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18. (8分)解分式方程.
(1)$\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x};$
(2)$\frac{1}{x-3}+2=\frac{x-5}{6-2x}.$
(1)$\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x};$
(2)$\frac{1}{x-3}+2=\frac{x-5}{6-2x}.$
答案
18. 【点拨】本题考查解分式方程.
【解析】(1)$\frac{1}{x + 2}=\frac{2}{x}$,
方程两边同乘$x(x + 2)$,得$x = 2(x + 2)$,
解得$x = -4$.
检验:当$x = -4$时,$x(x + 2) = 8≠0$,
$\therefore x = -4$是原分式方程的解.
(2)$\frac{1}{x - 3} + 2 = \frac{x - 5}{6 - 2x}$,
方程两边同乘$2(x - 3)$,得$2 + 4(x - 3) = -(x - 5)$,
解得$x = 3$.
检验:当$x = 3$时,$2(x - 3) = 0$,
$\therefore x = 3$是增根,原分式方程无解.
【解析】(1)$\frac{1}{x + 2}=\frac{2}{x}$,
方程两边同乘$x(x + 2)$,得$x = 2(x + 2)$,
解得$x = -4$.
检验:当$x = -4$时,$x(x + 2) = 8≠0$,
$\therefore x = -4$是原分式方程的解.
(2)$\frac{1}{x - 3} + 2 = \frac{x - 5}{6 - 2x}$,
方程两边同乘$2(x - 3)$,得$2 + 4(x - 3) = -(x - 5)$,
解得$x = 3$.
检验:当$x = 3$时,$2(x - 3) = 0$,
$\therefore x = 3$是增根,原分式方程无解.
解析
【分析】解分式方程需运用转化思想，先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须代入最简公分母检验，判断解是否为增根，以此确定原方程的解或无解。第(1)题最简公分母为$x(x+2)$，去分母后解整式方程再检验；第(2)题先将右边分母变形为$-2(x-3)$，找到最简公分母$2(x-3)$，去分母求解后检验，注意增根的判断。
【解析】(1)$\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x}$，
方程两边同乘$x(x+2)$，得$x = 2(x + 2)$，
解得$x = -4$。
检验：当$x = -4$时，$x(x + 2) = 8≠0$，
$\therefore x = -4$是原分式方程的解。
(2)$\frac{1}{x-3} + 2 = \frac{x-5}{6-2x}$，
先将右边分母变形为$-2(x-3)$，方程两边同乘$2(x - 3)$，得$2 + 4(x - 3) = -(x - 5)$，
解得$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$2(x - 3) = 0$，
$\therefore x = 3$是增根，原分式方程无解。
【答案】(1)$x=-4$；(2)无解
【知识点】解分式方程、分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程的解法，核心是去分母转化为整式方程，且必须检验解是否为增根，是分式方程的基础题型，需掌握转化思想和检验步骤。
【难度系数】0.6
【解析】(1)$\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x}$，
方程两边同乘$x(x+2)$，得$x = 2(x + 2)$，
解得$x = -4$。
检验：当$x = -4$时，$x(x + 2) = 8≠0$，
$\therefore x = -4$是原分式方程的解。
(2)$\frac{1}{x-3} + 2 = \frac{x-5}{6-2x}$，
先将右边分母变形为$-2(x-3)$，方程两边同乘$2(x - 3)$，得$2 + 4(x - 3) = -(x - 5)$，
解得$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$2(x - 3) = 0$，
$\therefore x = 3$是增根，原分式方程无解。
【答案】(1)$x=-4$；(2)无解
【知识点】解分式方程、分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程的解法，核心是去分母转化为整式方程，且必须检验解是否为增根，是分式方程的基础题型，需掌握转化思想和检验步骤。
【难度系数】0.6
19. (8分)解一元二次方程.
(1)$x^2 - 6x + 3 = 0$;
(2)$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9$.
(1)$x^2 - 6x + 3 = 0$;
(2)$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9$.
答案
19. 【点拨】本题考查解一元二次方程.
【解析】(1)$x^2 - 6x + 3 = 0$.
移项,得$x^2 - 6x = -3$,
配方,得$x^2 - 6x + 3^2 = -3 + 3^2$,
$(x - 3)^2 = 6$,
开方,得$x - 3 = \pm\sqrt{6}$.
解得$x_1 = 3 - \sqrt{6}$,$x_2 = 3 + \sqrt{6}$.
(2)$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9$
$(2x - 1)^2 = (x + 3)^2$
$2x - 1 = \pm(x + 3)$,
得$2x - 1 = x + 3$或$2x - 1 = -(x + 3)$,
解得$x_1 = 4$,$x_2 = -\frac{2}{3}$.
【解析】(1)$x^2 - 6x + 3 = 0$.
移项,得$x^2 - 6x = -3$,
配方,得$x^2 - 6x + 3^2 = -3 + 3^2$,
$(x - 3)^2 = 6$,
开方,得$x - 3 = \pm\sqrt{6}$.
