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(1)在一个周长是12 cm的正方形内,剪出一个最大的圆,这个圆的周长是(
9.42
)cm,面积是(7.065
)cm²。答案
9.42；7.065
(2)将一个半径为6 cm的圆形纸片沿直径对折后,变成半圆形。这个半圆形纸片的周长是(
30.84
)cm,面积是(56.52
)cm²。答案
30.84；56.52
(3)如图,在一个直径是12 cm的半圆内画一个三角形,当h为5.25 cm时,涂色部分的面积是(
25.02
)cm²。点A在半圆的弧上移动,当三角形的面积是(36
)cm²时,涂色部分的面积最小。答案
25.02；36
(4)一个正方形的边长与一个圆的半径相同,正方形周长是圆周长的$\frac{( )}{( )}$。(结果保留π)
答案
$\frac{2}{π}$
2. 如图，王爷爷承包了一片圆形的鱼塘，他准备在中间正方形的区域内养鱼，其余涂色部分种植水草。
(1)王爷爷养鱼区域的面积有多少平方米？
(2)若种植水草的区域每平方米可以收获水草45 kg，一共可以收获水草多少千克？
(1)王爷爷养鱼区域的面积有多少平方米？
(2)若种植水草的区域每平方米可以收获水草45 kg，一共可以收获水草多少千克？
答案
(1)$180×180÷2=16200(\mathrm{m}^2)$
答:王爷爷养鱼区域的面积有$16200\ \mathrm{m}^2$。
(2)$180÷2=90(\mathrm{m})\ \ \ 3.14×90^2=25434(\mathrm{m}^2)$
$25434-16200=9234(\mathrm{m}^2)\ \ \ 9234×45=415530(\mathrm{kg})$
答:一共可以收获水草415530 kg。
答:王爷爷养鱼区域的面积有$16200\ \mathrm{m}^2$。
(2)$180÷2=90(\mathrm{m})\ \ \ 3.14×90^2=25434(\mathrm{m}^2)$
$25434-16200=9234(\mathrm{m}^2)\ \ \ 9234×45=415530(\mathrm{kg})$
答:一共可以收获水草415530 kg。
3. 新情境 数学文化 《九章算术》中记载着一种求圆环面积的方法:“并中外周而半之,以径乘之为积步。”意思是:圆环面积=(内圆周长+外圆周长)÷2×径,径的长度是外圆半径与内圆半径的差。
这种方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开,展开后得到一个近似等腰梯形(如下图)。在这个过程中,面积保持不变。如果梯形的上底是6.28 m,下底是12.56 m,那么圆环形地垫的面积是多少平方米？
这种方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开,展开后得到一个近似等腰梯形(如下图)。在这个过程中,面积保持不变。如果梯形的上底是6.28 m,下底是12.56 m,那么圆环形地垫的面积是多少平方米？
答案
$6.28÷3.14÷2=1(\mathrm{m})\ \ \ 12.56÷3.14÷2=2(\mathrm{m})$
$(6.28+12.56)÷2×(2-1)=9.42(\mathrm{m}^2)$
答:圆环形地垫的面积是$9.42\ \mathrm{m}^2$。
数学思想
转化思想
本题将圆环面积巧妙地转化成梯形面积,将不熟悉的图形转化成熟悉的图形进行计算,利用已知知识解决未知问题,体现了古代数学的智慧。
$(6.28+12.56)÷2×(2-1)=9.42(\mathrm{m}^2)$
答:圆环形地垫的面积是$9.42\ \mathrm{m}^2$。
数学思想
转化思想
本题将圆环面积巧妙地转化成梯形面积,将不熟悉的图形转化成熟悉的图形进行计算,利用已知知识解决未知问题,体现了古代数学的智慧。
4.（浙江宁波）求出图中涂色部分的周长和面积。
答案
$45°÷360°=\frac{1}{8}$
周长:$\frac{1}{8}×3.14×12×2+\frac{1}{2}×3.14×12+12=40.26(\mathrm{cm})$
面积:$\frac{1}{8}×3.14×12^2-\frac{1}{2}×12×(12÷2)=20.52(\mathrm{cm}^2)$
答:图中涂色部分的周长为40.26 cm,面积为$20.52\ \mathrm{cm}^2$。
提示:题图中涂色部分的周长等于$\frac{1}{2}$个直径是12 cm的圆的周长加上$\frac{1}{8}$个半径是12 cm的圆的周长再加上12 cm。涂色部分的面积等于$\frac{1}{8}$个半径是12 cm的圆的面积减去底为12 cm、高为$12÷2=6(\mathrm{cm})$的三角形的面积。
周长:$\frac{1}{8}×3.14×12×2+\frac{1}{2}×3.14×12+12=40.26(\mathrm{cm})$
面积:$\frac{1}{8}×3.14×12^2-\frac{1}{2}×12×(12÷2)=20.52(\mathrm{cm}^2)$
答:图中涂色部分的周长为40.26 cm,面积为$20.52\ \mathrm{cm}^2$。
提示:题图中涂色部分的周长等于$\frac{1}{2}$个直径是12 cm的圆的周长加上$\frac{1}{8}$个半径是12 cm的圆的周长再加上12 cm。涂色部分的面积等于$\frac{1}{8}$个半径是12 cm的圆的面积减去底为12 cm、高为$12÷2=6(\mathrm{cm})$的三角形的面积。
5.（强基素养题）小南设计了一个指尖陀螺，如图，指尖陀螺的剖面外缘由8段弧组成，且每段弧的直径都是2 cm，中间留出直径为12 mm的孔用于主轴承，四个角处分别留出直径为16 mm的孔用于配重轴承。这个剖面的面积是(
10.24
)$\boldsymbol{cm^2}$。($\boldsymbol{π}$取3)答案
10.24
提示:2 cm=20 mm,指尖陀螺剖面的面积等于边长为$20×2=40(\mathrm{mm})$的正方形的面积减去中间直径为12 mm圆的面积,再减去边上4个直径为20 mm的半圆的面积,即2个直径为20 mm的圆的面积,再减去4个角上4个直径为16 mm的扇形的面积,即1个直径为16 mm的圆的面积,再加上外面4个$\frac{3}{4}$的圆环的面积,圆环的外圆直径是20 mm,内圆直径是16 mm,根据圆、圆环的面积公式,代入数据计算:$40×40-2×3×(20÷2)^2-3×(12÷2)^2-3×(16÷2)^2+4×\frac{3}{4}×3×[(20÷2)^2-(16÷2)^2] = 1024\ (\mathrm{mm}^2)$,$1024\ \mathrm{mm}^2 = 10.24\ \mathrm{cm}^2$。
提示:2 cm=20 mm,指尖陀螺剖面的面积等于边长为$20×2=40(\mathrm{mm})$的正方形的面积减去中间直径为12 mm圆的面积,再减去边上4个直径为20 mm的半圆的面积,即2个直径为20 mm的圆的面积,再减去4个角上4个直径为16 mm的扇形的面积,即1个直径为16 mm的圆的面积,再加上外面4个$\frac{3}{4}$的圆环的面积,圆环的外圆直径是20 mm,内圆直径是16 mm,根据圆、圆环的面积公式,代入数据计算:$40×40-2×3×(20÷2)^2-3×(12÷2)^2-3×(16÷2)^2+4×\frac{3}{4}×3×[(20÷2)^2-(16÷2)^2] = 1024\ (\mathrm{mm}^2)$,$1024\ \mathrm{mm}^2 = 10.24\ \mathrm{cm}^2$。
