17. 新题型 新定义(13分)(2026·沈阳月考)定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”.
(1)我们学过下列四边形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形.其中是“神奇四边形”的.(填序号)
(2)如图①,在正方形ABCD中,E为BC上一点,连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G,连接AG,EG.
①判定四边形ABEG是否为“神奇四边形”;
②如图②,点M,N,P,Q分别是AB,AG,GE,EB的中点,则四边形MNPQ“神奇四边形”.(填“是”或“不是”)
(3)如图③,点F,R分别在正方形ABCD的边AB,CD上,把正方形沿直线FR翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,过点A作AO⊥FR于点O.若AB'=3,正方形的边长为9,求线段OF的长.

① ② ③

(1)④ 解析:
∵ 平行四边形的对角线互相平分,矩形的对角线互相平分且相等,菱形的对角线互相垂直平分,正方形的对角线互相垂直平分且相等,
∴ 正方形是“神奇四边形”.故答案为④.
(2)①是. 证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠ABC = ∠BCD = 90°,
∴ ∠ABG+∠CBG=90°.
∵ BG⊥AE,
∴ ∠BAE+∠ABG=90°,
∴ ∠BAE = ∠CBG. 在 △ABE 和 △BCG 中,
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG,\\AB=BC,\\∠ABE=∠BCG,\end{cases}$
∴ △ABE≌△BCG (ASA),
∴ AE=BG, 又
∵ BG⊥AE,
∴ 四边形 ABEG 是“神奇四边形”.
②是 解析:
∵ 点 M,N 分别为 AB,AG 的中点,
∴ MN 为 △ABG 的中位线,
∴ MN//BG, $MN=\frac{1}{2}BG$,同理可得 PQ//BG, $PQ=\frac{1}{2}BG$,MQ//AE, $MQ=\frac{1}{2}AE$,NP//AE, $NP=\frac{1}{2}AE$,
∴ MN = PQ, MQ = NP,
∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形.
∵ AE = BG,
∴ MN = MQ,
∴ 平行四边形 MNPQ 为菱形.
∵ BG⊥AE,MQ//AE,
∴ MQ⊥BG.
∵ MN//BG,
∴ MQ⊥MN,
∴ ∠QMN = 90°,
∴ 四边形 MNPQ 为正方形,
∴ 四边形 MNPQ 是“神奇四边形”.
(3)如图,在 BC 上取折叠时点 A 的对应点 S,连接 AS,
∴ AS ⊥ FR, 又
∵ AO ⊥ FR,
∴ A,O,S 三点共线,O 是 AS 与 FR 的交点,由翻折的性质可知, BF = B' F, AB' = BS = 3, AO=SO,∠B'=∠B.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,边长为 9,
∴ AB=9,∠B=90°,
∴ $AS = \sqrt{AB^2+BS^2} = \sqrt{9^2+3^2} = 3\sqrt{10}$,∠B' = ∠B = 90°,
∴ $AO = \frac{1}{2}AS = \frac{3\sqrt{10}}{2}$. 设 AF=x, 则 BF=B'F=9-x, 在 Rt△AB'F 中, 由勾股定理得 $3^2+(9-x)^2 = x^2$,
∴ x=5,
∴ AF=5.
∵ AO ⊥ FR,
∴ ∠AOF = 90°,
∴ $OF = \sqrt{AF^2-AO^2} = \sqrt{5^2-(\frac{3\sqrt{10}}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$, 即线段 OF 的长为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

18. (14分)某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系.
(1)如图①,点P为线段AB上一点,分别以AP,BP为边在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形PBFE,点P,C,E在一条直线上,M,N分别是对角线AC,BE的中点.连接MN,PD,PF,DF,则MN为△PDF的中位线.设两正方形的边长AP=a,BP=b,请用含a,b的式子表示MN的长度为.
(2)如图②,把图①中的正方形改为矩形,AP=a,BP=b,且AD=c,PE=d,能否用含a,b,c,d的式子表示MN的长度?如果能,请写出过程;如果不能,请说明理由.
(3)如图③,把图①中的正方形改为菱形,AP=a,BP=b,且AC=c,BE=d,请用含a,b,c,d的式子直接表示出MN的长度.

(1)$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+b^2}$ 解析:如图①,延长 DC 交 BF 于点 G,
∵ 分别以 AP,BP 为边在线段 AB 的同侧作正方形 APCD 和正方形 PBFE,
∴ AP = DC = CP = a, EF = PB = FB = b, ∠PEF = ∠EFG = 90°, ∠DCP = 90°.
∵ ∠ECG = ∠DCP = 90°,
∴ 四边形 ECGF 为矩形,
∴ EC = FG = b-a,CG=EF=b,
∴ DG=a+b.
在直角三角形 DGF 中,$DF = \sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2} = \sqrt{2a^2+2b^2}$.
∵ M,N 分别是 DP,FP 的中点,
∴ $MN = \frac{1}{2}DF = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+b^2}$.
(2)能.如图②,连接 DP,FP,DF,延长 DC 交 BF 于点 K,同理可得 $MN = \frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2+(d-c)^2}$.
(3)$MN = \frac{1}{2}\sqrt{4(a^2+b^2)-(c^2+d^2)}$. 解析:如图③,连接 PM,PN,
∵ 四边形 ADCP 和四边形 EPBF 为菱形,且 M,N 为对角线的中点,
∴ ∠CPM = ∠APM, ∠EPN = ∠BPN, PM ⊥ AC, PN ⊥ EB,
∴ ∠CPM + ∠EPN = ∠APM + ∠BPN = $\frac{1}{2}×180° = 90°$, 即 ∠MPN=90°.
∵ AP=a,AC=c,
∴ $PM^2 = AP^2-AM^2 = a^2-\frac{1}{4}c^2$, 同理可得 $PN^2 = b^2-\frac{1}{4}d^2$,
∴ $MN = \sqrt{PM^2+PN^2} = \sqrt{a^2+b^2-\frac{1}{4}c^2-\frac{1}{4}d^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4(a^2+b^2)-(c^2+d^2)}$.