根据正比例函数表达式$y=x$，描述这个函数的图象具有哪些特征？画画看，与你的想法一样吗？

解：
一、绘制函数$y=x$的图象
1. 列表：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
|-----|---|------|------|-----|-----|-----|---|
| $y=x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
2. 描点：在平面直角坐标系中描出点$(-2,-2)$、$(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,2)$；
3. 连线：将描出的所有点用直线顺次连接，得到$y=x$的函数图象。
二、函数图象的特征
1. 图象是一条经过原点$(0,0)$的直线；
2. 图象经过第一、第三象限；
3. 图象从左向右呈上升趋势，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大；
4. 直线上任意一点的横坐标与纵坐标相等，直线与$x$轴正方向的夹角为$45°$。
实际绘制出的图象和上述特征描述完全一致。

【分析】
解决本题首先要用到描点法画函数图象的通用步骤，先选取具有代表性的自变量取值，计算对应的函数值完成列表，再在平面直角坐标系中描点、连线得到函数图象；得到图象后从形状、经过的特殊点、所在象限、增减性、坐标对应关系等角度观察，即可总结出图象的特征，最后将实际画图结果和猜想对比验证即可。
【解析】
一、绘制函数$y=x$的图象
1. 列表：选取典型的$x$值，计算对应$y=x$的值，结果如下：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
|-----|---|------|------|-----|-----|-----|---|
| $y=x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
2. 描点：在平面直角坐标系中，依次描出点$(-2,-2)$、$(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,1)$、$(2,2)$；
3. 连线：将描出的所有点用直线顺次连接，即可得到$y=x$的函数图象。
二、总结函数图象的特征
观察绘制出的直线，可得到如下特征：
1. 图象是一条经过原点$(0,0)$的直线；
2. 图象经过第一、第三象限；
3. 图象从左向右呈上升趋势，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大；
4. 直线上任意一点的横坐标与纵坐标相等，直线与$x$轴正方向的夹角为$45°$。
实际绘制出的图象和上述特征描述完全一致。
【答案】
$y=x$的图象特征：①是经过原点$(0,0)$的直线；②经过第一、第三象限；③从左向右上升，$y$随$x$的增大而增大；④直线上任意点的横、纵坐标相等，与$x$轴正方向夹角为$45°$；实际绘制的图象与特征描述一致。
【知识点】
描点法作函数图象、正比例函数的图象与性质
【点评】
本题侧重基础能力的考察，既要求掌握描点法画函数图象的操作方法，也需要具备从图象中总结函数性质的观察归纳能力，动手画图的过程能帮助更直观地理解函数的变化规律，是后续学习其他一次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8

例 在同一平面直角坐标系中，画出下列正比例函数的图象.
(1) $y=2x$； (2) $y=\frac{1}{3}x$； (3) $y=-1.5x$； (4) $y=-4x$.

解：
正比例函数的图象是经过原点$(0,0)$的直线，根据“两点确定一条直线”，只需再确定一个非原点的点，过该点与原点画直线即可得到对应函数的图象：
(1) 对于函数$y=2x$：
取$x=1$，得$y=2$，得到点$(1,2)$，过点$(0,0)$和$(1,2)$画直线，即为$y=2x$的图象。
(2) 对于函数$y=\frac{1}{3}x$：
取$x=3$，得$y=1$，得到点$(3,1)$，过点$(0,0)$和$(3,1)$画直线，即为$y=\frac{1}{3}x$的图象。
(3) 对于函数$y=-1.5x$：
取$x=2$，得$y=-3$，得到点$(2,-3)$，过点$(0,0)$和$(2,-3)$画直线，即为$y=-1.5x$的图象。
(4) 对于函数$y=-4x$：
取$x=1$，得$y=-4$，得到点$(1,-4)$，过点$(0,0)$和$(1,-4)$画直线，即为$y=-4x$的图象。
在同一平面直角坐标系中画出上述四条直线即为所求。

【分析】
要画正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数的图象是一条经过原点$(0,0)$的直线。根据直线的基本性质“两点确定一条直线”，我们不需要描出多个点来连线，只需要再找到1个除原点外、坐标为整数的方便描点的点，过该点和原点画直线，就能得到对应正比例函数的图象。选非原点的点时，通常取x为正整数，代入函数解析式计算出y的值，若x取1时y为分数，可选取x为k的分母的最小正整数，保证y为整数，降低描点难度。
【解析】
正比例函数的图象是经过原点$(0,0)$的直线，根据“两点确定一条直线”，只需再确定一个非原点的点，过该点与原点画直线即可得到对应函数的图象：
(1) 对于函数$y=2x$：
取$x=1$，得$y=2$，得到点$(1,2)$，过点$(0,0)$和$(1,2)$画直线，即为$y=2x$的图象。
(2) 对于函数$y=\frac{1}{3}x$：
取$x=3$，得$y=1$，得到点$(3,1)$，过点$(0,0)$和$(3,1)$画直线，即为$y=\frac{1}{3}x$的图象。
(3) 对于函数$y=-1.5x$：
取$x=2$，得$y=-3$，得到点$(2,-3)$，过点$(0,0)$和$(2,-3)$画直线，即为$y=-1.5x$的图象。
(4) 对于函数$y=-4x$：
取$x=1$，得$y=-4$，得到点$(1,-4)$，过点$(0,0)$和$(1,-4)$画直线，即为$y=-4x$的图象。
在同一平面直角坐标系中画出上述四条直线即为所求。
【答案】
在同一坐标系中分别过以下两点画直线：①$(0,0)$和$(1,2)$；②$(0,0)$和$(3,1)$；③$(0,0)$和$(2,-3)$；④$(0,0)$和$(1,-4)$，所得四条直线即为所求的四个函数的图象。
【知识点】
正比例函数图象特征；两点法画函数图象；两点确定一条直线
【点评】
本题是正比例函数作图的基础题型，核心是利用正比例函数图象过原点的性质，结合两点法简化作图流程，选点时优先选择横纵坐标均为整数的点，可提升作图的准确性和速度。
【难度系数】
0.8

