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9. 柑橘在运输、存储中会有损坏,现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘,进行“柑橘损坏率”统计,并把获得的数据记录如下:
估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为
估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为
0.1
.(精确到0.1)答案
9. 0.1 【点拨】本题考查用频率估计概率.
【解析】观察表格中数据发现,随着抽检柑橘总质量的增大,“柑橘损坏率”逐渐稳定在0.1附近,估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为0.1.故答案为0.1.
【解析】观察表格中数据发现,随着抽检柑橘总质量的增大,“柑橘损坏率”逐渐稳定在0.1附近,估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为0.1.故答案为0.1.
解析
【分析】要估计这批柑橘损坏的概率，需依据概率的统计定义：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件概率的估计值。观察表格中不同总质量对应的损坏频率，随着抽取柑橘总质量的增大，损坏频率逐渐稳定在0.1附近，据此可估计损坏概率。
【解析】根据用频率估计概率的方法，当试验次数（此处为抽取柑橘的总质量）足够大时，事件发生的频率会稳定在某一常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。观察表格数据，随着总质量n增加，损坏柑橘的频率在0.1附近波动，因此估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为0.1。
【答案】0.1
【知识点】用频率估计概率
【点评】本题考查用频率估计概率的知识点，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】根据用频率估计概率的方法，当试验次数（此处为抽取柑橘的总质量）足够大时，事件发生的频率会稳定在某一常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。观察表格数据，随着总质量n增加，损坏柑橘的频率在0.1附近波动，因此估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为0.1。
【答案】0.1
【知识点】用频率估计概率
【点评】本题考查用频率估计概率的知识点，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3
10. 比较大小：$\sqrt{5}\_\_\_\_\_\_\sqrt{2} + 1$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
10. ＜ 【点拨】本题考查平方法比较无理数的大小.
【解析】$(\sqrt{5})^2 = 5 = 3 + 2$,$(\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2}$,又$\because 3 + 2 ＜ 3 + 2\sqrt{2}$,$\therefore \sqrt{5} ＜ \sqrt{2} + 1$.故答案为＜.
【解析】$(\sqrt{5})^2 = 5 = 3 + 2$,$(\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2}$,又$\because 3 + 2 ＜ 3 + 2\sqrt{2}$,$\therefore \sqrt{5} ＜ \sqrt{2} + 1$.故答案为＜.
解析
【分析】
要比较两个正数的无理数大小，可采用平方法：对于正数a和b，若a²＞b²，则a＞b；若a²＜b²，则a＜b；若a²=b²，则a=b。因此先分别计算$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}+1$的平方，再比较平方的大小即可得出结果。
【解析】
因为$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}+1$都是正数，所以计算它们的平方：
$(\sqrt{5})^2 = 5$；
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$；
比较平方的大小：因为$2\sqrt{2}≈2.828$，所以$3 + 2\sqrt{2}≈5.828$，显然$5＜3 + 2\sqrt{2}$，即$(\sqrt{5})^2＜(\sqrt{2}+1)^2$；
根据正数的平方性质，可得$\sqrt{5}＜\sqrt{2}+1$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的大小比较、平方法比较大小
【点评】
本题考查用平方法比较无理数的大小，是基础题型，核心是利用正数的平方与本身的大小关系，计算平方时需正确运用完全平方公式，难度较低。
【难度系数】
0.7
要比较两个正数的无理数大小，可采用平方法：对于正数a和b，若a²＞b²，则a＞b；若a²＜b²，则a＜b；若a²=b²，则a=b。因此先分别计算$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}+1$的平方，再比较平方的大小即可得出结果。
【解析】
因为$\sqrt{5}$和$\sqrt{2}+1$都是正数，所以计算它们的平方：
$(\sqrt{5})^2 = 5$；
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$；
比较平方的大小：因为$2\sqrt{2}≈2.828$，所以$3 + 2\sqrt{2}≈5.828$，显然$5＜3 + 2\sqrt{2}$，即$(\sqrt{5})^2＜(\sqrt{2}+1)^2$；
根据正数的平方性质，可得$\sqrt{5}＜\sqrt{2}+1$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的大小比较、平方法比较大小
【点评】
本题考查用平方法比较无理数的大小，是基础题型，核心是利用正数的平方与本身的大小关系，计算平方时需正确运用完全平方公式，难度较低。
【难度系数】
0.7
11. 已知一个菱形的面积是24，一条对角线长为6，则另一条对角线长为
8
.答案
11. 8 【点拨】本题考查菱形的面积公式.