解得$x_1 = 3 - \sqrt{6}$,$x_2 = 3 + \sqrt{6}$.
(2)$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9$
$(2x - 1)^2 = (x + 3)^2$
$2x - 1 = \pm(x + 3)$,
得$2x - 1 = x + 3$或$2x - 1 = -(x + 3)$,
解得$x_1 = 4$,$x_2 = -\frac{2}{3}$.
解析
【分析】解一元二次方程需根据方程特点选择合适方法：第(1)题二次项系数为1、一次项系数为偶数，适合用配方法，通过移项、配方转化为完全平方形式后开方求解；第(2)题两边均为完全平方形式，可直接用直接开平方法转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】(1)$x^2 - 6x + 3 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = -3$，
配方，得$x^2 - 6x + 3^2 = -3 + 3^2$，
即$(x - 3)^2 = 6$，
开方，得$x - 3 = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1 = 3 - \sqrt{6}$，$x_2 = 3 + \sqrt{6}$。
(2)$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9$
将方程左边因式分解为$(2x - 1)^2$，右边因式分解为$(x + 3)^2$，得$(2x - 1)^2 = (x + 3)^2$，
开方，得$2x - 1 = \pm(x + 3)$，
分两种情况：
①当$2x - 1 = x + 3$时，解得$x = 4$；
②当$2x - 1 = -(x + 3)$时，即$2x - 1 = -x - 3$，移项合并得$3x = -2$，解得$x = -\frac{2}{3}$。
【答案】(1)$x_1 = 3 - \sqrt{6}$，$x_2 = 3 + \sqrt{6}$；(2)$x_1 = 4$，$x_2 = -\frac{2}{3}$
【知识点】解一元二次方程、配方法、直接开平方法
【点评】本题为一元二次方程基础求解题，分别运用配方法和直接开平方法，步骤规范，考察学生对一元二次方程基本解法的掌握，属于常规题型。
【难度系数】0.7
【解析】(1)$x^2 - 6x + 3 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = -3$，
配方，得$x^2 - 6x + 3^2 = -3 + 3^2$，
即$(x - 3)^2 = 6$，
开方，得$x - 3 = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1 = 3 - \sqrt{6}$，$x_2 = 3 + \sqrt{6}$。
(2)$4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9$
将方程左边因式分解为$(2x - 1)^2$，右边因式分解为$(x + 3)^2$，得$(2x - 1)^2 = (x + 3)^2$，
开方，得$2x - 1 = \pm(x + 3)$，
分两种情况：
①当$2x - 1 = x + 3$时，解得$x = 4$；
②当$2x - 1 = -(x + 3)$时，即$2x - 1 = -x - 3$，移项合并得$3x = -2$，解得$x = -\frac{2}{3}$。
【答案】(1)$x_1 = 3 - \sqrt{6}$，$x_2 = 3 + \sqrt{6}$；(2)$x_1 = 4$，$x_2 = -\frac{2}{3}$
【知识点】解一元二次方程、配方法、直接开平方法
【点评】本题为一元二次方程基础求解题，分别运用配方法和直接开平方法，步骤规范，考察学生对一元二次方程基本解法的掌握，属于常规题型。
【难度系数】0.7
20. (6 分)先化简,再求值:$\dfrac{x-2}{x-1}÷(x+1-\dfrac{3}{x-1})$,其中 $x=\sqrt{2}-2$.
答案
20. 【点拨】本题考查分式通分、分式运算及化简求值.
【解析】$\frac{x - 2}{x - 1}÷(x + 1 - \frac{3}{x - 1})$
$= \frac{x - 2}{x - 1}÷\frac{(x + 1)(x - 1) - 3}{x - 1}$
$= \frac{x - 2}{x - 1}·\frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}$
$= \frac{1}{x + 2}$,
当$x = \sqrt{2} - 2$时,原式$= \frac{1}{\sqrt{2} - 2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
【解析】$\frac{x - 2}{x - 1}÷(x + 1 - \frac{3}{x - 1})$
$= \frac{x - 2}{x - 1}÷\frac{(x + 1)(x - 1) - 3}{x - 1}$
$= \frac{x - 2}{x - 1}·\frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}$
$= \frac{1}{x + 2}$,
当$x = \sqrt{2} - 2$时,原式$= \frac{1}{\sqrt{2} - 2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对括号内的异分母分式进行通分计算，将除法转化为乘法后，通过因式分解和约分简化式子，最后代入给定的$x$值计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{x - 2}{x - 1}÷(x + 1 - \frac{3}{x - 1})\\=&\frac{x - 2}{x - 1}÷(\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} - \frac{3}{x - 1})\\=&\frac{x - 2}{x - 1}÷\frac{x^2 - 1 - 3}{x - 1}\\=&\frac{x - 2}{x - 1}÷\frac{x^2 - 4}{x - 1}\\=&\frac{x - 2}{x - 1}·\frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}\\=&\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
当$x = \sqrt{2} - 2$时，原式$=\frac{1}{\sqrt{2} - 2 + 2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算、分式化简求值
【点评】
本题考查分式的通分、因式分解及混合运算，属于分式化简求值的基础题型，关键是正确处理括号内的异分母分式减法，熟练运用因式分解和约分简化式子，最后代入求值时需注意分母有理化。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对括号内的异分母分式进行通分计算，将除法转化为乘法后，通过因式分解和约分简化式子，最后代入给定的$x$值计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{x - 2}{x - 1}÷(x + 1 - \frac{3}{x - 1})\\=&\frac{x - 2}{x - 1}÷(\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} - \frac{3}{x - 1})\\=&\frac{x - 2}{x - 1}÷\frac{x^2 - 1 - 3}{x - 1}\\=&\frac{x - 2}{x - 1}÷\frac{x^2 - 4}{x - 1}\\=&\frac{x - 2}{x - 1}·\frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}\\=&\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
当$x = \sqrt{2} - 2$时，原式$=\frac{1}{\sqrt{2} - 2 + 2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算、分式化简求值
【点评】
本题考查分式的通分、因式分解及混合运算，属于分式化简求值的基础题型，关键是正确处理括号内的异分母分式减法，熟练运用因式分解和约分简化式子，最后代入求值时需注意分母有理化。
【难度系数】
0.7
21. (8分)学校计划在八年级开设以下四门校本课程:A无人机、B创客、C人工智能、D航模.为了解学生对这四门课程的选择情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)本次抽样调查的学生人数为
(2)在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是
(3)若该校八年级一共有560名学生,估计选择“创客”课程的学生有多少名?
