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27. (12分)【探索发现】
(1)在$□ ABCD$中,$AC,BD$是对角线. 求证:$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$.
如图1,过点$A,D$分别作$AE ⊥ BC,DF ⊥ BC$,垂足为$E,F$.设$AB=x,BC=y,BE=z$.证明途径可以用下面的框图表示,请补全内容.(用含$x,y,z$的代数式表示)
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$AC^{2}=AE^{2}+EC^{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE^{2}=$①
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中,$BD^{2}=BF^{2}+DF^{2}$
易证$△ ABE ≌ △ DCF$
$\begin{cases} AE=DF, \\ BE=CF \end{cases}$
$AC^{2}=$②
$BD^{2}=$③
$AC^{2}+BD^{2}=$④
【性质运用】
(2)如图2,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的中线.
①若$BC=a,AC=b,AB=c$,求$AD$的长;(用含$a,b,c$的代数式表示)
②若$N$是$BD$的中点,连接$AN$.当$AB=\sqrt{11},AC=AN=\sqrt{7}$时,则$BC=$.
【拓展探究】
(3)如图3,已知点$A$,点$B$和直线$l$.在直线$l$上求作一点$P$,使$PA^{2}+PB^{2}$的值最小.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要说明)
(1)在$□ ABCD$中,$AC,BD$是对角线. 求证:$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$.
如图1,过点$A,D$分别作$AE ⊥ BC,DF ⊥ BC$,垂足为$E,F$.设$AB=x,BC=y,BE=z$.证明途径可以用下面的框图表示,请补全内容.(用含$x,y,z$的代数式表示)
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$AC^{2}=AE^{2}+EC^{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE^{2}=$①
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中,$BD^{2}=BF^{2}+DF^{2}$
易证$△ ABE ≌ △ DCF$
$\begin{cases} AE=DF, \\ BE=CF \end{cases}$
$AC^{2}=$②
$BD^{2}=$③
$AC^{2}+BD^{2}=$④
【性质运用】
(2)如图2,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的中线.
①若$BC=a,AC=b,AB=c$,求$AD$的长;(用含$a,b,c$的代数式表示)
②若$N$是$BD$的中点,连接$AN$.当$AB=\sqrt{11},AC=AN=\sqrt{7}$时,则$BC=$.
【拓展探究】
(3)如图3,已知点$A$,点$B$和直线$l$.在直线$l$上求作一点$P$,使$PA^{2}+PB^{2}$的值最小.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要说明)
答案
27. 【点拨】本题考查平行四边形的性质,勾股定理,尺规作图,垂线段最短.
【解析】(1)①$x^2 - z^2$,②$x^2 + y^2 - 2yz$,③$x^2 + y^2 + 2yz$,④$2x^2 + 2y^2$.
(2)①如图1,过点$A$作$AM⊥ BC$交$BC$于点$M$,
$\therefore AB^2 = BM^2 + AM^2 = (BD + DM)^2 + AM^2$,
$AC^2 = MC^2 + AM^2 = (CD - DM)^2 + AM^2$,
$AD^2 = DM^2 + AM^2$,
$\therefore AB^2 + AC^2 = (BD + DM)^2 + AM^2 + (CD - DM)^2 + AM^2$
$= 2BD^2 + 2DM^2 + 2AM^2$
$= 2BD^2 + 2AD^2$,
$\therefore AD = \sqrt{\frac{AB^2 + AC^2 - 2BD^2}{2}} = \frac{\sqrt{2c^2 + 2b^2 - a^2}}{2}$,
②由①得$\begin{cases}AB^2 + AC^2 = 2BD^2 + 2AD^2,\\AB^2 + AD^2 = 2BN^2 + 2AN^2,\end{cases}$
设$BN = ND = x$,则$BD = CD = 2x$,
$\therefore \begin{cases}11 + 7 = 8x^2 + 2AD^2,\\11 + AD^2 = 2x^2 + 14,\end{cases}$
$\therefore x = 1$(负值舍去),
$\therefore BC = 2BD = 2×2x = 4$.
故答案为4;
(3)如图2,连接$AB$,取$AB$的中点$Q$,过$Q$作$QP⊥ l$,由(2)得$PA^2 + PB^2 = 2AQ^2 + 2PQ^2$.
$\because AB$是定值,故$AB$的一半$AQ$也是定值.根据垂线段最短,可知此时$PQ$最短,故此时$PA^2 + PB^2$的值最小.
