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22. (7分)某项工程,乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍.现由甲、乙两队合作10天后,余下的工程由乙队单独来做,还需6天完工.求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?
答案
22. 【点拨】本题考查分式方程的应用.
【解析】设甲队单独完成此项工程需$x$天,则乙队单独完成此项工程需$2x$天.
根据题意,得$\frac{10}{x} + \frac{10 + 6}{2x} = 1$,
解得$x = 18$.
经检验,$x = 18$是原分式方程的解,且符合题意,$\therefore 2x = 36$.
答:甲队单独完成此项工程需18天,乙队单独完成此项工程需36天.
【解析】设甲队单独完成此项工程需$x$天,则乙队单独完成此项工程需$2x$天.
根据题意,得$\frac{10}{x} + \frac{10 + 6}{2x} = 1$,
解得$x = 18$.
经检验,$x = 18$是原分式方程的解,且符合题意,$\therefore 2x = 36$.
答:甲队单独完成此项工程需18天,乙队单独完成此项工程需36天.
解析
【分析】这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：1. 将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷单独完成时间；2. 根据“乙队单独完成的天数是甲队的2倍”设未知数，设甲单独完成需$x$天，则乙需$2x$天，对应效率分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{2x}$；3. 找准等量关系：甲、乙合作10天的工作量 + 乙单独做6天的工作量 = 总工作量1，据此列分式方程；4. 解方程后需检验解是否符合实际意义，最终作答。
【解析】设甲队单独完成此项工程需$x$天，则乙队单独完成此项工程需$2x$天。
根据题意，甲、乙合作10天的工作量为$\frac{10}{x} + \frac{10}{2x}$，乙单独做6天的工作量为$\frac{6}{2x}$，总工作量为1，因此列方程：
$\frac{10}{x} + \frac{10 + 6}{2x} = 1$
化简得：$\frac{10}{x} + \frac{8}{x} = 1$，即$\frac{18}{x}=1$，解得$x=18$。
经检验，$x=18$是原分式方程的解，且符合题意，所以乙队单独完成的天数为$2x=2×18=36$天。
答：甲队单独完成此项工程需18天，乙队单独完成此项工程需36天。
【答案】甲队单独完成此项工程需18天，乙队单独完成此项工程需36天。
【知识点】分式方程的应用，工程问题
【点评】本题为典型的工程问题分式方程应用题，核心是利用“工作量=效率×时间”建立等量关系，需注意分式方程求解后要检验解的合理性，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设甲队单独完成此项工程需$x$天，则乙队单独完成此项工程需$2x$天。
根据题意，甲、乙合作10天的工作量为$\frac{10}{x} + \frac{10}{2x}$，乙单独做6天的工作量为$\frac{6}{2x}$，总工作量为1，因此列方程：
$\frac{10}{x} + \frac{10 + 6}{2x} = 1$
化简得：$\frac{10}{x} + \frac{8}{x} = 1$，即$\frac{18}{x}=1$，解得$x=18$。
经检验，$x=18$是原分式方程的解，且符合题意，所以乙队单独完成的天数为$2x=2×18=36$天。
答：甲队单独完成此项工程需18天，乙队单独完成此项工程需36天。
【答案】甲队单独完成此项工程需18天，乙队单独完成此项工程需36天。
【知识点】分式方程的应用，工程问题
【点评】本题为典型的工程问题分式方程应用题，核心是利用“工作量=效率×时间”建立等量关系，需注意分式方程求解后要检验解的合理性，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
23. (8分)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是边AB,CD上的点,且$BE = DF$,连接AF,BF,CE,DE. AF,DE交于点G,BF,CE交于点H.
(1)求证:四边形$GEHF$是平行四边形;
(2)若四边形$ABCD$是矩形,$AB = 4$,$BC = 3$,E是AB的中点,则四边形$GEHF$的周长是________.
(1)求证:四边形$GEHF$是平行四边形;
(2)若四边形$ABCD$是矩形,$AB = 4$,$BC = 3$,E是AB的中点,则四边形$GEHF$的周长是________.
答案
23. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质,菱形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB = CD$.又$\because BE = DF$,$\therefore AB - BE = CD - DF$,$\therefore AE = CF$.又$\because AE// CF$,$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形,同理四边形$BEDF$是平行四边形.$\therefore AF// CE$,$ED// BF$,$\therefore$ 四边形$GEHF$是平行四边形.
(2)$\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4 = 2$,$\because$ 四边形$BEDF$是平行四边形,四边形$AECF$是平行四边形,
$\therefore AE = CF$,$BE = DF$,$\therefore BE = CF = AE = DF$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ABF = ∠ CFB$,$∠ BEC = ∠ ECF$,
$\therefore △ BEH≌△ FCH(\mathrm{ASA})$,
$\therefore EH = HC$,$BH = HF$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠ ABC = 90°$,
$\therefore BH = EH = HC$,$EC = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$,
$\therefore EH = HF = \frac{1}{2}EC = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
$\because$ 四边形$GEHF$是平行四边形,
$\therefore$ 四边形$GEHF$是菱形,$\therefore EH = HF = GF = EG = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
$\therefore$ 四边形$GEHF$的周长为$4EH = 4×\frac{\sqrt{13}}{2} = 2\sqrt{13}$.
