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二、填空题(每小题4分,共20分)
9. (2026·西安期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF,若AE=BE,∠DOF=28°,则∠BAE的度数为
9. (2026·西安期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF,若AE=BE,∠DOF=28°,则∠BAE的度数为
28°
.答案
28° 解析:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD,AB // CD,
∴ ∠COD = 90°, ∠BDC = ∠ABD,
∵ 点 F 为 CD 的中点,
∴ OF=DF,
∴ ∠ODF = ∠DOF = 28°,
∴ ∠ABE = ∠ODF = 28°,
∵ AE=BE,
∴ ∠BAE = ∠ABE = 28°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD,AB // CD,
∴ ∠COD = 90°, ∠BDC = ∠ABD,
∵ 点 F 为 CD 的中点,
∴ OF=DF,
∴ ∠ODF = ∠DOF = 28°,
∴ ∠ABE = ∠ODF = 28°,
∵ AE=BE,
∴ ∠BAE = ∠ABE = 28°.
10. (2024·兰州中考)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,若AD=4,则EF=
2
.答案
2 解析:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,△ADE 为等边三角形,EF ⊥ AB,AD=4,
∴ ∠FAD = 90°, ∠EAD = 60°, ∠AFE = 90°,AD=AE=4,
∴ ∠FAE = 30°,
∴ EF = $\frac{1}{2}AE = 2$.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,△ADE 为等边三角形,EF ⊥ AB,AD=4,
∴ ∠FAD = 90°, ∠EAD = 60°, ∠AFE = 90°,AD=AE=4,
∴ ∠FAE = 30°,
∴ EF = $\frac{1}{2}AE = 2$.
11.（无锡中考）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG=
1
。答案
1 解析:如图,连接 AG,EG.
∵ HG 垂直平分 AE,
∴ EG=AG.
∵ E 是 CD 的中点,
∴ DE=CE=4. 设 CG=x,则 BG=8-x.
在 Rt△ABG 和 Rt△GCE 中,根据勾股定理,得 $AB^2+BG^2 = CE^2+CG^2$,即 $8^2+(8-x)^2 = 4^2+x^2$,解得 x=7,
∴ BG=BC-CG=8-7=1.
12.（锦州中考）如图,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=10$,以点$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧交$AD$于点$E$,再分别以点$C,E$为圆心、大于$\frac{1}{2}CE$的长为半径画弧,两弧交于点$F$,作射线$BF$交$CD$于点$G$,则$CG$的长为
$\frac{10}{3}$
.答案
$\frac{10}{3}$ 解析:如图,连接 EG,根据作图过程,可知 BF 是 ∠EBC 的平分线,
∴ ∠EBG = ∠CBG. 在 △EBG 和 △CBG 中,
∵ EB=CB, ∠EBG = ∠CBG, BG = BG,
∴ △EBG ≌ △CBG,
∴ GE=GC.在 Rt△ABE 中,AB=6,BE=BC=10,由勾股定理得 $AE = \sqrt{BE^2-AB^2} = 8$,
∴ DE=AD-AE=10-8=2. 在 Rt△DGE 中,DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,
∴ $EG^2-DE^2 = DG^2$,
∴ $CG^2-2^2 = (6-CG)^2$,解得 $CG=\frac{10}{3}$.
13. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,M为AO的中点,ME//AB交BO于点E,MF//OD交AD于点F,若ME=MF,则EF的值为
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
.答案
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 解析:如图,连接 AE.
∵ M 为 AO 的中点,ME//AB,MF//OD,
∴ ME 是 △ABO 的中位线,MF 是 △AOD 的中位线,
∴ AB=2ME,OD=2MF.
∵ ME=MF,
∴ AB=OD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AC=BD,AO=OC,OB=OD,
∴ OD=OA=OB,
∴ AB=AO=BO=3,
∴ △ABO 是等边三角形,BD=6,
∴ AD = $\sqrt{BD^2-AB^2} = \sqrt{36-9} = 3\sqrt{3}$.
∵ △ABO 是等边三角形,点 E 是 BO 的中点,
∴ AE ⊥ BO. 又
∵ 点 F 是 AD 的中点,
∴ EF = $\frac{1}{2}AD = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
三、解答题(共56分)
14.(9分)(2024·呼伦贝尔中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.
14.(9分)(2024·呼伦贝尔中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.
答案
(1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,即 AF // BE,
∴ ∠AFB = ∠EBF, ∠FAE = ∠BEA.
∵ 点 O 为 BF 的中点,
∴ BO = FO,
∴ △AOF ≌ △EOB,
∴ BE=FA.
∵ AF//BE,
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形.
又
∵ AB=AF,
∴ 四边形 ABEF 是菱形.
(2)
∵ AD=BC,AF=BE,
∴ DF=CE=1.
∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 22,
∴ 菱形 ABEF 的周长为 22-2=20,
∴ AB=20÷4=5.
由(1)可知四边形 ABEF 是菱形,
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}∠BAD = \frac{1}{2}×120° = 60°$.