根据以上信息,解决下列问题:
(1)本次抽样调查的学生人数为
40
名,并补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是
144
°;(3)若该校八年级一共有560名学生,估计选择“创客”课程的学生有多少名?
答案
21. 【点拨】本题考查条形统计图与扇形统计图的应用,读图能力和用样本估计总体.
【解析】(1)本次抽样调查的学生人数为$12÷30\% = 40$(名),
$\therefore$ C组的人数为$40 - (12 + 8 + 4) = 16$(名).
补全条形统计图如图:
故答案为40.
(2)在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是$360°×\frac{16}{40} = 144°$.
故答案为144.
(3)$560×\frac{8}{40} = 112$(名).
答:估计选择“创客”课程的学生有112名.
解析
【分析】
本题需结合条形统计图和扇形统计图的信息解题：第(1)问，已知A课程的人数及占比，用“部分量÷对应百分比”可求出抽样总人数，再通过总人数减去A、B、D的人数得到C的人数，进而补全条形图；第(2)问，扇形圆心角为360°乘以对应部分占总人数的比例；第(3)问，利用样本中B课程的比例，乘以总体人数估计总体中选择B课程的人数。
【解析】
(1) 由条形图得A课程有12名学生，扇形图中A占30%，则抽样总人数为：$12÷30\% = 40$（名）；
C课程的人数为：$40 - 12 - 8 - 4 = 16$（名），据此补全条形统计图（C对应的条形高度为16）。
(2) “人工智能”对应C课程，其人数占总人数的比例为$\frac{16}{40}$，则对应的扇形圆心角度数为：$360°×\frac{16}{40}=144°$。
(3) 样本中选择“创客”（B课程）的比例为$\frac{8}{40}$，该校八年级共560名学生，估计选择“创客”课程的学生数为：$560×\frac{8}{40}=112$（名）。
【答案】
40；144；估计选择“创客”课程的学生有112名。（补全条形统计图：C对应的条形高度为16，如题目中第21题图的第二个条形图）
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题是统计图表的综合应用题，核心是利用统计图表的数据分析部分与总体的关系，考查学生的读图能力和基础统计计算能力，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.5
本题需结合条形统计图和扇形统计图的信息解题：第(1)问，已知A课程的人数及占比，用“部分量÷对应百分比”可求出抽样总人数，再通过总人数减去A、B、D的人数得到C的人数，进而补全条形图；第(2)问，扇形圆心角为360°乘以对应部分占总人数的比例；第(3)问，利用样本中B课程的比例，乘以总体人数估计总体中选择B课程的人数。
【解析】
(1) 由条形图得A课程有12名学生，扇形图中A占30%，则抽样总人数为：$12÷30\% = 40$（名）；
C课程的人数为：$40 - 12 - 8 - 4 = 16$（名），据此补全条形统计图（C对应的条形高度为16）。
(2) “人工智能”对应C课程，其人数占总人数的比例为$\frac{16}{40}$，则对应的扇形圆心角度数为：$360°×\frac{16}{40}=144°$。
(3) 样本中选择“创客”（B课程）的比例为$\frac{8}{40}$，该校八年级共560名学生，估计选择“创客”课程的学生数为：$560×\frac{8}{40}=112$（名）。
【答案】
40；144；估计选择“创客”课程的学生有112名。（补全条形统计图：C对应的条形高度为16，如题目中第21题图的第二个条形图）
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题是统计图表的综合应用题，核心是利用统计图表的数据分析部分与总体的关系，考查学生的读图能力和基础统计计算能力，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.5
