1. 2024 年南京市有 67 011 名初中毕业生参加升学考试,为了了解这 67 011 名考生的数学成绩,从中抽取 2 000 名考生的数学成绩进行统计,在这个问题中样本是().

A.67 011 名考生
B.抽取的 2 000 名考生
C.67 011 名考生的数学成绩
D.抽取的 2 000 名考生的数学成绩

1. D 【点拨】本题考查抽样调查、样本的定义.
【解析】在这个问题中样本是抽取的 2 000 名考生的数学成绩.
故选 D.

【分析】要解决这个问题，需先明确抽样调查中样本的定义：样本是从总体中抽取的、用于考察的一部分个体的某项指标，而非个体本身。本题的考察对象是考生的数学成绩，因此需先确定总体为67011名考生的数学成绩，再对应找到样本，进而分析各选项。
【解析】在该问题中，总体是67011名考生的数学成绩，样本是从总体中抽取的2000名考生的数学成绩。选项A是总体的个体总数，选项B是抽取的考生个体（并非考察的成绩），选项C是总体，选项D符合样本的定义，因此选D。
【答案】D
【知识点】样本的定义、抽样调查
【点评】本题考查抽样调查的基础概念，核心是区分考察对象为“成绩”而非“考生”，避免误选B，属于易混淆的基础题。
【难度系数】0.6

2. 与$\sqrt{19}$最接近的整数是().

A.3
B.4
C.5
D.6

2. B 【点拨】本题考查无理数的估算.
【解析】$\because 4=\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{20}＜\sqrt{\dfrac{81}{4}}=\dfrac{9}{2}=4.5$.
$\therefore$ 与 $\sqrt{19}$ 最接近的整数是 4. 故选 B.

【分析】要找到与$\sqrt{19}$最接近的整数，需先确定$\sqrt{19}$的取值范围，通过比较19与相邻整数的平方数，再结合中间整数的平方判断其更靠近的整数即可。
【解析】先计算相邻整数的平方：$4^2=16$，$5^2=25$，因此$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，可得$4＜\sqrt{19}＜5$；再计算中间整数4.5的平方：$4.5^2=(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}=20.25$，可得$\sqrt{19}＜\sqrt{20}＜\sqrt{20.25}=4.5$，即$\sqrt{19}$在4和4.5之间，所以与$\sqrt{19}$最接近的整数是4。
【答案】B
【知识点】无理数的估算
【点评】本题考查无理数的估算，核心是利用平方数的大小关系确定无理数的范围，进而找到最接近的整数，属于基础题型。
【难度系数】0.7

3. 若$ m≠n $且均不为0,则下列化简一定正确的是().

A.$\dfrac{m + 3}{n + 3} = \dfrac{m}{n}$
B.$\dfrac{m - 3}{n - 3} = \dfrac{m}{n}$
C.$\dfrac{m^3}{n^3} = \dfrac{m}{n}$
D.$\dfrac{3m}{3n} = \dfrac{m}{n}$

3. D 【点拨】本题考查分式的基本性质,注意举反例.
【解析】当 $m=2,n=3$ 时,$\dfrac{m + 3}{n + 3}=\dfrac{5}{6},\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{3}$,此时 $\dfrac{m + 3}{n + 3}≠\dfrac{m}{n}$,A
错误;当 $m=2,n=5$ 时,$\dfrac{m - 3}{n - 3}=-\dfrac{1}{2},\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{5}$,此时 $\dfrac{m - 3}{n - 3}≠\dfrac{m}{n}$,
B 错误;当 $m=2,n=3$ 时,$\dfrac{m^3}{n^3}=\dfrac{8}{27},\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{3}$,此时 $\dfrac{m^3}{n^3}≠\dfrac{m}{n}$,C 错
误;$\dfrac{3m}{3n}=\dfrac{m}{n}$,D 正确. 故选 D.

【分析】
要判断各选项的化简是否一定正确，对于“一定正确”的分式变形题，可通过举反例验证错误选项，再结合分式的基本性质分析正确选项。需注意分式的基本性质是：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，变形时是乘除而非加减。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：分子分母同时加3，不符合分式基本性质。举反例：当$m=2,n=3$时，左边$\dfrac{m+3}{n+3}=\dfrac{5}{6}$，右边$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{5}{6}≠\dfrac{2}{3}$，A错误。
B选项：分子分母同时减3，不符合分式基本性质。举反例：当$m=2,n=5$时，左边$\dfrac{m-3}{n-3}=-\dfrac{1}{2}$，右边$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{5}$，$-\dfrac{1}{2}≠\dfrac{2}{5}$，B错误。
C选项：当$m≠n$时，$\dfrac{m^3}{n^3}≠\dfrac{m}{n}$。举反例：当$m=2,n=3$时，左边$\dfrac{m^3}{n^3}=\dfrac{8}{27}$，右边$\dfrac{m}{n}=\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{8}{27}≠\dfrac{2}{3}$，C错误。
D选项：根据分式基本性质，分子分母同时除以不为0的3，$\dfrac{3m}{3n}=\dfrac{m}{n}$，一定正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式化简
【点评】
本题考查分式的基本性质，核心是区分分式变形中“同加减”与“同乘除”的差异，判断“一定正确”的选项常用举反例法，属于基础题，需熟练掌握分式基本性质。
【难度系数】
0.6

4. 分解因式:$a^{3}-9a=(\quad)$.

