拨】本题考查实数的大小比较.
【解析】
∵ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{5\sqrt{5}-5}{10}$,$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$,$5\sqrt{5}=\sqrt{5×5^2}=\sqrt{125}$,$11=\sqrt{121}$,
∴ $\sqrt{125}-5＞\sqrt{121}-5$,即 $5\sqrt{5}-5＞6$.
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{3}{5}$. 故答案为 ＞.
13. 1 【点拨】本题考查完全平方公式.
【解析】
∵ a + b = 3,
∴ $(a + b)^2 = 3^2$,即 $a^2 + 2ab + b^2 =9$.
∵ $a^2 + b^2 =7$,
∴ 7 + 2ab =9,解得 ab =1. 故答案为 1.
14. $x ＞ -\frac{1}{2}$ 【点拨】本题考查一元一次不等式的解法,熟练掌握不等式的性质,解不等式是解题的关键.
【解析】
∵ 不等式 ax - b ＜ 0 的解集是 x ＜ 2,不等号没有发生改变,
∴ a ＞ 0,
∴ 不等式 ax - b ＜ 0 的解集是 $x ＜ \frac{b}{a}$,
∴ $\frac{b}{a}=2$,
∴ b = 2a ＞ 0.
∵ bx + a ＞ 0,
∴ bx ＞ -a,
∴ $x ＞ -\frac{a}{b}$,
∴ $x ＞ -\frac{1}{2}$. 故答案为 $x ＞ -\frac{1}{2}$.
15. 如图，$l_{1}// l_{2}$，$∠ 1=∠ 2=70°$，$∠ 3=∠ 4=50°$，则$∠ 5=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
15. 120 【点拨】本题考查三角形内角和定理,平行线的性质,多边形的外角和.
【解析】如图,
∵ ∠3 = ∠4 = 50°,
∴ ∠6 = 180° - ∠3 - ∠4 = 80°.
∵ $l_1 // l_2$,
∴ ∠7 = 180° - ∠6 = 100°.
∵ ∠1 = ∠2 =70°,∠1 + ∠2 + ∠7 + ∠5 = 360°,
∴ ∠5 = 360° -70° -70° -100° =120°. 故答案为 120.
16. 如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE，CF.若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是
6
.答案
16. 6 【点拨】本题考查三角形中线的性质,利用中线等分三角形的面积进行求解即可,解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用.
【解析】
∵ BD 是△ABC 的边 AC 上的中线,
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=8$.
∵ AE 是△ABD 的边 BD 上的中线,
∴ CE 是△BCD 的边 BD 上的中线,
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=4$,$S_{△ BEC}=S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=4$,
∴ $S_{△ AEC}=S_{△ AED}+S_{△ CED}=4 +4 =8$.
∵ BF 是△ABE 的边 AE 上的中线,
∴ CF 是△ACE 的边 AE 上的中线,
∴ $S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=2$,$S_{△ EFC}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=4$,
∴ 阴影部分的面积是 $S_{△ BEF}+S_{△ EFC}=2 +4 =6$. 故答案为 6.
【解析】
∵ BD 是△ABC 的边 AC 上的中线,
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=8$.
∵ AE 是△ABD 的边 BD 上的中线,
∴ CE 是△BCD 的边 BD 上的中线,
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=4$,$S_{△ BEC}=S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=4$,
∴ $S_{△ AEC}=S_{△ AED}+S_{△ CED}=4 +4 =8$.
∵ BF 是△ABE 的边 AE 上的中线,
∴ CF 是△ACE 的边 AE 上的中线,
∴ $S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=2$,$S_{△ EFC}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=4$,
∴ 阴影部分的面积是 $S_{△ BEF}+S_{△ EFC}=2 +4 =6$. 故答案为 6.
三、解答题(本大题共11小题,共68分.解答应写出过程)
17. (4分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-1}+(π -2\,024{)}^{0}-(-1{)}^{2\,025}$.
17. (4分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-1}+(π -2\,024{)}^{0}-(-1{)}^{2\,025}$.
答案
17. 【点拨】本题考查幂的运算.
【解析】$(\frac{1}{2})^{-1}+(π - 2024)^0 - (-1)^{2025}$
$=2 +1 - (-1)$
$=3 +1$
$=4$.
【解析】$(\frac{1}{2})^{-1}+(π - 2024)^0 - (-1)^{2025}$
$=2 +1 - (-1)$
$=3 +1$
$=4$.
$\begin{cases} 3 + 2x ≥ 1, \end{cases}$
答案
解：
移项，得
2x ≥ 1 - 3
合并同类项，得
2x ≥ -2
系数化为1，得
x ≥ -1
移项，得
2x ≥ 1 - 3
合并同类项，得
2x ≥ -2
系数化为1，得
x ≥ -1
18. (4分)解不等式组$\begin{cases} 3 - \dfrac{1}{2}x ＞ 1, \end{cases}$并求出它的所有整数解.
答案
18. 【点拨】本题考查解一元一次不等式组,不等式组的整数解,熟知以上知识是解题的关键.
【解析】$\begin{cases} 3 + 2x ≥ 1,① \\ 3 - \frac{1}{2}x ＞ 1,② \end{cases}$
解不等式①,得 x ≥ -1,解不等式②,得 x ＜ 4,
∴ 不等式组的解集为 -1 ≤ x ＜ 4,
∴ 整数解为 -1,0,1,2,3.
【解析】$\begin{cases} 3 + 2x ≥ 1,① \\ 3 - \frac{1}{2}x ＞ 1,② \end{cases}$
解不等式①,得 x ≥ -1,解不等式②,得 x ＜ 4,
∴ 不等式组的解集为 -1 ≤ x ＜ 4,
∴ 整数解为 -1,0,1,2,3.
