登录
8.(黑龙江中考)已知关于x的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则m的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
D 解析: 将 $(m-3)x^2+m^2x=9x+5$ 化为一般形式,得 $(m-3)x^2+(m^2-9)x-5=0$.根据题意,得 $m-3≠0$,且 $m^2-9=0$,解得 $m=-3$,故选 D.
9. 若关于x的一元二次方程$4x^2 -2ax -ax -2a -6=0$的常数项为4，则一次项系数是
$15$
.答案
15 解析: 由题意,得 $-2a-6=4$,解得 $a=-5$.
∴ 一次项的系数为 $-2a-a=-3a=-3×(-5)=15$.
∴ 一次项的系数为 $-2a-a=-3a=-3×(-5)=15$.
10. 利用平方去根号可以构造一个整系数方程.
例如:$x=\sqrt{2}+1$时,移项得$x-1=\sqrt{2}$,两边平方得$(x-1)^2=(\sqrt{2})^2$,所以$x^2-2x+1=2$,即$x^2-2x-1=0$.仿照上述构造方法,当$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$时,可以构造出一个整系数方程是
例如:$x=\sqrt{2}+1$时,移项得$x-1=\sqrt{2}$,两边平方得$(x-1)^2=(\sqrt{2})^2$,所以$x^2-2x+1=2$,即$x^2-2x-1=0$.仿照上述构造方法,当$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$时,可以构造出一个整系数方程是
$4x^2+4x-5=0$
.答案
$4x^2+4x-5=0$ 解析: 由题意可得 $x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$,可变形为 $2x=\sqrt{6}-1$,则 $2x+1=\sqrt{6}$,故 $(2x+1)^2=6$,则可以构造出一个整系数方程是 $4x^2+4x-5=0$.
11. 根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数.
(2)教材变式《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.书中有一题:"今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?"其大意是:"已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?"(一丈=10尺,1尺=10寸)
(1)有一个三位数,它的个位数字比十位数字大3,十位数字比百位数字小2,三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20,求这个三位数.
(2)教材变式《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.书中有一题:"今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?"其大意是:"已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?"(一丈=10尺,1尺=10寸)
答案
(1)设十位数字为 x,则个位数字为 x+3,百位数字为 x+2,根据题意,得$[100(x+2)+10x+(x+3)]-9[(x+3)^2+x^2+(x+2)^2]=20$,化简得 $9x^2-7x-22=0$.
(2)设长方形门的宽是 x 尺,则高是$(x+6.8)$尺,根据题意,得 $x^2+(x+6.8)^2=10^2$,化简得 $x^2+6.8x-26.88=0$.
(2)设长方形门的宽是 x 尺,则高是$(x+6.8)$尺,根据题意,得 $x^2+(x+6.8)^2=10^2$,化简得 $x^2+6.8x-26.88=0$.
12. 已知关于$x$的方程$(m-1)x^{m^2+1}+(m-2)x-1=0$，回答下列问题：
(1)若方程是一元二次方程，求$m$的值.
(2)若方程是一元一次方程，则$m$是否存在？若存在，请求出$m$的值，并把方程解出来.
(1)若方程是一元二次方程，求$m$的值.
(2)若方程是一元一次方程，则$m$是否存在？若存在，请求出$m$的值，并把方程解出来.
答案
(1)根据题意,得 $m^2+1=2$,且 $m-1≠0$,解得 $m=-1$.
(2)存在.需分情况讨论:①当满足 $m^2+1=1$,且 $m-1+m-2≠0$ 时,解得 $m=0$,则方程变为 $-3x-1=0$,解得 $x=-\frac{1}{3}$;②当满足 $m-1=0$ 且 $m-2≠0$ 时,解得 $m=1$,则方程变为 $-x-1=0$,解得 $x=-1$.
(2)存在.需分情况讨论:①当满足 $m^2+1=1$,且 $m-1+m-2≠0$ 时,解得 $m=0$,则方程变为 $-3x-1=0$,解得 $x=-\frac{1}{3}$;②当满足 $m-1=0$ 且 $m-2≠0$ 时,解得 $m=1$,则方程变为 $-x-1=0$,解得 $x=-1$.
13. 若$x^{2a+b} - 3x^{a-b} + 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，求$a,b$的值.下面是两位同学的解法:
甲:根据题意,得$\begin{cases}2a + b = 2, \\ a - b = 1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 0.\end{cases}$
乙:根据题意,得$\begin{cases}2a + b = 2, \\ a - b = 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a + b = 1, \\ a - b = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 1, \\ b = -1.\end{cases}$
你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果不正确,请给出正确答案.
甲:根据题意,得$\begin{cases}2a + b = 2, \\ a - b = 1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 0.\end{cases}$
乙:根据题意,得$\begin{cases}2a + b = 2, \\ a - b = 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a + b = 1, \\ a - b = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = 0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 1, \\ b = -1.\end{cases}$
你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果不正确,请给出正确答案.
答案
题中两位同学的解法都不正确,均考虑不全面.正确的解法如下:要使 $x^{2a+b}-3x^{a-b}+1=0$ 是关于 x 的一元二次方程,则 $\begin{cases}2a+b=2,\\a-b=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=2,\\a-b=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=2,\\a-b=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=1,\\a-b=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}2a+b=0,\\a-b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\frac{4}{3},\\b=-\frac{2}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1,\\b=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=\frac{2}{3},\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1,\\b=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=\frac{2}{3},\\b=-\frac{4}{3}.\end{cases}$
