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10. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的其中一根为 $ x = 2026 $，则关于 $ x $ 的方程 $ a(x+2)^2 + bx + 2b + c = 0 $ 必有一根为 ______。
答案
10.$x=2\ 024$ 解析:$a(x+2)^2+bx+2b+c=0$整理得$a(x+2)^2+b(x+2)+c=0$,
∵关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的其中一根为$x=2\ 026$,
∴由关于$x$的方程$a(x+2)^2+b(x+2)+c=0$,可得$x+2=2\ 026$,解得$x=2\ 024$.故答案为$x=2\ 024$.
∵关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的其中一根为$x=2\ 026$,
∴由关于$x$的方程$a(x+2)^2+b(x+2)+c=0$,可得$x+2=2\ 026$,解得$x=2\ 024$.故答案为$x=2\ 024$.
11. 在解决数学问题时,我们经常要回到基本定义与基本方法去思考.试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题:
已知a是关于x的方程$x^2 - (2k+1)x +4=0$及$3x^2 - (6k -1)x +8=0$的公共解,则a=
已知a是关于x的方程$x^2 - (2k+1)x +4=0$及$3x^2 - (6k -1)x +8=0$的公共解,则a=
1
,k=2
.答案
11.1 2 解析:
∵$a$是两个方程的公共解,
∴$\begin{cases} a^2-(2k+1)a+4=0, &①\\ 3a^2-(6k-1)a+8=0, &② \end{cases}$
由①×3-②得$a=1$,将$a=1$代入①,得$1-(2k+1)+4=0$,解得$k=2$.故$a$的值为1,$k$的值为2.
∵$a$是两个方程的公共解,
∴$\begin{cases} a^2-(2k+1)a+4=0, &①\\ 3a^2-(6k-1)a+8=0, &② \end{cases}$
由①×3-②得$a=1$,将$a=1$代入①,得$1-(2k+1)+4=0$,解得$k=2$.故$a$的值为1,$k$的值为2.
12. 用一条长 40 cm 的绳子能否围成一个面积为 $110\ \mathrm{cm}^2$ 的矩形(边长取整数)？如果能，说明围法；如果不能，说明理由。
答案
12.不能.理由:设矩形的长为$x$ cm,则宽为$(20-x)$cm,假设能围成,则$x(20-x)=110$.根据题意可知$0＜x＜20$.列表如下:
| $x$ | $···$ | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x(20-x)$ | $···$ | 84 | 91 | 96 | 99 | 100 | 99 | 96 | 91 | $···$ |
根据列表可知,当$x=10$时,所围的矩形面积最大为$100\ \mathrm{cm}^2$,
∴不能围成一个面积为$110\ \mathrm{cm}^2$的矩形.
| $x$ | $···$ | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x(20-x)$ | $···$ | 84 | 91 | 96 | 99 | 100 | 99 | 96 | 91 | $···$ |
根据列表可知,当$x=10$时,所围的矩形面积最大为$100\ \mathrm{cm}^2$,
∴不能围成一个面积为$110\ \mathrm{cm}^2$的矩形.
13. (1)若$m$是方程$x^2 - 2024x +1=0$的一个根，求代数式$m^2 -2025m + \frac{m^2 +1}{2024} +3$的值；
(2)已知$m$是方程$x^2 -x -2=0$的一个根，求代数式$(m^2 -m)(m - \frac{2}{m} +2024)$的值。
(2)已知$m$是方程$x^2 -x -2=0$的一个根，求代数式$(m^2 -m)(m - \frac{2}{m} +2024)$的值。
答案
13.(1)
∵$m$是方程$x^2 - 2\ 024x +1=0$的一个根,
∴$m^2-2\ 024m+1=0$,
∴$m^2=2\ 024m-1$,
∴原式$=2\ 024m-1-2\ 025m+\frac{2\ 024m-1+1}{2\ 024}+3=-1-m+m+3=2$.
(2)
∵$m$是方程$x^2 -x -2=0$的一个根,
∴$m^2-m-2=0$,
∴$m^2-m=2$,$m^2-2=m$,
∴原式$=2( \frac{m^2-2}{m}+2\ 024 )=2( \frac{m}{m}+2\ 024 )=2×(1+2\ 024)=4\ 050$.