【解析】设另一条对角线长为$x$,则$\frac{1}{2}×6× x = 24$,解得$x = 8$.故答案为8.
【解析】设另一条对角线长为$x$,则$\frac{1}{2}×6× x = 24$,解得$x = 8$.故答案为8.
解析
【分析】首先回忆菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。题目中已知菱形的面积和一条对角线的长度，因此设另一条对角线长为未知数，代入面积公式列出方程，通过解方程即可求出结果。
【解析】设另一条对角线长为$x$，根据菱形面积公式可得：$\frac{1}{2}×6×x = 24$，解方程得：$3x = 24$，$x = 8$。
【答案】8
【知识点】菱形的面积公式
【点评】本题直接考查菱形面积公式的应用，属于基础题型，只要牢记公式即可快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】设另一条对角线长为$x$，根据菱形面积公式可得：$\frac{1}{2}×6×x = 24$，解方程得：$3x = 24$，$x = 8$。
【答案】8
【知识点】菱形的面积公式
【点评】本题直接考查菱形面积公式的应用，属于基础题型，只要牢记公式即可快速解答。
【难度系数】0.8
12. 分解因式:$x^2 - 3x = \_\_\_\_\_\_$.
答案
12. $x(x - 3)$ 【点拨】本题考查分解因式,关键是掌握提公因式法.
【解析】$x^2 - 3x = x(x - 3)$.故答案为$x(x - 3)$.
【解析】$x^2 - 3x = x(x - 3)$.故答案为$x(x - 3)$.
解析
【分析】首先观察多项式$x^2 - 3x$，确定各项的公因式：$x^2$的因式为$x · x$，$-3x$的因式为$-3 · x$，因此公因式是$x$。分解因式时，提取公因式$x$，将多项式转化为公因式与另一个因式的乘积形式，另一个因式由原多项式各项除以公因式得到。
【解析】对于多项式$x^2 - 3x$，提取公因式$x$，可得：$x^2 - 3x = x · x - x · 3 = x(x - 3)$。
【答案】$x(x - 3)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是基础因式分解题，直接考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，属于因式分解的入门题型，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】对于多项式$x^2 - 3x$，提取公因式$x$，可得：$x^2 - 3x = x · x - x · 3 = x(x - 3)$。
【答案】$x(x - 3)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是基础因式分解题，直接考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，属于因式分解的入门题型，难度较低。
【难度系数】0.9
13. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ A = 80°$,将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转到$△ A'BC'$的位置,使点$A'$恰好落在$BC$边上,连接$CC'$,则$∠ BCC' =$
$65°$
.答案
13. $65°$ 【点拨】本题考查等腰三角形的性质,旋转变换的性质.
【解析】在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ A = 80°$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 50°$.
将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转到$△ A'BC'$位置,使点$A'$恰好落在$BC$边上,则$∠ CBC' = ∠ A'BC' = ∠ ABC = 50°$,$BC' = BC$,
$\therefore ∠ BCC' = ∠ BC'C = \frac{1}{2}(180° - ∠ CBC') = 65°$.故答案为$65°$.
【解析】在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ A = 80°$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 50°$.
