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1. 计算$-1+\tan 60°+\sqrt{2}\sin 45°-2\cos 30°+π^0$结果是 （
A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道实数混合运算题，首先需要回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，以及零指数幂的运算规则：任何非零数的0次幂都等于1，然后将各个值代入原式，按照先乘除后加减的顺序逐步计算，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
首先写出各特殊值：
$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$π^0=1$（$π≠0$，符合零指数幂运算要求）
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+1\\&=-1+\sqrt{3}+\frac{2}{2}-\sqrt{3}+1\\&=-1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1\\&=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-1+1+1)\\&=1\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，零指数幂运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是准确记忆常见特殊锐角的三角函数值，计算时注意二次根式的乘法规则和运算顺序，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道实数混合运算题，首先需要回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，以及零指数幂的运算规则：任何非零数的0次幂都等于1，然后将各个值代入原式，按照先乘除后加减的顺序逐步计算，最后合并化简即可得到结果。
【解析】
首先写出各特殊值：
$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$π^0=1$（$π≠0$，符合零指数幂运算要求）
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+1\\&=-1+\sqrt{3}+\frac{2}{2}-\sqrt{3}+1\\&=-1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1\\&=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-1+1+1)\\&=1\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，零指数幂运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是准确记忆常见特殊锐角的三角函数值，计算时注意二次根式的乘法规则和运算顺序，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中,若$(2\cos A - \sqrt{2})^2 + |1 - \tan B| = 0$,则$△ ABC$一定是 （
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
D
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0。由此我们可以得到关于cosA和tanB的两个等式，分别求出cosA、tanB的值，再结合特殊锐角的三角函数值确定∠A和∠B的度数，最后根据三角形内角和算出∠C的度数，就能判断三角形的形状。
【解析】
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(2\cos A - \sqrt{2})^2 ≥ 0$，$|1 - \tan B| ≥ 0$，且二者之和为0
∴ $\begin{cases}2\cos A - \sqrt{2} = 0 \\ 1 - \tan B = 0\end{cases}$
解得：$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B = 1$
又
∵ ∠A、∠B是△ABC的内角，均为锐角
∴ ∠A = 45°，∠B = 45°
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 45° = 90°
∴ △ABC是等腰直角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握非负数的性质和常见特殊锐角的三角函数值，通过求出三角形三个内角的度数即可判断三角形的类型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0。由此我们可以得到关于cosA和tanB的两个等式，分别求出cosA、tanB的值，再结合特殊锐角的三角函数值确定∠A和∠B的度数，最后根据三角形内角和算出∠C的度数，就能判断三角形的形状。
【解析】
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(2\cos A - \sqrt{2})^2 ≥ 0$，$|1 - \tan B| ≥ 0$，且二者之和为0
∴ $\begin{cases}2\cos A - \sqrt{2} = 0 \\ 1 - \tan B = 0\end{cases}$
解得：$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B = 1$
又
∵ ∠A、∠B是△ABC的内角，均为锐角
∴ ∠A = 45°，∠B = 45°
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 45° = 90°
∴ △ABC是等腰直角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握非负数的性质和常见特殊锐角的三角函数值，通过求出三角形三个内角的度数即可判断三角形的类型。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$\tan^2 30° + \sqrt{3}\tan 60° - \sin^2 45° =$
$\frac{17}{6}$
.答案
3.$\frac{17}{6}$
解析
【分析】
这道题考查特殊锐角的三角函数值与实数混合运算，解题思路分为两步：第一步先准确回忆30°、45°、60°三个特殊角的正切、正弦函数值；第二步将对应值代入原式，按照“先算乘方、再算乘法、最后算加减”的实数运算顺序逐步计算即可，计算时注意通分不要出错。
【解析】
首先写出特殊角的三角函数值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + \sqrt{3}×\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \\&=\frac{3}{9} + 3 - \frac{2}{4} \\&=\frac{1}{3} + 3 - \frac{1}{2} \\&=\frac{2}{6} + \frac{18}{6} - \frac{3}{6} \\&=\frac{17}{6}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{17}{6}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，运算时严格遵循运算顺序即可得分，属于得分率较高的题型，易错点是记错三角函数值或乘方、通分计算失误。
