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1. 已知方程$2x^2 - mx + 3 = 0$的一个根是$x=1$,则$m$的值为（
A.$-5$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
B
）A.$-5$
B.$5$
C.$6$
D.$7$
答案
1.B 解析:
∵方程$2x^2 - mx + 3 = 0$的一个根是$x = 1$,
∴$2×1^2-m+3=0$,
∴$m=5$,故选 B.
∵方程$2x^2 - mx + 3 = 0$的一个根是$x = 1$,
∴$2×1^2-m+3=0$,
∴$m=5$,故选 B.
2. (2026·晋中期中)下表是某同学求代数式$ax^2+bx(a,b为常数,且a≠0)$的值的情况.根据表格中的数据,可知关于x的一元二次方程$ax^2+bx-3=0$的一个根为 (
A.0
B.1
C.2
D.3
B
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.B 解析:求$ax^2+bx-3=0$的根,即求$ax^2+bx=3$的根,由表格数据可知,当$x=1$时,$ax^2+bx=3$,即$ax^2+bx-3=0$,故$x=1$是方程的根.故选 B.
3. (2026·成都期中)小刚在探索一元二次方程$x^2+12x-15=0$的近似解时做了如下表的计算.观察表中对应的数据,可知该方程的其中一个解的整数部分是
1
.答案
3.1 解析:当$x=1$时,$x^2+12x-15=-2$;当$x=1.5$时,$x^2+12x-15=5.25$;由于函数值在$x=1$和$x=1.5$之间由负变正,方程$x^2+12x-15=0$在1到1.5之间有一个根,因此该根的整数部分是1,故答案为1.
4. 已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +a^2 -1=0$有一个根为$x=0$，则$a=$
-1
.答案
4.-1 解析:把$x=0$代入$(a-1)x^2-2x+a^2-1=0$,得$a^2-1=0$,解得$a=±1$.
∵$a-1≠0$,
∴$a=-1$.
易错提醒 注意一元二次方程要满足二次项系数不为0.
∵$a-1≠0$,
∴$a=-1$.
易错提醒 注意一元二次方程要满足二次项系数不为0.
5. 新题型 新运算（2026·沈阳月考）定义新运算：$a\otimes b=a^2 - ab$，例如：$2\otimes3=2^2 - 2×3=-2$，若关于x的方程$x\otimes2 + nx=0$的一个根是$\sqrt{5}$，则n的值为
$2-\sqrt{5}$
。答案
5.$2-\sqrt{5}$ 解析:
∵$a\otimes b=a^2-ab$,
∴$x\otimes2+nx=x^2-2x+nx=0$,把$x=\sqrt{5}$代入$x^2-2x+nx=0$,得$(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+\sqrt{5}n=0$,解得$n=2-\sqrt{5}$.故答案为$2-\sqrt{5}$.
∵$a\otimes b=a^2-ab$,
∴$x\otimes2+nx=x^2-2x+nx=0$,把$x=\sqrt{5}$代入$x^2-2x+nx=0$,得$(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+\sqrt{5}n=0$,解得$n=2-\sqrt{5}$.故答案为$2-\sqrt{5}$.
6. (1)(连云港中考)若关于x的一元二次方程$mx^2 + nx - 1 = 0(m ≠ 0)$的一个根是$x = 1$，则$m + n$的值是
(2)(枣庄中考)若$x = 3$是关于x的方程$ax^2 - bx = 6$的解，则$2029 - 6a + 2b$的值为
1
；(2)(枣庄中考)若$x = 3$是关于x的方程$ax^2 - bx = 6$的解，则$2029 - 6a + 2b$的值为
2025
。答案
6.(1)1 解析:把$x=1$代入方程$mx^2+nx-1=0$,得$m+n-1=0$,得$m+n=1$.
(2)2 025 解析:把$x=3$代入方程得$9a-3b=6$,即$3a-b=2$,则原式$=2\ 029-2(3a-b)=2\ 029-4=2\ 025$.
(2)2 025 解析:把$x=3$代入方程得$9a-3b=6$,即$3a-b=2$,则原式$=2\ 029-2(3a-b)=2\ 029-4=2\ 025$.
7. “一块矩形铁片,面积为2 m²,长比宽多2 m,求铁片的长.”小颖在做这道题时,是这样考虑的:设铁片的长为x m,列出方程为$x(x-2)=2$,小颖列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是她的探索过程.
第一步:
所以,
所以,
(1)请你帮小颖填完表格,完成她未完成的部分.
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是多少?十分位上的数是多少?
第一步:
所以,
2
＜x＜ 3
.所以,
2.7
＜x＜ 2.8
.(1)请你帮小颖填完表格,完成她未完成的部分.
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是多少?十分位上的数是多少?
答案
7.(1)1 6 2 3 -0.44 -0.11 0.24 0.61 2.7 2.8 解析:分别计算当$x=3,x=4,x=2.6,x=2.7,x=2.8,x=2.9$时代数式$x^2-2x-2$的值,即可补充表格,分别是1,6,-0.44,-0.11,0.24,0.61,当$x=2$时,$x^2-2x-2＜0$,当$x=3$时,$x^2-2x-2＞0$,
∴$2＜x＜3$,当$x=2.7$时,$x^2-2x-2＜0$,当$x=2.8$时,$x^2-2x-2＞0$,
∴$2.7＜x＜2.8$.
(2)由(1)可得矩形铁片长的整数部分是2,十分位上的数是7.
∴$2＜x＜3$,当$x=2.7$时,$x^2-2x-2＜0$,当$x=2.8$时,$x^2-2x-2＞0$,
∴$2.7＜x＜2.8$.
(2)由(1)可得矩形铁片长的整数部分是2,十分位上的数是7.
8. 若$x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根，设$M=1-ac$，$N=(ax_0+1)^2$，则$M$与$N$的大小关系为（
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定
B
）A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定
答案
8.B 解析:
∵$x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根,
∴$ax_0^2+2x_0+c=0$,即$ax_0^2+2x_0=-c$,则$N-M=(ax_0+1)^2-(1-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+1-1+ac=a(ax_0^2+2x_0)+ac=-ac+ac=0$,
∴$M=N$.故选 B.
∵$x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的一个根,
∴$ax_0^2+2x_0+c=0$,即$ax_0^2+2x_0=-c$,则$N-M=(ax_0+1)^2-(1-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+1-1+ac=a(ax_0^2+2x_0)+ac=-ac+ac=0$,
∴$M=N$.故选 B.
9. 已知$m$为方程$x^2 + 3x - 2024 = 0$的根，那么$m^3 + 2m^2 - 2027m + 2024$的值为（
A.2025
B.0
C.2027
D.2021
B
）A.2025
B.0
C.2027
D.2021
答案
9.B 解析:
∵$m$为方程$x^2 + 3x - 2\ 024 = 0$的根,
∴$m^2+3m=2\ 024$,
∴$m^3 + 2m^2 - 2\ 027m + 2\ 024 = m(m^2+3m)-m^2-2\ 027m+2\ 024=2\ 024m-m^2-2\ 027m+2\ 024=-(m^2+3m)+2\ 024=-2\ 024+2\ 024=0$,故选 B.
∵$m$为方程$x^2 + 3x - 2\ 024 = 0$的根,
∴$m^2+3m=2\ 024$,
∴$m^3 + 2m^2 - 2\ 027m + 2\ 024 = m(m^2+3m)-m^2-2\ 027m+2\ 024=2\ 024m-m^2-2\ 027m+2\ 024=-(m^2+3m)+2\ 024=-2\ 024+2\ 024=0$,故选 B.