将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转到$△ A'BC'$位置,使点$A'$恰好落在$BC$边上,则$∠ CBC' = ∠ A'BC' = ∠ ABC = 50°$,$BC' = BC$,
$\therefore ∠ BCC' = ∠ BC'C = \frac{1}{2}(180° - ∠ CBC') = 65°$.故答案为$65°$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：1. 利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和，计算△ABC的底角∠ABC的度数；2. 根据旋转变换的性质，明确旋转前后对应边相等、对应角相等，得到BC=BC'和旋转角∠CBC'的度数；3. 再利用等腰三角形的内角和定理，计算△BCC'中底角∠BCC'的度数。
【解析】
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠ACB = $\frac{1}{2}(180° - ∠A) = \frac{1}{2}×(180° - 80°) = 50°$。
∵将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，
∴旋转前后图形全等，即BC=BC'，∠CBC'=∠ABC=50°。
在△BCC'中，
∵BC=BC'，
∴△BCC'为等腰三角形，∠BCC'=∠BC'C，
∴∠BCC' = $\frac{1}{2}(180° - ∠CBC') = \frac{1}{2}×(180° - 50°) = 65°$。
【答案】
65°
【知识点】
等腰三角形性质、旋转变换性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质与旋转变换的性质，核心是利用旋转的“全等性”转化边和角，进而通过等腰三角形内角和计算目标角度，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分三步思考：1. 利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和，计算△ABC的底角∠ABC的度数；2. 根据旋转变换的性质，明确旋转前后对应边相等、对应角相等，得到BC=BC'和旋转角∠CBC'的度数；3. 再利用等腰三角形的内角和定理，计算△BCC'中底角∠BCC'的度数。
【解析】
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠ACB = $\frac{1}{2}(180° - ∠A) = \frac{1}{2}×(180° - 80°) = 50°$。
∵将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置，
∴旋转前后图形全等，即BC=BC'，∠CBC'=∠ABC=50°。
在△BCC'中，
∵BC=BC'，
∴△BCC'为等腰三角形，∠BCC'=∠BC'C，
∴∠BCC' = $\frac{1}{2}(180° - ∠CBC') = \frac{1}{2}×(180° - 50°) = 65°$。
【答案】
65°
【知识点】
等腰三角形性质、旋转变换性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质与旋转变换的性质，核心是利用旋转的“全等性”转化边和角，进而通过等腰三角形内角和计算目标角度，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.6
14. 已知关于$ x $的分式方程$\frac{x}{x - 4}=2-\frac{m}{4 - x}$有增根，则$ m $的值为________.
答案
14. 4 【点拨】本题考查解分式方程,分式方程的增根.
【解析】$\frac{x}{x - 4}=2-\frac{m}{4 - x}$.
方程两边同乘$(x - 4)$,得$x = 2(x - 4) + m$.
$\because$ 原方程有增根,$\therefore$ 最简公分母$x - 4 = 0$,解得$x = 4$.
当$x = 4$时,$4 = 2×(4 - 4) + m$,$m = 4$.
故答案为4.
【解析】$\frac{x}{x - 4}=2-\frac{m}{4 - x}$.
方程两边同乘$(x - 4)$,得$x = 2(x - 4) + m$.
$\because$ 原方程有增根,$\therefore$ 最简公分母$x - 4 = 0$,解得$x = 4$.
当$x = 4$时,$4 = 2×(4 - 4) + m$,$m = 4$.
故答案为4.
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确：增根是使分式方程分母为0的根，且是去分母后整式方程的解。解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据最简公分母为0确定增根，最后将增根代入整式方程计算参数的值。
【解析】
原方程$\frac{x}{x - 4}=2-\frac{m}{4 - x}$，将右边变形：$-\frac{m}{4 - x}=\frac{m}{x - 4}$，方程两边同乘最简公分母$(x - 4)$，得整式方程：$x = 2(x - 4) + m$。
因为分式方程有增根，所以最简公分母$x - 4 = 0$，解得增根$x = 4$。
把$x = 4$代入整式方程，得$4 = 2×(4 - 4) + m$，计算得$m = 4$。
【答案】
4
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，解题步骤固定清晰，属于分式方程的基础题型，需掌握增根的判定方法及代入计算的技巧。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确：增根是使分式方程分母为0的根，且是去分母后整式方程的解。解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据最简公分母为0确定增根，最后将增根代入整式方程计算参数的值。
【解析】
原方程$\frac{x}{x - 4}=2-\frac{m}{4 - x}$，将右边变形：$-\frac{m}{4 - x}=\frac{m}{x - 4}$，方程两边同乘最简公分母$(x - 4)$，得整式方程：$x = 2(x - 4) + m$。
因为分式方程有增根，所以最简公分母$x - 4 = 0$，解得增根$x = 4$。
把$x = 4$代入整式方程，得$4 = 2×(4 - 4) + m$，计算得$m = 4$。
【答案】
4
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，解题步骤固定清晰，属于分式方程的基础题型，需掌握增根的判定方法及代入计算的技巧。
【难度系数】
0.6
15. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.
