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5. 已知正比例函数 $ y=kx(k≠0) $ 的图象过点 $ (3,-6) $。
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3) 若 $ (m,2) $ 在这个函数图象上，求 $ m $ 的值。
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3) 若 $ (m,2) $ 在这个函数图象上，求 $ m $ 的值。
答案
解：
(1) 将点$(3,-6)$代入$y=kx$，得：
$-6=3k$
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该函数解析式为$y=-2x$。
正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为该函数的图象。
(3) 将点$(m,2)$代入$y=-2x$，得：
$2=-2m$
解得$m=-1$。
(1) 将点$(3,-6)$代入$y=kx$，得：
$-6=3k$
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该函数解析式为$y=-2x$。
正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为该函数的图象。
(3) 将点$(m,2)$代入$y=-2x$，得：
$2=-2m$
解得$m=-1$。
解析
【分析】
本题围绕正比例函数的基础知识点展开，解题思路清晰：(1) 函数图象上的点的坐标必然满足函数解析式，因此将已知点$(3,-6)$代入$y=kx$，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k值；(2) 正比例函数的图象是过原点的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，选取两个计算简便的点（通常选原点和x=1对应的点），描点后连线即可得到函数图象；(3) 同理，点$(m,2)$在函数图象上，将其坐标代入已求出的函数解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 将点$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，得：
$\quad -6=3k$
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该函数解析式为$y=-2x$。
正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为该函数的图象。
(3) 将点$(m,2)$代入$y=-2x$，得：
$\quad 2=-2m$
解得$m=-1$。
【答案】
(1) $k=-2$；(2) 过点$(0,0)$和$(1,-2)$的直线即为$y=-2x$的图象；(3) $m=-1$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数图象性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础典型题，核心考查“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的基本规律，同时考察正比例函数图象的画法，解题逻辑清晰，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
本题围绕正比例函数的基础知识点展开，解题思路清晰：(1) 函数图象上的点的坐标必然满足函数解析式，因此将已知点$(3,-6)$代入$y=kx$，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k值；(2) 正比例函数的图象是过原点的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，选取两个计算简便的点（通常选原点和x=1对应的点），描点后连线即可得到函数图象；(3) 同理，点$(m,2)$在函数图象上，将其坐标代入已求出的函数解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 将点$(3,-6)$代入$y=kx(k≠0)$，得：
$\quad -6=3k$
解得$k=-2$。
(2) 由(1)得该函数解析式为$y=-2x$。
正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线即为该函数的图象。
(3) 将点$(m,2)$代入$y=-2x$，得：
$\quad 2=-2m$
解得$m=-1$。
【答案】
(1) $k=-2$；(2) 过点$(0,0)$和$(1,-2)$的直线即为$y=-2x$的图象；(3) $m=-1$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数图象性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础典型题，核心考查“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的基本规律，同时考察正比例函数图象的画法，解题逻辑清晰，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
6. 已知点$A(-1,a)$在正比例函数$y=-3x$的图象上，点$B$与点$A$关于$y$轴对称，点$C$与点$A$关于原点对称.
（1）求$a$的值，以及点$B,C$的坐标；
（2）已知点$D$的坐标为$(1,m)$，且$△ ABD$的面积是$6$，求$m$的值.
（1）求$a$的值，以及点$B,C$的坐标；
（2）已知点$D$的坐标为$(1,m)$，且$△ ABD$的面积是$6$，求$m$的值.