故答案为$2\sqrt{13}$.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB = CD$.又$\because BE = DF$,$\therefore AB - BE = CD - DF$,$\therefore AE = CF$.又$\because AE// CF$,$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形,同理四边形$BEDF$是平行四边形.$\therefore AF// CE$,$ED// BF$,$\therefore$ 四边形$GEHF$是平行四边形.
(2)$\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4 = 2$,$\because$ 四边形$BEDF$是平行四边形,四边形$AECF$是平行四边形,
$\therefore AE = CF$,$BE = DF$,$\therefore BE = CF = AE = DF$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ABF = ∠ CFB$,$∠ BEC = ∠ ECF$,
$\therefore △ BEH≌△ FCH(\mathrm{ASA})$,
$\therefore EH = HC$,$BH = HF$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠ ABC = 90°$,
$\therefore BH = EH = HC$,$EC = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$,
$\therefore EH = HF = \frac{1}{2}EC = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
$\because$ 四边形$GEHF$是平行四边形,
$\therefore$ 四边形$GEHF$是菱形,$\therefore EH = HF = GF = EG = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
$\therefore$ 四边形$GEHF$的周长为$4EH = 4×\frac{\sqrt{13}}{2} = 2\sqrt{13}$.
故答案为$2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
第(1)问：要证明四边形GEHF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，结合BE=DF推导两组对边分别平行。因为ABCD是平行四边形，AB//CD且AB=CD，由BE=DF可得AE=CF，进而证明四边形AECF和BEDF都是平行四边形，得到AF//CE、ED//BF，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证。
第(2)问：在矩形ABCD中，先由E是AB中点算出BE长度，用勾股定理求EC的长；结合第(1)问结论，通过ASA证明△BEH≌△FCH，得到H是EC中点，同理得G是AF中点；再利用矩形中直角三角形斜边中线的性质，得出平行四边形GEHF的邻边相等，判定其为菱形，最后计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
又
∵BE=DF，
∴AB - BE = CD - DF，即AE=CF。
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，同理可得四边形BEDF是平行四边形。
∴AF//CE，ED//BF，即GF//EH，GE//FH，
∴四边形GEHF是平行四边形。
(2) 解：
∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=½AB=2。
∵四边形BEDF是平行四边形，四边形AECF是平行四边形，
∴BE=DF，AE=CF，结合BE=DF得BE=CF=AE=DF。
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠CFB，∠BEC=∠ECF。
在△BEH和△FCH中，
∠ABF=∠CFB，
BE=CF，
∠BEC=∠ECF，
∴△BEH≌△FCH（ASA），
∴EH=HC，BH=HF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即△EBC为直角三角形，
∴EC=√(BC² + BE²)=√(3² + 2²)=√13，
∴EH=½EC=√13/2。
∵四边形GEHF是平行四边形，
又
∵矩形中直角三角形斜边中线等于斜边一半，得BH=EH，故平行四边形GEHF的邻边EH=HF，即GEHF是菱形，
∴四边形GEHF的周长=4×EH=4×(√13/2)=2√13。
【答案】
2√13
【知识点】
平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定，以及全等三角形、勾股定理的应用，第(1)问侧重基础判定，第(2)问需结合矩形性质推导菱形，对学生的逻辑推理能力有一定要求，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证明四边形GEHF是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，结合BE=DF推导两组对边分别平行。因为ABCD是平行四边形，AB//CD且AB=CD，由BE=DF可得AE=CF，进而证明四边形AECF和BEDF都是平行四边形，得到AF//CE、ED//BF，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得证。
第(2)问：在矩形ABCD中，先由E是AB中点算出BE长度，用勾股定理求EC的长；结合第(1)问结论，通过ASA证明△BEH≌△FCH，得到H是EC中点，同理得G是AF中点；再利用矩形中直角三角形斜边中线的性质，得出平行四边形GEHF的邻边相等，判定其为菱形，最后计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
又
∵BE=DF，
∴AB - BE = CD - DF，即AE=CF。
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，同理可得四边形BEDF是平行四边形。
∴AF//CE，ED//BF，即GF//EH，GE//FH，
∴四边形GEHF是平行四边形。
(2) 解：
∵E是AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=½AB=2。
∵四边形BEDF是平行四边形，四边形AECF是平行四边形，
∴BE=DF，AE=CF，结合BE=DF得BE=CF=AE=DF。
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠CFB，∠BEC=∠ECF。
在△BEH和△FCH中，
∠ABF=∠CFB，
BE=CF，
∠BEC=∠ECF，
∴△BEH≌△FCH（ASA），
∴EH=HC，BH=HF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即△EBC为直角三角形，
∴EC=√(BC² + BE²)=√(3² + 2²)=√13，
∴EH=½EC=√13/2。
∵四边形GEHF是平行四边形，
又
∵矩形中直角三角形斜边中线等于斜边一半，得BH=EH，故平行四边形GEHF的邻边EH=HF，即GEHF是菱形，
∴四边形GEHF的周长=4×EH=4×(√13/2)=2√13。
【答案】
2√13
【知识点】
平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定，以及全等三角形、勾股定理的应用，第(1)问侧重基础判定，第(2)问需结合矩形性质推导菱形，对学生的逻辑推理能力有一定要求，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
24. (7 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0 $（$ k $ 为常数）.