实践操作:如图1,在矩形纸片$ABCD$中,$AB=4\ \mathrm{cm}$.
第一步:如图2,对折矩形纸片$ABCD$,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$EF$,把纸片展平.
第二步:在矩形$ABCD$中,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$AD=8\ \mathrm{cm}$,点$P$在边$AD$上,将$△ ABP$沿着$BP$折叠,若点$A$的对应点$A'$恰好落在矩形$ABCD$的对称轴上,则$AP=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
实践操作:如图1,在矩形纸片$ABCD$中,$AB=4\ \mathrm{cm}$.
第一步:如图2,对折矩形纸片$ABCD$,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$EF$,把纸片展平.
第二步:在矩形$ABCD$中,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$AD=8\ \mathrm{cm}$,点$P$在边$AD$上,将$△ ABP$沿着$BP$折叠,若点$A$的对应点$A'$恰好落在矩形$ABCD$的对称轴上,则$AP=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
15. 4或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 【点拨】本题考查矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
【解析】如图1,当点$A'$在$BC$上时,由折叠可知,$AB = A'B = 4\ \mathrm{cm}$,$∠ A = ∠ BA'P = 90°$.$\because BC = AD = 8\ \mathrm{cm}$,$\therefore A'$是$BC$的中点,$\therefore$ 点$A'$在矩形$ABCD$的对称轴上.$\because ∠ A = ∠ ABA' = ∠ BA'P = 90°$,$\therefore$ 四边形$ABA'P$是矩形,$\therefore AP = A'B = 4\ \mathrm{cm}$;
如图2,当点$A'$落在$EF$上时,$\because AB = A'B$,$A'A = A'B$,$\therefore A'B = AB = A'A$,$\therefore △ AA'B$是等边三角形,$\therefore ∠ ABA' = 60°$,$\therefore ∠ ABP = ∠ A'BP = 30°$,$\therefore BP = 2AP$.$\because BP^2 = AP^2 + AB^2$,$\therefore AP = \frac{4\sqrt{3}}{3}$或$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$(舍去).综上所述,$AP$的长为$4\ \mathrm{cm}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$.故答案为4或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确矩形有两条对称轴：一条是平行于AB的水平对称轴EF（对折AD与BC得到），另一条是垂直于AB的竖直对称轴（过AD、BC中点）。根据折叠的性质，折叠前后对应边相等（AB=A'B）、对应角相等，因此需分两种情况讨论点A'落在不同对称轴上的情况，结合矩形性质、中垂线性质等计算AP的长度。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，对折AD与BC重合得折痕EF，故EB=AB/2=2cm，EF为矩形的水平对称轴；矩形的竖直对称轴为过AD、BC中点的直线。将△ABP沿BP折叠，点A的对应点为A'，由折叠性质得：AB=A'B=4cm，AP=A'P，∠A=∠BA'P=90°。
分两种情况讨论：
1. 当点A'落在竖直对称轴（BC中点）上时：
BC=AD=8cm，故BC中点处A'B=4cm，与AB=4cm相等。此时∠A=∠ABA'=∠BA'P=90°，四边形ABA'P为矩形，因此AP=A'B=4cm。
2. 当点A'落在水平对称轴EF上时：
EF为水平对称轴，A'在EF上故纵坐标为2，由A'B=4cm，结合勾股定理得A'的横坐标为2√3，即A'(2√3,2)。
因为BP是AA'的中垂线，先求AA'的斜率为-1/√3，故BP的斜率为√3，BP的直线方程为y=√3x。
点P在AD上（AD的纵坐标为4），联立得P点横坐标为4√3/3，因此AP的长度为4√3/3 cm。
综上，AP的长为4cm或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm。
【答案】
4或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形与折叠的综合应用，需利用折叠的对称性和矩形的对称轴特点，分两种情况讨论点A'的位置，结合中垂线性质、勾股定理求解，体现了分类讨论的数学思想，对几何性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先明确矩形有两条对称轴：一条是平行于AB的水平对称轴EF（对折AD与BC得到），另一条是垂直于AB的竖直对称轴（过AD、BC中点）。根据折叠的性质，折叠前后对应边相等（AB=A'B）、对应角相等，因此需分两种情况讨论点A'落在不同对称轴上的情况，结合矩形性质、中垂线性质等计算AP的长度。