∵$m$是方程$x^2 - 2\ 024x +1=0$的一个根,
∴$m^2-2\ 024m+1=0$,
∴$m^2=2\ 024m-1$,
∴原式$=2\ 024m-1-2\ 025m+\frac{2\ 024m-1+1}{2\ 024}+3=-1-m+m+3=2$.
(2)
∵$m$是方程$x^2 -x -2=0$的一个根,
∴$m^2-m-2=0$,
∴$m^2-m=2$,$m^2-2=m$,
∴原式$=2( \frac{m^2-2}{m}+2\ 024 )=2( \frac{m}{m}+2\ 024 )=2×(1+2\ 024)=4\ 050$.
14. 在我们的教科书中选取了一些具体值并将它们代入要解的一元二次方程中,大致估计出一元二次方程解的范围,再在这个范围内逐步加细赋值,进而逐步估计出一元二次方程的近似解.下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法,以方程 $x^2 - 3x - 1 = 0$ 为
例:因为 $x≠0$,所以先将其变形为 $x=3+\frac{1}{x}$,
用 $3+\frac{1}{x}$ 代替 $x$,得 $x=3+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}$.反复若干
次用 $3+\frac{1}{x}$ 代替 $x$,就得到 $x=3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}}}}$.
可以猜想,随着替代次数的不断增加,右式最后的 $\frac{1}{x}$ 对整个式子的值的影响将越来越小,
因此可以根据需要,在适当时候把 $\frac{1}{x}$ 忽略不计.例如,当忽略 $x=3+\frac{1}{x}$ 中的 $\frac{1}{x}$ 时,就得到 $x=3$;当忽略 $x=3+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}$ 中的 $\frac{1}{x}$ 时,就得到 $x=3+\frac{1}{3}$;如此等等,于是可以得到一系列分数:
$3,3+\frac{1}{3},3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}},3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}},···$,即 $3,\frac{10}{3},\frac{33}{10},\frac{109}{33},···$,可以发现它们越来越趋于稳定,事实上,这些数越来越近似于方程 $x^2 - 3x -1=0$ 的正根,而且它的算法也很简单,就是以3为第一个近似值,然后不断地求倒数,再加3而已.请你模仿上述方法,估计出方程 $x^2 -4x -1=0$ 的正根.(精确到0.01)
例:因为 $x≠0$,所以先将其变形为 $x=3+\frac{1}{x}$,
用 $3+\frac{1}{x}$ 代替 $x$,得 $x=3+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}$.反复若干
次用 $3+\frac{1}{x}$ 代替 $x$,就得到 $x=3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}}}}$.
可以猜想,随着替代次数的不断增加,右式最后的 $\frac{1}{x}$ 对整个式子的值的影响将越来越小,
因此可以根据需要,在适当时候把 $\frac{1}{x}$ 忽略不计.例如,当忽略 $x=3+\frac{1}{x}$ 中的 $\frac{1}{x}$ 时,就得到 $x=3$;当忽略 $x=3+\frac{1}{3+\frac{1}{x}}$ 中的 $\frac{1}{x}$ 时,就得到 $x=3+\frac{1}{3}$;如此等等,于是可以得到一系列分数:
$3,3+\frac{1}{3},3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}},3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}},···$,即 $3,\frac{10}{3},\frac{33}{10},\frac{109}{33},···$,可以发现它们越来越趋于稳定,事实上,这些数越来越近似于方程 $x^2 - 3x -1=0$ 的正根,而且它的算法也很简单,就是以3为第一个近似值,然后不断地求倒数,再加3而已.请你模仿上述方法,估计出方程 $x^2 -4x -1=0$ 的正根.(精确到0.01)
答案
14.因为$x≠0$,所以先将方程变形为$x=4+\frac{1}{x}$.反复用$4+\frac{1}{x}$代替$\frac{1}{x}$中的$x$,得$x=4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{x}}}}$.忽略$\frac{1}{x}$,得$x=4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4}}}≈4.24$,
∴可估计方程$x^2-4x-1=0$的正根约为4.24.
∴可估计方程$x^2-4x-1=0$的正根约为4.24.
