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4. 在比例尺是$1:5000000$的地图上，量得盐城到南京的距离是5 cm，一辆汽车下午1时从盐城五星客运站开往南京，下午3时30分到达。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？（4分）
答案
4. 3时30分－1小时＝2小时30分钟＝2.5小时
$5÷\dfrac{1}{5000000}=25000000$（cm）$=250$（km） $250÷2.5=100$（km/h） 答：略
$5÷\dfrac{1}{5000000}=25000000$（cm）$=250$（km） $250÷2.5=100$（km/h） 答：略
解析
【分析】
要解决这个问题，分三步思考：①先计算汽车行驶的时间，用到达时间减去出发时间，再将时间换算成小时单位；②根据“实际距离=图上距离÷比例尺”算出盐城到南京的实际距离，注意将厘米单位换算成千米；③根据“速度=路程÷时间”，用实际距离除以行驶时间，得到汽车的平均速度。
【解析】
1. 计算行驶时间：下午3时30分 - 下午1时 = 2小时30分 = 2.5小时；
2. 计算实际距离：根据比例尺公式，实际距离 = $5÷\dfrac{1}{5000000}=25000000$（cm），因为1km=100000cm，所以25000000 cm = 250 km；
3. 计算平均速度：速度 = $250÷2.5=100$（km/h）；
【答案】
答：这辆汽车平均每小时行驶100千米。
【知识点】
比例尺的应用、行程问题（速度计算）
【点评】
本题是比例尺与行程问题的综合题，核心是掌握比例尺求实际距离的方法和速度公式，需注意时间单位、长度单位的换算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，分三步思考：①先计算汽车行驶的时间，用到达时间减去出发时间，再将时间换算成小时单位；②根据“实际距离=图上距离÷比例尺”算出盐城到南京的实际距离，注意将厘米单位换算成千米；③根据“速度=路程÷时间”，用实际距离除以行驶时间，得到汽车的平均速度。
【解析】
1. 计算行驶时间：下午3时30分 - 下午1时 = 2小时30分 = 2.5小时；
2. 计算实际距离：根据比例尺公式，实际距离 = $5÷\dfrac{1}{5000000}=25000000$（cm），因为1km=100000cm，所以25000000 cm = 250 km；
3. 计算平均速度：速度 = $250÷2.5=100$（km/h）；
【答案】
答：这辆汽车平均每小时行驶100千米。
【知识点】
比例尺的应用、行程问题（速度计算）
【点评】
本题是比例尺与行程问题的综合题，核心是掌握比例尺求实际距离的方法和速度公式，需注意时间单位、长度单位的换算，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
5. 学校田径队的女生人数占总人数的$\frac{2}{9}$。开学初又新加入6名女生，这时，女生人数占总人数的$\frac{1}{3}$。现在女生有多少人？（5分）
答案
5. 解：设学校田径队原来的总人数为$x$人。
$\dfrac{2}{9}x+6=\dfrac{1}{3}(x+6)$ $x=36$ $36×\dfrac{2}{9}+6=14$（人） 答：略
$\dfrac{2}{9}x+6=\dfrac{1}{3}(x+6)$ $x=36$ $36×\dfrac{2}{9}+6=14$（人） 答：略
解析
【分析】这是一道分数应用题，解题时需抓住加入女生前后的数量关系建立方程。设原来田径队总人数为$x$人，原来女生人数为$\frac{2}{9}x$，加入6名女生后，女生人数变为$\frac{2}{9}x +6$，总人数变为$x+6$，此时女生占总人数的$\frac{1}{3}$，据此可列出方程求解原来总人数，再计算现在女生人数。
【解析】解：设学校田径队原来的总人数为$x$人。
根据题意列方程：
$\frac{2}{9}x + 6 = \frac{1}{3}(x + 6)$
两边同时乘以9消去分母：
$2x + 54 = 3(x + 6)$
展开右边：
$2x + 54 = 3x + 18$
移项得：
$3x - 2x = 54 - 18$
解得：$x = 36$
现在女生人数为：$\frac{2}{9}×36 + 6 = 8 + 6 = 14$（人）
答：现在女生有14人。
【答案】14人
【知识点】分数应用题；一元一次方程的应用