【解析】
已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，对折AD与BC重合得折痕EF，故EB=AB/2=2cm，EF为矩形的水平对称轴；矩形的竖直对称轴为过AD、BC中点的直线。将△ABP沿BP折叠，点A的对应点为A'，由折叠性质得：AB=A'B=4cm，AP=A'P，∠A=∠BA'P=90°。
分两种情况讨论：
1. 当点A'落在竖直对称轴（BC中点）上时：
BC=AD=8cm，故BC中点处A'B=4cm，与AB=4cm相等。此时∠A=∠ABA'=∠BA'P=90°，四边形ABA'P为矩形，因此AP=A'B=4cm。
2. 当点A'落在水平对称轴EF上时：
EF为水平对称轴，A'在EF上故纵坐标为2，由A'B=4cm，结合勾股定理得A'的横坐标为2√3，即A'(2√3,2)。
因为BP是AA'的中垂线，先求AA'的斜率为-1/√3，故BP的斜率为√3，BP的直线方程为y=√3x。
点P在AD上（AD的纵坐标为4），联立得P点横坐标为4√3/3，因此AP的长度为4√3/3 cm。
综上，AP的长为4cm或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm。
【答案】
4或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形与折叠的综合应用，需利用折叠的对称性和矩形的对称轴特点，分两种情况讨论点A'的位置，结合中垂线性质、勾股定理求解，体现了分类讨论的数学思想，对几何性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.5
16. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 90°$,$BA = BC = 2$,$E,F$分别是边$AB,BC$上的动点,且$AE = BF$,连接$EF$,$P$是$EF$的中点,连接$BP$,则线段$BP$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
16. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,勾股定理,垂线段最短.
【解析】如图,取$AC$的中点$G$,$AB$的中点$H$,连接$GH$,$GE$,$GF$,$BG$.
$\because ∠ ABC = 90°$,$BA = BC = 2$,
$\therefore HG// BC$,$HG = \frac{1}{2}BC = 1$,$BG⊥ AC$,$BG = AG = CG = \frac{1}{2}AC$,$∠ A = ∠ C = 45°$,$∠ FBG = ∠ ABG = \frac{1}{2}∠ ABC = 45°$,
$\therefore ∠ AHG = ∠ ABC = 90°$,$∠ AGB = 90°$,$∠ A = ∠ FBG$,$HG⊥ AB$,
在$△ AGE$和$△ BGF$中,$\begin{cases}AG = BG,\\∠ A = ∠ FBG,\\AE = BF,\end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ BGF(\mathrm{SAS})$,$\therefore EG = FG$,
$∠ AGE = ∠ BGF$,$\therefore ∠ EGF = ∠ BGE + ∠ BGF = ∠ BGE + ∠ AGE = ∠ AGB = 90°$,$\therefore EF = \sqrt{EG^2 + FG^2} = \sqrt{2}EG$,
$\because ∠ EBF = 90°$,$P$是$EF$的中点,
$\therefore BP = \frac{1}{2}EF = \frac{\sqrt{2}}{2}EG$,
$\therefore EG = \sqrt{2}BP$,$\because EG≥ HG$,$\therefore \sqrt{2}BP≥1$,$\therefore BP≥\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore BP$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题是等腰直角三角形背景下的动点最值问题，核心思路是通过构造辅助线转化线段关系。已知$AE=BF$，取$AC$中点$G$、$AB$中点$H$，可证明$△ AGE$与$△ BGF$全等，得到$EG=FG$且$∠ EGF=90°$，结合直角三角形斜边中线性质，将$BP$转化为与$EG$相关的表达式，再利用垂线段最短找到$EG$的最小值，进而求出$BP$的最小值。
【解析】
解：如图，取$AC$的中点$G$，$AB$的中点$H$，连接$GH$、$GE$、$GF$、$BG$。
$\because ∠ ABC = 90°$，$BA = BC = 2$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$\therefore BG ⊥ AC$，$BG = AG = CG = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$，$∠ A = ∠ C = 45°$，$∠ FBG = ∠ ABG = \frac{1}{2}∠ ABC = 45°$，