又
∵ AB=BE,
∴ △ABE 是等边三角形,
∴ AE=AB=5.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,即 AF // BE,
∴ ∠AFB = ∠EBF, ∠FAE = ∠BEA.
∵ 点 O 为 BF 的中点,
∴ BO = FO,
∴ △AOF ≌ △EOB,
∴ BE=FA.
∵ AF//BE,
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形.
又
∵ AB=AF,
∴ 四边形 ABEF 是菱形.
(2)
∵ AD=BC,AF=BE,
∴ DF=CE=1.
∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 22,
∴ 菱形 ABEF 的周长为 22-2=20,
∴ AB=20÷4=5.
由(1)可知四边形 ABEF 是菱形,
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}∠BAD = \frac{1}{2}×120° = 60°$.
又
∵ AB=BE,
∴ △ABE 是等边三角形,
∴ AE=AB=5.
15. (10分)(苏州中考)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:$△ DAF ≌ △ ECF$;
(2)若$∠ ECF=40°$,求$∠ CAB$的度数.
(1)求证:$△ DAF ≌ △ ECF$;
(2)若$∠ ECF=40°$,求$∠ CAB$的度数.
答案
(1)由四边形 ABCD 为矩形及折叠可知 AD = BC = EC, ∠D = ∠B = ∠E = 90°. 在 △DAF 和 △ECF 中,
∵ ∠DFA = ∠EFC, ∠D = ∠E,DA=EC,
∴ △DAF≌△ECF.
(2)
∵ △DAF≌△ECF,
∴ ∠DAF = ∠ECF = 40°.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠DAB = 90°,
∴ ∠EAB = ∠DAB - ∠DAF = 90° - 40° = 50°. 由折叠得 ∠EAC = ∠CAB,
∴ ∠CAB=25°.
∵ ∠DFA = ∠EFC, ∠D = ∠E,DA=EC,
∴ △DAF≌△ECF.
(2)
∵ △DAF≌△ECF,
∴ ∠DAF = ∠ECF = 40°.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠DAB = 90°,
∴ ∠EAB = ∠DAB - ∠DAF = 90° - 40° = 50°. 由折叠得 ∠EAC = ∠CAB,
∴ ∠CAB=25°.
16. (10分)(2024·内蒙古中考)如图，$∠ ACB=∠ AED=90°,AC=FE,AB$平分$∠ CAE,AB// DF$.
(1)求证:四边形$ABDF$是平行四边形；
(2)过点$B$作$BG⊥ AE$于点$G$,若$CB=AF$,请直接写出四边形$BGED$的形状.
(1)求证:四边形$ABDF$是平行四边形；
(2)过点$B$作$BG⊥ AE$于点$G$,若$CB=AF$,请直接写出四边形$BGED$的形状.
答案
(1)
∵ AB 平分 ∠CAE,
∴ ∠CAB = ∠BAF.
∵ AB // DF,
∴ ∠EFD = ∠BAF,
∴ ∠CAB = ∠EFD, 在 △ACB 和 △FED 中,
$\begin{cases}∠ACB=∠FED,\\AC=FE,\\∠CAB=∠EFD,\end{cases}$
∴ △ACB≌△FED (ASA),
∴ AB = DF.
∵ AB//DF,
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
(2)四边形 BGED 是正方形.
解析:
∵ BG⊥AE,
∴ ∠BGE = ∠DEG = 90°.
∵ 四边形 ABDF 是平行四边形,
∴ BD // AE, BD = AF,
∴ ∠GBD + ∠BGE = 180°, ∠DEG + ∠EDB = 180°,
∴ ∠GBD=90°,∠EDB=90°,
∴ 四边形 BGED 是矩形.
由(1)得△ACB≌△FED,
∴ CB=ED.
∵ CB=AF,
∴ ED=AF,
∴ BD=ED,
∴ 四边形 BGED 是正方形.
∵ AB 平分 ∠CAE,
∴ ∠CAB = ∠BAF.
∵ AB // DF,
∴ ∠EFD = ∠BAF,
∴ ∠CAB = ∠EFD, 在 △ACB 和 △FED 中,
$\begin{cases}∠ACB=∠FED,\\AC=FE,\\∠CAB=∠EFD,\end{cases}$
∴ △ACB≌△FED (ASA),
∴ AB = DF.
∵ AB//DF,
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
(2)四边形 BGED 是正方形.
解析:
∵ BG⊥AE,
∴ ∠BGE = ∠DEG = 90°.
∵ 四边形 ABDF 是平行四边形,
∴ BD // AE, BD = AF,
∴ ∠GBD + ∠BGE = 180°, ∠DEG + ∠EDB = 180°,
∴ ∠GBD=90°,∠EDB=90°,
∴ 四边形 BGED 是矩形.
由(1)得△ACB≌△FED,
∴ CB=ED.
∵ CB=AF,
∴ ED=AF,
∴ BD=ED,
∴ 四边形 BGED 是正方形.