【点评】本题通过设未知数列方程解决分数应用题，关键是找准加入女生后女生人数和总人数的对应分率，考查学生对数量关系的分析能力和方程的应用能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解：设学校田径队原来的总人数为$x$人。
根据题意列方程：
$\frac{2}{9}x + 6 = \frac{1}{3}(x + 6)$
两边同时乘以9消去分母：
$2x + 54 = 3(x + 6)$
展开右边：
$2x + 54 = 3x + 18$
移项得：
$3x - 2x = 54 - 18$
解得：$x = 36$
现在女生人数为：$\frac{2}{9}×36 + 6 = 8 + 6 = 14$（人）
答：现在女生有14人。
【答案】14人
【知识点】分数应用题；一元一次方程的应用
【点评】本题通过设未知数列方程解决分数应用题，关键是找准加入女生后女生人数和总人数的对应分率，考查学生对数量关系的分析能力和方程的应用能力，难度适中。
【难度系数】0.5
6. 传说古希腊国王让人做了一顶纯金的王冠，但他怀疑王冠被掺了银子，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德为测出国王的王冠是不是纯金的，做了如下的实验：第一步，把纯金块放水里称，得出纯金块质量减轻了 5%；第二步，把纯银块放水里称，得出纯银块质量减轻 7.5%；第三步，把 6 kg 的王冠放在水里称，发现减少了 0.35 kg。
（1）请你通过计算说明，王冠是否被掺了银子。（3 分）
（2）你能算出王冠被掺了多少千克银子吗？（3 分）
（1）请你通过计算说明，王冠是否被掺了银子。（3 分）
（2）你能算出王冠被掺了多少千克银子吗？（3 分）
答案
6.（1）$0.35÷6≈5.8\%$ $5.8\%＞5\%$ 王冠被掺了银子。
（2）$(0.35-6×5\%)÷(7.5\%-5\%)=2$（kg） 答：略
（2）$(0.35-6×5\%)÷(7.5\%-5\%)=2$（kg） 答：略
解析
【分析】
要判断王冠是否掺银，需先计算王冠在水中的质量减轻比例，再与纯金的减轻比例对比：纯金在水中减轻5%，纯银减轻7.5%，若王冠减轻比例大于纯金，说明掺了银（银的减轻比例更高），计算减轻比例用减轻质量除以总质量。求掺银质量时用假设法：假设全是纯金，算出应减轻的质量，与实际减轻质量的差值是掺银导致的，再结合每千克银比金多减轻的比例，即可算出银的质量。
【解析】
（1）计算王冠在水中的质量减轻比例：
王冠减轻比例 = 减轻的质量 ÷ 王冠总质量 = 0.35 ÷ 6 ≈ 5.8%
对比纯金的减轻比例5%，因为5.8%＞5%，所以王冠被掺了银子。
（2）用假设法计算掺银质量：
假设6kg全为纯金，在水中应减轻的质量：6×5% = 0.3kg
实际比全纯金多减轻的质量：0.35 - 0.3 = 0.05kg
每千克银比金多减轻的比例：7.5% - 5% = 2.5%
掺银的质量 = 多减轻的质量 ÷ 每千克多减轻的比例 = 0.05 ÷ 2.5% = 2kg
【答案】
（1）王冠被掺了银子；（2）王冠被掺了2千克银子。
【知识点】
百分数的应用、鸡兔同笼问题
【点评】
本题结合实际情境考查百分数的应用与假设法，需理解不同金属在水中减轻比例的含义，通过计算对比和假设推理解决问题，逻辑清晰，是典型的数学应用题。
【难度系数】
0.6
要判断王冠是否掺银，需先计算王冠在水中的质量减轻比例，再与纯金的减轻比例对比：纯金在水中减轻5%，纯银减轻7.5%，若王冠减轻比例大于纯金，说明掺了银（银的减轻比例更高），计算减轻比例用减轻质量除以总质量。求掺银质量时用假设法：假设全是纯金，算出应减轻的质量，与实际减轻质量的差值是掺银导致的，再结合每千克银比金多减轻的比例，即可算出银的质量。
【解析】
（1）计算王冠在水中的质量减轻比例：
王冠减轻比例 = 减轻的质量 ÷ 王冠总质量 = 0.35 ÷ 6 ≈ 5.8%
对比纯金的减轻比例5%，因为5.8%＞5%，所以王冠被掺了银子。
（2）用假设法计算掺银质量：
假设6kg全为纯金，在水中应减轻的质量：6×5% = 0.3kg
实际比全纯金多减轻的质量：0.35 - 0.3 = 0.05kg
每千克银比金多减轻的比例：7.5% - 5% = 2.5%
掺银的质量 = 多减轻的质量 ÷ 每千克多减轻的比例 = 0.05 ÷ 2.5% = 2kg
【答案】
（1）王冠被掺了银子；（2）王冠被掺了2千克银子。
【知识点】
百分数的应用、鸡兔同笼问题
【点评】
本题结合实际情境考查百分数的应用与假设法，需理解不同金属在水中减轻比例的含义，通过计算对比和假设推理解决问题，逻辑清晰，是典型的数学应用题。
【难度系数】
0.6