$\therefore ∠ A = ∠ FBG$，$AG = BG$。
在$△ AGE$和$△ BGF$中：
$\begin{cases}AG = BG \\∠ A = ∠ FBG \\AE = BF\end{cases}$
$\therefore △ AGE ≌ △ BGF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EG = FG$，$∠ AGE = ∠ BGF$，
$\therefore ∠ EGF = ∠ BGE + ∠ BGF = ∠ BGE + ∠ AGE = ∠ AGB = 90°$，
$\therefore △ EGF$是等腰直角三角形，$EF = \sqrt{EG^2 + FG^2} = \sqrt{2}EG$。
$\because ∠ EBF = 90°$，$P$是$EF$的中点，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ EBF$中，$BP = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} × \sqrt{2}EG = \frac{\sqrt{2}}{2}EG$，即$EG = \sqrt{2}BP$。
又$\because H$是$AB$中点，$G$是$AC$中点，$\therefore GH$是$△ ABC$的中位线，$GH = \frac{1}{2}BC = 1$，且$GH ⊥ AB$，
根据垂线段最短，$EG ≥ GH = 1$，
$\therefore \sqrt{2}BP ≥ 1$，即$BP ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BP$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定、垂线段最短
【点评】
本题是典型的动点最值问题，通过构造全等三角形转化线段关系，将$BP$的最小值转化为线段$EG$的最小值，综合考察几何辅助线构造与核心定理的应用，需掌握“直角三角形斜边中线等于斜边一半”“垂线段最短”等知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.4
本题是等腰直角三角形背景下的动点最值问题，核心思路是通过构造辅助线转化线段关系。已知$AE=BF$，取$AC$中点$G$、$AB$中点$H$，可证明$△ AGE$与$△ BGF$全等，得到$EG=FG$且$∠ EGF=90°$，结合直角三角形斜边中线性质，将$BP$转化为与$EG$相关的表达式，再利用垂线段最短找到$EG$的最小值，进而求出$BP$的最小值。
【解析】
解：如图，取$AC$的中点$G$，$AB$的中点$H$，连接$GH$、$GE$、$GF$、$BG$。
$\because ∠ ABC = 90°$，$BA = BC = 2$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$\therefore BG ⊥ AC$，$BG = AG = CG = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$，$∠ A = ∠ C = 45°$，$∠ FBG = ∠ ABG = \frac{1}{2}∠ ABC = 45°$，
$\therefore ∠ A = ∠ FBG$，$AG = BG$。
在$△ AGE$和$△ BGF$中：
$\begin{cases}AG = BG \\∠ A = ∠ FBG \\AE = BF\end{cases}$
$\therefore △ AGE ≌ △ BGF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EG = FG$，$∠ AGE = ∠ BGF$，
$\therefore ∠ EGF = ∠ BGE + ∠ BGF = ∠ BGE + ∠ AGE = ∠ AGB = 90°$，
$\therefore △ EGF$是等腰直角三角形，$EF = \sqrt{EG^2 + FG^2} = \sqrt{2}EG$。
$\because ∠ EBF = 90°$，$P$是$EF$的中点，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ EBF$中，$BP = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} × \sqrt{2}EG = \frac{\sqrt{2}}{2}EG$，即$EG = \sqrt{2}BP$。
又$\because H$是$AB$中点，$G$是$AC$中点，$\therefore GH$是$△ ABC$的中位线，$GH = \frac{1}{2}BC = 1$，且$GH ⊥ AB$，
根据垂线段最短，$EG ≥ GH = 1$，
$\therefore \sqrt{2}BP ≥ 1$，即$BP ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BP$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质、全等三角形判定、垂线段最短
【点评】
本题是典型的动点最值问题，通过构造全等三角形转化线段关系，将$BP$的最小值转化为线段$EG$的最小值，综合考察几何辅助线构造与核心定理的应用，需掌握“直角三角形斜边中线等于斜边一半”“垂线段最短”等知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.4
17. (8分)计算.