(1)求证:不论 $ k $ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根为 3,求 $ k $ 的值和方程的另一个根.
(1)求证:不论 $ k $ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根为 3,求 $ k $ 的值和方程的另一个根.
答案
24. 【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式,一元二次方程根与系数的关系.
【解析】(1)证明:$b^2 - 4ac = [-(k + 2)]^2 - 4(2k - 1)$
$= k^2 + 4k + 4 - 8k + 4$
$= k^2 - 4k + 4 + 4$
$= (k - 2)^2 + 4$.
$\because b^2 - 4ac ＞ 0$,
$\therefore$ 不论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$ 方程的一个根为$x_1 = 3$,设另一个根为$x_2$,
$\therefore 9 - 3(k + 2) + 2k - 1 = 0$,
解得$k = 2$,
$\therefore$ 原方程化为$x^2 - 4x + 3 = 0$,
$\therefore x_2 = 1$,
$\therefore k = 2$,另一个根$x_2 = 1$.
【解析】(1)证明:$b^2 - 4ac = [-(k + 2)]^2 - 4(2k - 1)$
$= k^2 + 4k + 4 - 8k + 4$
$= k^2 - 4k + 4 + 4$
$= (k - 2)^2 + 4$.
$\because b^2 - 4ac ＞ 0$,
$\therefore$ 不论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$ 方程的一个根为$x_1 = 3$,设另一个根为$x_2$,
$\therefore 9 - 3(k + 2) + 2k - 1 = 0$,
解得$k = 2$,
$\therefore$ 原方程化为$x^2 - 4x + 3 = 0$,
$\therefore x_2 = 1$,
$\therefore k = 2$,另一个根$x_2 = 1$.
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：(1) 对于一元二次方程，判断根的情况需计算判别式Δ，若Δ＞0则总有两个不相等的实数根，需将Δ化简后证明其恒大于0；(2) 已知方程的一个根，将该根代入方程可求出参数k，再通过解方程求出另一个根。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k-1$，则：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(k+2)]^2 - 4×1×(2k - 1)\\&=k^2 + 4k + 4 - 8k + 4\\&=k^2 - 4k + 8\\&=(k - 2)^2 + 4\end{aligned}$
因为$(k - 2)^2≥0$，所以$(k - 2)^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，因此不论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 把$x=3$代入方程$x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$，得：
$9 - 3(k + 2) + 2k - 1 = 0$
化简计算：$9 - 3k -6 +2k -1 =0 \implies 2 -k=0 \implies k=2$。
将$k=2$代入原方程，得$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=1$，故方程的另一个根为1。
【答案】$k=2$，方程的另一个根为1；(1)证明成立。
【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，考查根的判别式应用和方程根的求解，步骤清晰，需掌握判别式计算与方程根的代入方法。
【难度系数】0.6
要解决本题，分两步思考：(1) 对于一元二次方程，判断根的情况需计算判别式Δ，若Δ＞0则总有两个不相等的实数根，需将Δ化简后证明其恒大于0；(2) 已知方程的一个根，将该根代入方程可求出参数k，再通过解方程求出另一个根。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k-1$，则：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(k+2)]^2 - 4×1×(2k - 1)\\&=k^2 + 4k + 4 - 8k + 4\\&=k^2 - 4k + 8\\&=(k - 2)^2 + 4\end{aligned}$
因为$(k - 2)^2≥0$，所以$(k - 2)^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，因此不论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 把$x=3$代入方程$x^2 - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$，得：
$9 - 3(k + 2) + 2k - 1 = 0$
化简计算：$9 - 3k -6 +2k -1 =0 \implies 2 -k=0 \implies k=2$。
将$k=2$代入原方程，得$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=1$，故方程的另一个根为1。
【答案】$k=2$，方程的另一个根为1；(1)证明成立。
【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，考查根的判别式应用和方程根的求解，步骤清晰，需掌握判别式计算与方程根的代入方法。
【难度系数】0.6
