1. 已知甲同学手中藏有三张分别标有$\frac{1}{2},\frac{1}{4},1$的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1,3,2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两名同学手中各任取一张卡片，并将卡片上的数分别记为$a,b$.
(1)请你用画树状图或列表法列出所有可能的结果.
(2)现制定这样一个游戏规则:若所选出的$a,b$能使得$ax^2 + bx + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释.

(1)画树状图如图所示：
由树状图可知$(a,b)$共有9种等可能的结果：$(\frac{1}{2},1),(\frac{1}{2},3),(\frac{1}{2},2),(\frac{1}{4},1),(\frac{1}{4},3),(\frac{1}{4},2),(1,1),(1,3),(1,2)$。
(2)不公平。解释如下：$\because b^2-4a$对应(1)中的结果分别为-1,7,2,0,8,3,-3,5,0，$\therefore P(甲获胜)=P(b^2-4a＞0)=\frac{5}{9}＞P(乙获胜)=\frac{4}{9}$，$\therefore$这样的游戏规则对甲有利，不公平。

2. (朝阳中考)有四张正面分别标有数字1,2,-3,-4的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地抽取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n.
(1)请用画树状图或列表法写出$(m,n)$所有的可能情况；
(2)求所选的$m,n$能使一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、三、四象限的概率.

(1)画树状图如下：
则$(m,n)$所有的可能情况是$(1,2),(1,-3),(1,-4),(2,1),(2,-3),(2,-4),(-3,1),(-3,2),(-3,-4),(-4,1),(-4,2),(-4,-3)$。
(2)所选的$m,n$能使一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、三、四象限的情况有$(1,-3),(1,-4),(2,-3),(2,-4)$，共4种情况，则能使一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、三、四象限的概率是$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。

3. 从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀，背面朝上放在桌面上.
(1)求从中抽出一张是红桃的概率.
(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率不小于$\frac{2}{5}$，问：至少抽掉了多少张黑桃？
(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和$m(m＞6)$张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当$m$为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当$m$为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值.

(1)从中抽出一张是红桃的概率是$\frac{9}{9+10+11}=\frac{3}{10}$。
(2)设至少抽掉了$x$张黑桃，放入$x$张红桃，根据题意，得$\frac{9+x}{9+10+11}\ge \frac{2}{5}$，解得$x\ge 3$，即至少抽掉了3张黑桃。
(3)当$m$为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件；当$m$为9,8,7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，$P_{最小}=\frac{11}{(10-7)+11}=\frac{11}{14}$。