19. (5分)计算:$(-2x^{2})^{3} ÷ x^{2} + (-2x)^{2} · x^{2}.$

19. 【点拨】本题考查整式的混合运算,先进行积的乘方运算,再进行乘除运算,最后合并同类项即可,掌握整式的运算法则是解题的关键.
【解析】$(-2x^2)^3 ÷ x^2 + (-2x)^2 · x^2$
$= -8x^6 ÷ x^2 +4x^2 · x^2$
$= -8x^4 +4x^4$
$= -4x^4$.

20. (5 分)证明:三个连续自然数之和能被 3 整除.

20. 【点拨】本题考查整式的加减,列代数式.
【解析】证明:设第一个数为 n(n 是自然数),则第二个数为 n + 1,第三个数为 n + 2,
∴ 这三个自然数的和 = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
∵ $\frac{3(n + 1)}{3}=n + 1$,
∴ 三个连续的自然数之和能被 3 整除.

21. (6 分)如图,点 A,B,C 在一条直线上,$BD// CE$,$AB = EC$,$BD = CB$.求证:$AD = EB$.

21. 【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定,解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定.
【解析】证明:
∵ $BD // CE$,
∴ ∠ABD = ∠C,
在△ABD 和△ECB 中,$\begin{cases} AB = EC, \\ ∠ABD = ∠C, \\ DB = BC, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ECB$(SAS),
∴ AD = EB.

22. (6分)求代数式$(2a+1)(a-1)-2(a-1)^2 -3(a+1)(a-1)$的值，其中$a=\frac{1}{3}$。

22. 【点拨】本题考查整式的化简求值.
【解析】$(2a + 1)(a - 1) - 2(a - 1)^2 - 3(a + 1)(a - 1)$
$= 2a^2 - a - 1 - 2(a^2 - 2a + 1) - 3(a^2 - 1)$
$= 2a^2 - a - 1 - 2a^2 + 4a - 2 - 3a^2 + 3$
$= 3a - 3a^2$,
当 $a = \frac{1}{3}$ 时,原式 $= 3 × \frac{1}{3} - 3 × (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$.

23. (6 分)已知关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - 3y = 10 + m,\\3x - 2y = 5 - 6m,\end{cases}$ 其中 $m$ 为常数.
(1)若方程组的解满足 $x - y = 1$,求 $m$ 的值;
(2)若方程组的解满足 $x + y ＜ 2$,求 $m$ 应满足的条件.

23. 【点拨】本题考查解二元一次方程组,解一元一次不等式,熟练掌握方程组的解法,不等式的解法是解题的关键.
【解析】(1) $\begin{cases} 2x - 3y = 10 + m,① \\ 3x - 2y = 5 - 6m,② \end{cases}$
① + ②得,5x - 5y = 15 - 5m,
∴ x - y = 3 - m.
∵ x - y = 1,
∴ 3 - m = 1,解得 m = 2.
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 10 + m,① \\ 3x - 2y = 5 - 6m,② \end{cases}$
② - ①得,x + y = -5 -7m.
∵ x + y ＜ 2,
∴ -5 -7m ＜ 2,解得 m ＞ -1.