(1)$3\sqrt{2ab}· (-\dfrac{2}{3}\sqrt{6b})(a≥ 0,b≥ 0)$；
(2)$\dfrac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24}×\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
(1)$3\sqrt{2ab}· (-\dfrac{2}{3}\sqrt{6b})(a≥ 0,b≥ 0)$；
(2)$\dfrac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24}×\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式运算及性质.
【解析】(1) $3\sqrt{2ab}·(-\frac{2}{3}\sqrt{6b})(a≥0,b≥0)$
$= 3×(-\frac{2}{3})\sqrt{2ab·6b}$
$= -2\sqrt{12ab^2}$
$= -4b\sqrt{3a}$.
(2) $\frac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{2}}$
$= \frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24×\frac{1}{2}}$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
$= 2 + \sqrt{3}$.
【解析】(1) $3\sqrt{2ab}·(-\frac{2}{3}\sqrt{6b})(a≥0,b≥0)$
$= 3×(-\frac{2}{3})\sqrt{2ab·6b}$
$= -2\sqrt{12ab^2}$
$= -4b\sqrt{3a}$.
(2) $\frac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{2}}$
$= \frac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24×\frac{1}{2}}$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
$= 2 + \sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除与加减运算，解题时需运用二次根式的运算法则：（1）二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，计算时先将系数相乘，再把被开方数相乘，最后化简为最简二次根式；（2）混合运算需先算乘除，再算加减，除法可利用分配律简化计算，最后合并同类二次根式，同时要注意被开方数的非负性。
【解析】
(1) $3\sqrt{2ab}· (-\dfrac{2}{3}\sqrt{6b})(a≥ 0,b≥ 0)$
$= 3×(-\dfrac{2}{3})·\sqrt{2ab·6b}$
$= -2\sqrt{12ab^2}$
$= -2·\sqrt{4b^2·3a}$
$= -2×2b\sqrt{3a}$
$= -4b\sqrt{3a}$
(2) $\dfrac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24}×\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$= \dfrac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}} + \sqrt{24×\dfrac{1}{2}}$
$= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \dfrac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12}$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
$= 2 + \sqrt{3}$
【答案】
(1) $-4b\sqrt{3a}$；(2) $2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则及最简二次根式的化简，运算过程中需注意被开方数的非负性，整体难度较低，属于初中数学的核心基础考点。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的乘除与加减运算，解题时需运用二次根式的运算法则：（1）二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，计算时先将系数相乘，再把被开方数相乘，最后化简为最简二次根式；（2）混合运算需先算乘除，再算加减，除法可利用分配律简化计算，最后合并同类二次根式，同时要注意被开方数的非负性。
【解析】
(1) $3\sqrt{2ab}· (-\dfrac{2}{3}\sqrt{6b})(a≥ 0,b≥ 0)$
$= 3×(-\dfrac{2}{3})·\sqrt{2ab·6b}$
$= -2\sqrt{12ab^2}$
$= -2·\sqrt{4b^2·3a}$
$= -2×2b\sqrt{3a}$
$= -4b\sqrt{3a}$
(2) $\dfrac{\sqrt{12}-3}{\sqrt{3}}+\sqrt{24}×\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$= \dfrac{2\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}} + \sqrt{24×\dfrac{1}{2}}$
$= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \dfrac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{12}$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
$= 2 + \sqrt{3}$
【答案】
(1) $-4b\sqrt{3a}$；(2) $2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则及最简二次根式的化简，运算过程中需注意被开方数的非负性，整体难度较低，属于初中数学的核心基础考点。
【难度系数】
0.7