（1）已知正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象过点$(-1,2)$，则这个正比例函数的表达式为()。

A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\dfrac{1}{2}x$

A

【分析】
要解决这道题，首先明确正比例函数的基本特征：函数图象上任意一点的坐标都满足函数表达式$y=kx$。已知函数过点$(-1,2)$，我们只需要将该点的横坐标$x=-1$、纵坐标$y=2$代入表达式，就可以得到关于系数$k$的一元一次方程，解出$k$的值后就能确定正比例函数的表达式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象过点$(-1,2)$
∴将$x=-1$，$y=2$代入$y=kx$中，得：
$2 = k×(-1)$
解得$k=-2$
∴这个正比例函数的表达式为$y=-2x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考察函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握待定系数法求解析式的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9

（2）已知正比例函数$y=kx(k≠0)$，若$x$的值从1增加到2时，$y$的值减少了3，则$k$的值为（）。

A.3
B.$-3$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

B

【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的基本形式，函数值y随x的取值变化而变化。我们可以先分别计算出x=1和x=2时对应的y值，再结合“x从1增加到2时y的值减少了3”的条件，列出关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
当x=1时，代入正比例函数$y=kx$，可得$y_1 = k×1 = k$；
当x=2时，代入正比例函数$y=kx$，可得$y_2 = k×2 = 2k$；
根据题意，x从1增加到2时y的值减少了3，即后来的y值比原来的y值小3，可得等量关系：$y_2 = y_1 - 3$；
将$y_1=k$、$y_2=2k$代入等量关系得：$2k = k - 3$；
移项计算得：$2k - k = -3$，即$k=-3$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义，一元一次方程的求解
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查自变量与函数值的对应关系，解题的关键是准确理解“y的值减少了3”的含义，正确列出方程，只要理清数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

2. 正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象一定经过点.

$\boldsymbol{(0,0)}$

【分析】
要确定正比例函数图象一定经过的点，核心是找无论参数$k$取任意非0值，都满足函数解析式$y=kx$的点：即找$x$的取值使得解析式中$k$被消去，$y$的值不受$k$影响。当$x=0$时，不管$k$取何非0值，计算得$y=0$，因此可确定恒过的点。
【解析】
对于正比例函数$y=kx(k\ne0)$，将$x=0$代入解析式，可得：
$y=k×0=0$
即无论$k$取任何不为0的实数，点$(0,0)$始终满足该正比例函数的解析式，因此其图象一定经过点$(0,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(0,0)}$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 函数图象与解析式的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察正比例函数的基本特征，掌握“求函数恒过点时，代入取值消去参数”的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3. 已知点(2,a)在正比例函数$y=2x$的图象上，则$a=$.

$\boldsymbol{4}$

【分析】
我们知道，若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标满足这个函数的解析式。本题给出点(2,a)在正比例函数y=2x的图象上，因此只需将点的横坐标x=2代入函数解析式，计算得到的y值就是a的取值。
【解析】
∵ 点(2,a)在正比例函数y=2x的图象上
∴ 将x=2代入y=2x，得：
a = 2×2 = 4
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 点与函数图象的关系
2. 正比例函数求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查点在函数图象上的坐标特征，只需掌握“点在图象上则坐标满足函数解析式”这一性质，代入数值计算即可求解，计算量小。
【难度系数】
0.9

4. 在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数$y=3x$和$y=-3x$的图象.

解：
利用两点法绘制正比例函数的图象：
1. 绘制$y=3x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=3$，得到两个点的坐标$(0,0)$、$(1,3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为$y=3x$的图象。
2. 绘制$y=-3x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-3$，得到两个点的坐标$(0,0)$、$(1,-3)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为$y=-3x$的图象。

【分析】
首先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，结合“两点确定一条直线”的几何性质，绘制正比例函数图象时只需找到图象上两个点，描点后过两点作直线即可。为了计算简便，通常选择原点$(0,0)$和$x=1$时对应的点，分别计算两个函数对应点的坐标，再依次描点连线就能完成作图。
【解析】
利用两点法绘制正比例函数的图象：
1. 绘制$y=3x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=3$，得到两个点的坐标$(0,0)$、$(1,3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为$y=3x$的图象。
2. 绘制$y=-3x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-3$，得到两个点的坐标$(0,0)$、$(1,-3)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为$y=-3x$的图象。
【答案】
按照上述步骤描点连线得到的两条直线即为所求图象，作图步骤如下：
1. 描点$(0,0)$、$(1,3)$，过两点作直线得$y=3x$的图象；
2. 描点$(0,0)$、$(1,-3)$，过两点作直线得$y=-3x$的图象。
【知识点】
正比例函数的图象特征；两点法画函数图象
【点评】
本题是正比例函数图象绘制的基础题型，核心考察对正比例函数过原点的特征的理解，以及两点法作图的技能掌握，熟练掌握该方法是后续学习一次函数图象与性质的重要基础。
【难度系数】
0.9