解析
【分析】
本题分为三部分：(1)利用勾股定理结合全等三角形，将平行四边形对角线的平方转化为含边长的代数式，化简后验证平行四边形对角线平方和定理；(2)运用中线长公式，通过联立方程求解BC的长度；(3)借助中线长公式将PA²+PB²转化为含垂线段的表达式，利用垂线段最短确定点P的位置，完成尺规作图。
【解析】
(1) ①在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE^2 = AB^2 - BE^2 = x^2 - z^2$；
②在Rt△ACE中，$EC = BC - BE = y - z$，由勾股定理得：$AC^2 = AE^2 + EC^2 = (x^2 - z^2) + (y - z)^2 = x^2 + y^2 - 2yz$；
③由△ABE≌△DCF得$CF = BE = z$，故$BF = BC + CF = y + z$，又$DF = AE$，在Rt△BDF中，$BD^2 = BF^2 + DF^2 = (y + z)^2 + (x^2 - z^2) = x^2 + y^2 + 2yz$；
④将AC²和BD²相加：$AC^2 + BD^2 = (x^2 + y^2 - 2yz) + (x^2 + y^2 + 2yz) = 2x^2 + 2y^2$；
(2) ①过点A作$AM⊥BC$于M，设$BD = DC = \frac{a}{2}$，$DM = m$，由中线长公式推导得：
$AB^2 + AC^2 = 2BD^2 + 2AD^2$，代入化简得$AD = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$；
②设$BN = ND = m$，则$BD = CD = 2m$，BC=4m，由两次中线长公式联立方程：
$\begin{cases}11 +7 = 2AD^2 + 8m^2 \\11 + AD^2 =14 +2m^2 \end{cases}$，解得$m=1$，故$BC=4m=4$；
(3) 作图步骤：①连接AB，用尺规作AB的中点Q；②过点Q作直线l的垂线，垂足为P，即为所求点P，作图痕迹保留；
【答案】
(1) ①$x^2 - z^2$；②$x^2 + y^2 - 2yz$；③$x^2 + y^2 + 2yz$；④$2x^2 + 2y^2$；
(2) ①$AD=\frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$；②$4$；
(3) 作图见参考答案图（）；
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、中线长公式；
【点评】
本题综合考查几何定理的推导与代数转化思想，需熟练掌握平行四边形性质、勾股定理及中线长公式，难度适中，适合中等水平学生解答；
【难度系数】
0.5
本题分为三部分：(1)利用勾股定理结合全等三角形，将平行四边形对角线的平方转化为含边长的代数式，化简后验证平行四边形对角线平方和定理；(2)运用中线长公式，通过联立方程求解BC的长度；(3)借助中线长公式将PA²+PB²转化为含垂线段的表达式，利用垂线段最短确定点P的位置，完成尺规作图。
【解析】
(1) ①在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE^2 = AB^2 - BE^2 = x^2 - z^2$；
②在Rt△ACE中，$EC = BC - BE = y - z$，由勾股定理得：$AC^2 = AE^2 + EC^2 = (x^2 - z^2) + (y - z)^2 = x^2 + y^2 - 2yz$；
③由△ABE≌△DCF得$CF = BE = z$，故$BF = BC + CF = y + z$，又$DF = AE$，在Rt△BDF中，$BD^2 = BF^2 + DF^2 = (y + z)^2 + (x^2 - z^2) = x^2 + y^2 + 2yz$；
④将AC²和BD²相加：$AC^2 + BD^2 = (x^2 + y^2 - 2yz) + (x^2 + y^2 + 2yz) = 2x^2 + 2y^2$；
(2) ①过点A作$AM⊥BC$于M，设$BD = DC = \frac{a}{2}$，$DM = m$，由中线长公式推导得：
$AB^2 + AC^2 = 2BD^2 + 2AD^2$，代入化简得$AD = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$；
②设$BN = ND = m$，则$BD = CD = 2m$，BC=4m，由两次中线长公式联立方程：
$\begin{cases}11 +7 = 2AD^2 + 8m^2 \\11 + AD^2 =14 +2m^2 \end{cases}$，解得$m=1$，故$BC=4m=4$；
(3) 作图步骤：①连接AB，用尺规作AB的中点Q；②过点Q作直线l的垂线，垂足为P，即为所求点P，作图痕迹保留；
【答案】
(1) ①$x^2 - z^2$；②$x^2 + y^2 - 2yz$；③$x^2 + y^2 + 2yz$；④$2x^2 + 2y^2$；
(2) ①$AD=\frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$；②$4$；
(3) 作图见参考答案图（
）；【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、中线长公式；
【点评】
本题综合考查几何定理的推导与代数转化思想，需熟练掌握平行四边形性质、勾股定理及中线长公式，难度适中，适合中等水平学生解答；
【难度系数】
0.5