A.$a(a+3)(a-3)$
B.$a(a^{2}+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^{2}(a-9)$

4. A 【点拨】本题考查分解因式,平方差公式.
【解析】$a^3-9a=a(a^2-9)=a(a+3)(a-3)$. 故选 A.

【分析】要分解因式$a^3 - 9a$，首先观察式子结构，两项都含有公因式$a$，第一步先提取公因式；提取后得到的$a^2 - 9$符合平方差公式的形式，再用平方差公式继续分解，最终得到结果，对应选项A。
【解析】对$a^3 - 9a$分解因式：
1. 提取公因式：原式$= a(a^2 - 9)$；
2. 利用平方差公式分解：$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a + 3)(a - 3)$；
3. 合并结果：$a^3 - 9a = a(a + 3)(a - 3)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】本题考查因式分解的基础方法，需先提取公因式，再运用平方差公式分解，是因式分解的常规题型，侧重对基本方法的掌握。
【难度系数】0.8

5. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,下列条件中,不能判断这个平行四边形是菱形的是().

A.$∠ BAC = ∠ ABD$
B.$AB = AD$
C.$∠ BAC = ∠ DAC$
D.$AC ⊥ BD$

5. A 【点拨】本题考查菱形的判定.
【解析】在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,
由$∠ BAC = ∠ ABD$,可知$OA = OB$,$\therefore AC = BD$,
$\therefore □ ABCD$ 是矩形,不一定是菱形,A 符合题意;
在$□ ABCD$中,$AB = AD$,$\therefore □ ABCD$ 是菱形,B 不符合题意;
在$□ ABCD$中,$∠ BAC = ∠ DAC$,$\therefore$ 对角线平分一组对角,
$\therefore □ ABCD$ 是菱形,C 不符合题意;在$□ ABCD$中,$AC ⊥ BD$,
$\therefore □ ABCD$ 是菱形,D 不符合题意. 故选 A.

【分析】本题要求在平行四边形$ABCD$中，找出不能判定其为菱形的条件，需结合平行四边形的性质和菱形的判定定理，逐个分析选项：首先回忆菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。同时，平行四边形的对角线互相平分，据此逐一判断各选项。
【解析】在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，根据平行四边形性质，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
选项A：若$∠ BAC = ∠ ABD$，在$△ OAB$中，等角对等边得$OA=OB$，故$AC=BD$，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，符合题意；
选项B：若$AB = AD$，平行四边形中一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$ABCD$是菱形，不符合题意；
选项C：若$∠ BAC = ∠ DAC$，因为平行四边形中$AD// BC$，所以$∠ DAC = ∠ BCA$，故$∠ BAC = ∠ BCA$，得$AB=BC$，即平行四边形一组邻边相等，可判定为菱形，不符合题意；
选项D：若$AC ⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定$ABCD$是菱形，不符合题意。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】菱形的判定、平行四边形的性质
【点评】本题考查菱形的判定，需熟练掌握平行四边形与菱形的判定定理，区分对角线相等（判定矩形）和对角线垂直（判定菱形）的不同判定条件，属于基础题型。
【难度系数】0.6

6. 如图,显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果,下面有三个推断:
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟此试验,则当投掷次数为1 000时,“钉尖向上”的频率一定是0.620.其中合理的是().

A.①
B.②
C.①②
D.①③

6. B 【点拨】本题考查频率与概率的关系,用频率估计概率.
【解析】①当投掷次数是 500 时,计算机记录“钉尖向上”的次数是 308,所以“钉尖向上”的频率是 0.616,故①错误;②随着试验
次数的增加,“钉尖向上”的频率在 0.618 附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618,由频率估计概
率可知②正确;③若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为 1 000 时,“钉尖向上”的频率不一定是 0.620,故③错误;其中合
理的是②. 故选 B.

【分析】要判断三个推断是否合理，需明确：频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，具有随机性，随试验次数变化；概率是频率稳定到的常数，是客观存在的，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值。据此逐一分析每个推断。
【解析】
1. 分析推断①：当投掷次数为500时，“钉尖向上”的频率为$\frac{308}{500}=0.616$，这是该次试验的频率，并非概率，概率是频率稳定后的数值，故①错误；
2. 分析推断②：随着试验次数增加，“钉尖向上”的频率在0.618附近摆动，呈现稳定性，根据频率估计概率的方法，可估计其概率为0.618，故②正确；
3. 分析推断③：频率具有随机性，再次试验时，投掷1000次的“钉尖向上”频率不一定是0.620，故③错误；
综上，合理的只有②，故选B。
【答案】B
【知识点】频率与概率的关系、用频率估计概率
【点评】本题考查频率与概率的核心区别，需理解频率是随机的，概率是稳定的，大量重复试验时频率趋近于概率，是基础概念题，需准确把握两者的联系与差异。
【难度系数】0.6