24. (6分)主题学习:探究平移、轴对称、旋转变换之间的联系.
如图,已知方格纸中每个小正方形的边长都是1.
(1)在图1中画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ,再画出三角形Ⅱ关于直线b对称的三角形Ⅲ,则三角形Ⅲ是否能够由三角形Ⅰ通过一次平移变换得到?如果能,请写出平移的方法;如果不能,请说明理由;

(2)在图2中画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ,再画出三角形Ⅱ关于直线c对称的三角形Ⅲ,则三角形Ⅲ是否能够由三角形Ⅰ通过一次旋转变换得到?如果能,请写出旋转的方法;如果不能,请说明理由.

24. 【点拨】本题考查平移、轴对称、旋转之间的联系.
【解析】(1)根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图,作图如图1,则三角形Ⅱ,三角形Ⅲ即为所求.

根据平移的定义,得三角形Ⅲ能够由三角形Ⅰ通过一次平移变换得到,且通过向右平移6个单位长度得到.
(2)根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图,作图如图2,则三角形Ⅱ,三角形Ⅲ即为所求.

BB' 和 CC' 的垂直平分线交于点 O,则点 O 为旋转中心,∠BOB' 为旋转角,且 ∠BOB' =90°.
根据旋转的定义,得三角形Ⅲ能够由三角形Ⅰ通过一次旋转变换得到,且以点 O 为旋转中心,顺时针旋转 90°得到.

25. (8分)如图,在$△ ABC$中,点 D 在边 AB 上,连接 CD,过点 D 作$DE ⊥ AC$于点 E.
(1)作出$△ BDC$的角平分线 DF;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$DF // AC$,则 AE,CE 具有怎样的数量关系? 并加以证明.

25. 【点拨】本题考查作角平分线,平行线的性质,等腰三角形的性质与判定,熟练掌握基本作图以及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.
【解析】(1)如图所示.

(2)AE = CE.
证明:
∵ DF 平分 ∠BDC,
∴ ∠BDF = ∠CDF.
∵ $DF // AC$,
∴ ∠A = ∠BDF,∠DCA = ∠CDF,
∴ ∠A = ∠DCA,
∴ DA = DC.
∵ DE ⊥ AC,
∴ AE = CE.