25. (8分)阅读材料,回答下列问题.
材料:已知多项式$2x^3 - x^2 + m$有一个因式是$2x + 1$,求$m$的值.
解法一:设$2x^3 - x^2 + m = (2x + 1)(x^2 + ax + b)$,
则$2x^3 - x^2 + m = 2x^3 + (2a + 1)x^2 + (a + 2b)x + b$.
比较系数得$\begin{cases}2a + 1 = -1, \\ a + 2b = 0, \\ b = m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = \dfrac{1}{2}, \\ m = \dfrac{1}{2}.\end{cases}$
解法二:设$2x^3 - x^2 + m = A · (2x + 1)$($A$为整式),
由于上式为恒等式,为了方便计算取$x = -\dfrac{1}{2},2 × (-\dfrac{1}{2})^3 - (-\dfrac{1}{2})^2 + m = 0$,故$m = \dfrac{1}{2}$.
(1)已知多项式$x^4 - mx^3 + 2nx - 16$有两个因式分别是$(x - 1)$和$(x - 2)$,求$m$和$n$的值;
(2)已知多项式$x^3 + kx^2 + 3$除以$x + 2$所得的余数比该多项式除以$x + 3$所得的余数少1,求$k$的值.

25. 【点拨】本题考查因式分解的方法、多项式乘法法则、待定系数法.
【解析】(1)设$x^4 - mx^3 + 2nx - 16 = A(x - 1)(x - 2)$,
令$x = 1$,则$1 - m + 2n - 16 = 0$,
令$x = 2$,则$16 - 8m + 4n - 16 = 0$,
即$\begin{cases}m - 2n = -15,\\2m - n = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 5,\\n = 10.\end{cases}$
(2)令$x^3 + kx^2 + 3 = (x + 2)(x^2 + ax + b) + m$,
$x^3 + kx^2 + 3 = (x + 3)(x^2 + cx + d) + n$,
再令$x = -2$,则$-8 + 4k + 3 = m$,
令$x = -3$,则$-27 + 9k + 3 = n$.
$\because$ 多项式$x^3 + kx^2 + 3$除以$x + 2$所得的余数比该多项式除以$x + 3$所得的余数少1,
$\therefore n - m = 1$,$\therefore (9k - 24) - (4k - 5) = 1$,$\therefore k = 4$.

【分析】本题考查待定系数法、因式定理（余数定理）的应用。解题思路：(1) 已知多项式有两个因式，根据因式定理，若$(x - a)$是多项式的因式，则当$x=a$时，多项式的值为0，因此分别令$x=1$和$x=2$代入多项式，得到关于$m$、$n$的方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值；(2) 根据余数定理，多项式除以一次式$(x + a)$的余数等于将$x=-a$代入多项式所得的值，因此分别计算出多项式除以$(x + 2)$和$(x + 3)$的余数，再根据题目中余数的数量关系列出方程，求解得到$k$的值。
【解析】(1) 设多项式$x^4 - mx^3 + 2nx - 16 = A(x - 1)(x - 2)$（$A$为整式），
令$x = 1$，代入得：$1^4 - m·1^3 + 2n·1 - 16 = 0$，整理得：$m - 2n = -15$；
令$x = 2$，代入得：$2^4 - m·2^3 + 2n·2 - 16 = 0$，整理得：$2m - n = 0$；
联立方程组$\begin{cases}m - 2n = -15 \\ 2m - n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 5 \\ n = 10\end{cases}$。
(2) 根据余数定理，多项式除以$(x + 2)$的余数为将$x = -2$代入多项式的值：$(-2)^3 + k·(-2)^2 + 3 = 4k - 5$；
多项式除以$(x + 3)$的余数为将$x = -3$代入多项式的值：$(-3)^3 + k·(-3)^2 + 3 = 9k - 24$；
由题意，除以$(x + 2)$的余数比除以$(x + 3)$的余数少1，故$(9k - 24) - (4k - 5) = 1$，化简得$5k - 19 = 1$，解得$k = 4$。
【答案】$m = 5$，$n = 10$；$k = 4$
【知识点】待定系数法、因式定理、余数定理
【点评】本题通过待定系数法和因式定理（余数定理）解决多项式因式与系数的问题，核心是利用“因式对应根使多项式为0”“多项式除以一次式的余数等于代入根的值”，需要学生掌握定理应用并建立方程求解，属于中等代数综合题。
【难度系数】0.5