答案
解：
(1) 将点$A(-1,a)$代入正比例函数$y=-3x$，得
$a=-3×(-1)=3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,3)$。
$\because$点$B$与点$A$关于$y$轴对称，
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,3)$。
$\because$点$C$与点$A$关于原点对称，
$\therefore$点$C$的坐标为$(1,-3)$。
(2) 由$A(-1,3)$，$B(1,3)$可知，$AB// x$轴，$AB$的长度为$1-(-1)=2$。
点$D(1,m)$到直线$AB$（即直线$y=3$）的距离为$|m-3|$，
由$S_{△ ABD}=6$，得
$\frac{1}{2}× AB× |m-3|=6$，
代入$AB=2$，得
$\frac{1}{2}×2×|m-3|=6$，
即$|m-3|=6$，
解得$m=9$或$m=-3$。
(1) 将点$A(-1,a)$代入正比例函数$y=-3x$，得
$a=-3×(-1)=3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,3)$。
$\because$点$B$与点$A$关于$y$轴对称，
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,3)$。
$\because$点$C$与点$A$关于原点对称，
$\therefore$点$C$的坐标为$(1,-3)$。
(2) 由$A(-1,3)$，$B(1,3)$可知，$AB// x$轴，$AB$的长度为$1-(-1)=2$。
点$D(1,m)$到直线$AB$（即直线$y=3$）的距离为$|m-3|$，
由$S_{△ ABD}=6$，得
$\frac{1}{2}× AB× |m-3|=6$，
代入$AB=2$，得
$\frac{1}{2}×2×|m-3|=6$，
即$|m-3|=6$，
解得$m=9$或$m=-3$。
解析
【分析】
（1）求$a$的值时，利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点$A$坐标代入正比例函数即可计算；得到$A$点坐标后，根据“关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律求$B$点坐标，根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律求$C$点坐标。
（2）先观察$A$、$B$两点坐标特征，可得$AB$平行于$x$轴，先算出$AB$的长度，再确定点$D$到直线$AB$的距离为两点纵坐标差的绝对值，最后代入三角形面积公式列方程，解绝对值方程即可得到$m$的取值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-1,a)$代入正比例函数$y=-3x$，得
$a=-3×(-1)=3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,3)$。
$\because$点$B$与点$A$关于$y$轴对称，
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,3)$。
$\because$点$C$与点$A$关于原点对称，
$\therefore$点$C$的坐标为$(1,-3)$。
(2) 由$A(-1,3)$，$B(1,3)$可知，$AB// x$轴，$AB$的长度为$1-(-1)=2$。
点$D(1,m)$到直线$AB$（即直线$y=3$）的距离为$|m-3|$，
由$S_{△ ABD}=6$，得
$\frac{1}{2}× AB× |m-3|=6$，
代入$AB=2$，得
$\frac{1}{2}×2×|m-3|=6$，
即$|m-3|=6$，
解得$m=9$或$m=-3$。
【答案】
(1) $a=3$，$B(1,3)$，$C(1,-3)$；
(2) $m=9$或$m=-3$。
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 对称点的坐标规律
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，既考查了正比例函数、对称点坐标的基础知识点，也考查了利用坐标计算图形面积的能力，解题时要注意第二问涉及绝对值运算，需考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求$a$的值时，利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点$A$坐标代入正比例函数即可计算；得到$A$点坐标后，根据“关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律求$B$点坐标，根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律求$C$点坐标。
（2）先观察$A$、$B$两点坐标特征，可得$AB$平行于$x$轴，先算出$AB$的长度，再确定点$D$到直线$AB$的距离为两点纵坐标差的绝对值，最后代入三角形面积公式列方程，解绝对值方程即可得到$m$的取值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 将点$A(-1,a)$代入正比例函数$y=-3x$，得
$a=-3×(-1)=3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,3)$。
$\because$点$B$与点$A$关于$y$轴对称，
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,3)$。
$\because$点$C$与点$A$关于原点对称，
$\therefore$点$C$的坐标为$(1,-3)$。
(2) 由$A(-1,3)$，$B(1,3)$可知，$AB// x$轴，$AB$的长度为$1-(-1)=2$。
点$D(1,m)$到直线$AB$（即直线$y=3$）的距离为$|m-3|$，
由$S_{△ ABD}=6$，得
$\frac{1}{2}× AB× |m-3|=6$，
代入$AB=2$，得
$\frac{1}{2}×2×|m-3|=6$，
即$|m-3|=6$，
解得$m=9$或$m=-3$。
【答案】
(1) $a=3$，$B(1,3)$，$C(1,-3)$；
(2) $m=9$或$m=-3$。
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 对称点的坐标规律
3. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，既考查了正比例函数、对称点坐标的基础知识点，也考查了利用坐标计算图形面积的能力，解题时要注意第二问涉及绝对值运算，需考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
