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1. (2026·青岛月考)一元二次方程$5x=3-12x^2$的一次项系数与常数项分别是 (
A.$5,-3$
B.$-5,-3$
C.$3,-5$
D.$3,5$
A
)A.$5,-3$
B.$-5,-3$
C.$3,-5$
D.$3,5$
答案
A 解析: 将原方程转化为一般形式得 $12x^2 + 5x - 3 = 0$,
∴ 一次项系数为 5,常数项为-3.故选 A.
∴ 一次项系数为 5,常数项为-3.故选 A.
2. (2026·青岛期中)下列方程中:①$2x^2=0$；②$ax^2+bx+c=0$；③$(x+2)(x-3)=x^2-3$；④$x^2-\frac{\sqrt{2}}{2}x=5$；⑤$2x^2-\frac{1}{x}=0$，一定是一元二次方程的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B 解析: ①$2x^2=0$ 是整式方程,未知数 x 最高次数为 2,符合;②$ax^2+bx+c=0$ 中 a 未指定不为 0,若 a=0 则不是一元二次方程,不符合;③$(x+2)(x-3)=x^2-3$ 化简得$-x-3=0$,为一次方程,不符合;④$x^2-\frac{\sqrt{2}}{2}x=5$ 是整式方程,未知数 x 最高次数为 2,符合;⑤$2x^2-\frac{1}{x}=0$ 分母中含有 x,不是整式方程,不符合;
∴ 只有①和④一定是一元二次方程,共2个.故选 B.
∴ 只有①和④一定是一元二次方程,共2个.故选 B.
3. 已知a是关于x的一元二次方程的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足$(\dfrac{1}{2}a - 2)^2 + |b - 3| + \sqrt{a + b + c} = 0$，写出这个一元二次方程：
$4x^2+3x-7=0$
。答案
$4x^2+3x-7=0$ 解析: $\because (\frac{1}{2}a-2)^2 +|b-3|+\sqrt{a+b+c}=0$,且$(\frac{1}{2}a-2)^2 ≥ 0,|b-3|≥ 0,\sqrt{a+b+c}≥ 0,\therefore \begin{cases}\frac{1}{2}a-2=0,\\b-3=0,\\a+b+c=0,\end{cases}$$\therefore \begin{cases}a=4,\\b=3,\\c=-7,\end{cases}$
∵a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,
∴ 关于 x 的一元二次方程为 $4x^2+3x-7=0$.
∵a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,
∴ 关于 x 的一元二次方程为 $4x^2+3x-7=0$.
4. (1)(2026·成都月考)若关于x的方程$(a-3)x^2+ax+1=0$是一元二次方程，则a的取值范围是
(2)关于x的方程$(m+2)x^{|m|}+mx-1=0$是一元二次方程，则m=
$a≠3$
.(2)关于x的方程$(m+2)x^{|m|}+mx-1=0$是一元二次方程，则m=
$2$
.答案
(1)$a≠3$ 解析:
∵ 一元二次方程的二次项系数不能为 0,
∴ $a-3≠0$,
∴ $a≠3$.故答案为 $a≠3$.
(2)$2$ 解析: 根据题意,得 $|m|=2$,且 $m+2≠0$,
∴ $m=2$.
∵ 一元二次方程的二次项系数不能为 0,
∴ $a-3≠0$,
∴ $a≠3$.故答案为 $a≠3$.
(2)$2$ 解析: 根据题意,得 $|m|=2$,且 $m+2≠0$,
∴ $m=2$.
5. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项.(规定二次项系数大于0)
(1)$5x(x+2)=3(x+1)$;
(2)$(2x+1)^2=(x+1)(x-1)-3$.
(1)$5x(x+2)=3(x+1)$;
(2)$(2x+1)^2=(x+1)(x-1)-3$.
答案
(1)$5x^2+7x-3=0$,二次项系数是 5,一次项系数是 7,常数项是-3.
(2)$3x^2+4x+5=0$,二次项系数是 3,一次项系数是 4,常数项是 5.
(2)$3x^2+4x+5=0$,二次项系数是 3,一次项系数是 4,常数项是 5.
6. 用方程描述下列问题中的数量关系：
(1)已知两个连续偶数的积为24,求这两个偶数；
(2)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2023年缴税40万元,2025年缴税48.4万元,求该公司这两年缴税的年平均增长率；
(3)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛,共要比赛55场,求参赛的队数；
(4)初三毕业晚会时,每人互相赠送一张照片,全班同学一共赠送了870张照片,求全班有多少人.
(1)已知两个连续偶数的积为24,求这两个偶数；
(2)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2023年缴税40万元,2025年缴税48.4万元,求该公司这两年缴税的年平均增长率；
(3)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛,共要比赛55场,求参赛的队数；
(4)初三毕业晚会时,每人互相赠送一张照片,全班同学一共赠送了870张照片,求全班有多少人.
答案
(1)设这两个偶数分别为 x 和 x+2. 根据题意,得 $x(x+2)=24$.
(2)设该公司这两年缴税年平均增长率为 x,由题意得 $40(1+x)^2=48.4$.
(3)设有 x 支球队参赛,根据题意,得 $\frac{x(x-1)}{2}=55$.
(4)设全班有 x 人,根据题意,得 $x(x-1)=870$.
(2)设该公司这两年缴税年平均增长率为 x,由题意得 $40(1+x)^2=48.4$.
(3)设有 x 支球队参赛,根据题意,得 $\frac{x(x-1)}{2}=55$.
(4)设全班有 x 人,根据题意,得 $x(x-1)=870$.
7. 下列方程中,无论a为何值时,关于x的方程一定是一元二次方程的是（
A.$(2a-1)(x^2+3)=2x^2-2$
B.$ax^2-3x+9=0$
C.$(3a^2+4)x^2=0$
D.$ax^2=x^2-1$
C
）A.$(2a-1)(x^2+3)=2x^2-2$
B.$ax^2-3x+9=0$
C.$(3a^2+4)x^2=0$
D.$ax^2=x^2-1$
答案
C 解析:
∵ 无论 a 为何值,$3a^2+4＞0$,
∴ 方程 $(3a^2+4)x^2=0$ 一定是一元二次方程,故选 C.
∵ 无论 a 为何值,$3a^2+4＞0$,
∴ 方程 $(3a^2+4)x^2=0$ 一定是一元二次方程,故选 C.