26. (8分)如图,在$□ ABCD$中,E,F是对角线BD上的点,且$BE = DF$.连接$AF,CE$,G,H分别是$AF$,$CE$的中点,连接$EG,FH$.
(1)求证:四边形$EHFG$是平行四边形;
(2)若四边形$EHFG$是正方形,$∠ ABD = 30°$,则$\frac{BD}{AB} =$.

26. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,含$30°$角的直角三角形的性质.
【解析】(1)证明:在$□ ABCD$中,$AD = BC$,$AD// BC$.
$\therefore ∠ ADF = ∠ CBE$.$\because BE = DF$,
$\therefore △ CBE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AF = EC$,$∠ AFD = ∠ CEB$,
$\therefore ∠ AFE = ∠ CEF$,
$\therefore AF// EC$.
$\because G,H$分别是$AF,CE$的中点,
$\therefore EH = GF$,
$\therefore$ 四边形$EHFG$是平行四边形.
(2)如图,连接$AE,CF$.
$\because$ 四边形$EHFG$是正方形,
$\therefore ∠ GEF = 45°$,$FG = AG = GE$,
$\therefore ∠ AEG = 45°$,
$\therefore ∠ AEF = 90°$.
设$AE = x$,$x ＞ 0$,则$EF = x$,
$\because ∠ ABD = 30°$,
$\therefore AB = 2x$,$BE = \sqrt{3}x$,
同理得$DF = \sqrt{3}x$,
$\therefore BD = 2\sqrt{3}x + x$,
$\therefore \frac{BD}{AB} = \frac{2\sqrt{3}x + x}{2x} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$.故答案为$\frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$.

【分析】
第(1)问要证明四边形EHFG是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的性质得到边和角的关系，通过SAS证明△CBE与△ADF全等，得到AF=EC且AF//EC，再结合G、H是中点推出GF=EH且GF//EH，依据平行四边形判定定理得证；第(2)问中，由正方形性质得∠GEF=45°，结合G是AF中点推出∠AEF=90°，再利用∠ABD=30°的直角三角形性质设参数表示各边长度，进而计算BD与AB的比值。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△CBE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}BC=AD \\∠CBE=∠ADF \\BE=DF\end{array} $
∴△CBE≌△ADF（SAS），
∴AF=EC，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠CEF，
∴AF//EC，
∵G，H分别是AF，CE的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$AF，EH=$\frac{1}{2}$EC，
∴GF=EH，
又
∵GF//EH，
∴四边形EHFG是平行四边形。
(2)解：连接AE，CF，
∵四边形EHFG是正方形，
∴∠GEF=45°，GF=GE，
∵G是AF中点，
∴AG=GF，
∴AG=GF=GE，
∴∠AEG=∠EAG=45°，
∴∠AEF=∠AEG + ∠GEF=90°，即AE⊥BD，
设AE=x（x＞0），则EF=x，
在Rt△ABE中，∠ABD=30°，∠AEB=90°，
∴AB=2AE=2x，BE=$\sqrt{AB^2 - AE^2}$=$\sqrt{(2x)^2 - x^2}$=$\sqrt{3}x$，
同理可得DF=BE=$\sqrt{3}x$，
∴BD=BE + EF + DF=$\sqrt{3}x + x + \sqrt{3}x$=2$\sqrt{3}x$ + x，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}x + x}{2x}$=$\frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$
【知识点】
平行四边形判定、正方形性质、全等三角形
【点评】
本题是几何综合题，综合考查平行四边形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及含30°角的直角三角形的性质，需要学生具备较强的逻辑推理和图形分析能力，属于中档几何题。
【难度系数】
0.4