【难度系数】
0.8
这道题考查特殊锐角的三角函数值与实数混合运算，解题思路分为两步：第一步先准确回忆30°、45°、60°三个特殊角的正切、正弦函数值；第二步将对应值代入原式，按照“先算乘方、再算乘法、最后算加减”的实数运算顺序逐步计算即可，计算时注意通分不要出错。
【解析】
首先写出特殊角的三角函数值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + \sqrt{3}×\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \\&=\frac{3}{9} + 3 - \frac{2}{4} \\&=\frac{1}{3} + 3 - \frac{1}{2} \\&=\frac{2}{6} + \frac{18}{6} - \frac{3}{6} \\&=\frac{17}{6}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{17}{6}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，运算时严格遵循运算顺序即可得分，属于得分率较高的题型，易错点是记错三角函数值或乘方、通分计算失误。
【难度系数】
0.8
4.如果α是锐角，$\sinα=\frac{1}{2}$，那么$\cos(90°-α)=$
$\frac{1}{2}$
.答案
4.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题有两种常见思路：思路1：直接运用互余锐角的三角函数恒等关系代换求解，无需计算角度，解题更便捷；思路2：先根据已知的$\sinα$的值和α是锐角的条件，求出α的具体度数，再计算$90°-α$的度数，最后代入求余弦值即可，两种方法都符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：根据互余两角的三角函数性质：对任意锐角α，均有$\cos(90°-α)=\sinα$。
已知$\sinα=\frac{1}{2}$，代入可得$\cos(90°-α)=\frac{1}{2}$。
方法二：
∵α是锐角，且$\sinα=\frac{1}{2}$，
∴$α=30°$，
∴$90°-α=90°-30°=60°$，
∴$\cos(90°-α)=\cos60°=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
互余角的三角函数关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过互余角的三角函数性质快速求解，也可以通过计算特殊角的三角函数值得出结果，主要考查对三角函数基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.9
解题有两种常见思路：思路1：直接运用互余锐角的三角函数恒等关系代换求解，无需计算角度，解题更便捷；思路2：先根据已知的$\sinα$的值和α是锐角的条件，求出α的具体度数，再计算$90°-α$的度数，最后代入求余弦值即可，两种方法都符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：根据互余两角的三角函数性质：对任意锐角α，均有$\cos(90°-α)=\sinα$。
已知$\sinα=\frac{1}{2}$，代入可得$\cos(90°-α)=\frac{1}{2}$。
方法二：
∵α是锐角，且$\sinα=\frac{1}{2}$，
∴$α=30°$，
∴$90°-α=90°-30°=60°$，
∴$\cos(90°-α)=\cos60°=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
互余角的三角函数关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过互余角的三角函数性质快速求解，也可以通过计算特殊角的三角函数值得出结果，主要考查对三角函数基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.9
5.计算：$\sin 38° 49' \approx \underline{\hspace{5em}}$.(精确到0.001)
答案
5.0.627
解析
【分析】
本题要求计算非特殊锐角的正弦值，无直接推导公式，需借助科学计算器求解。解题思路如下：首先确认计算器处于角度运算模式（若为弧度模式会导致结果错误）；其次处理度分单位，可直接用计算器度分秒功能输入，也可先将分换算为度（度分是60进制，1°=60'）；再计算对应角度的正弦值；最后按精确到0.001的要求四舍五入保留三位小数即可。
【解析】
步骤1：换算角度单位：
因为1°=60'，所以49' = 49÷60 ≈ 0.8167°，则38°49' ≈ 38 + 0.8167 = 38.8167°。
步骤2：用计算器计算正弦值：
将计算器调整为角度（DEG）模式，输入38.8167后按下sin键，可得$\sin 38.8167°≈0.6273$。
步骤3：取近似数：
要求精确到0.001，即保留三位小数，对第四位小数3进行四舍五入，得0.627。
【答案】
0.627
【知识点】
1. 计算器求锐角三角函数值
2. 度分秒的换算
3. 近似数的精确度
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题时需注意计算器要切换到角度模式，度分与度的换算遵循60进制，取近似值时要严格按照要求的精确度保留数位。
【难度系数】
0.9
本题要求计算非特殊锐角的正弦值，无直接推导公式，需借助科学计算器求解。解题思路如下：首先确认计算器处于角度运算模式（若为弧度模式会导致结果错误）；其次处理度分单位，可直接用计算器度分秒功能输入，也可先将分换算为度（度分是60进制，1°=60'）；再计算对应角度的正弦值；最后按精确到0.001的要求四舍五入保留三位小数即可。
【解析】
步骤1：换算角度单位：
因为1°=60'，所以49' = 49÷60 ≈ 0.8167°，则38°49' ≈ 38 + 0.8167 = 38.8167°。
步骤2：用计算器计算正弦值：
将计算器调整为角度（DEG）模式，输入38.8167后按下sin键，可得$\sin 38.8167°≈0.6273$。
步骤3：取近似数：
要求精确到0.001，即保留三位小数，对第四位小数3进行四舍五入，得0.627。
【答案】
0.627
【知识点】
1. 计算器求锐角三角函数值
2. 度分秒的换算
3. 近似数的精确度
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题时需注意计算器要切换到角度模式，度分与度的换算遵循60进制，取近似值时要严格按照要求的精确度保留数位。
【难度系数】
0.9
6.若$\tanα=0.575\ 8$，则锐角$α\approx$
$29°56'$
.(精确到$1'$)答案
6.$29°56'$
解析
【分析】
已知锐角的正切值求角度，需借助计算器的反正切（$\tan^{-1}$）功能求解，解题思路如下：首先确认计算器切换为角度模式，避免输出弧度值出错；其次调用反正切功能输入已知的正切值0.5758，得到以度为单位的小数形式的角度；最后将角度的小数部分按照$1°=60'$的进率换算为分，按要求精确到$1'$即可得到结果。
【解析】
1. 打开计算器，将计算模式调整为角度（DEG）模式；
2. 按下功能转换键（如shift/2ndF）后按tan键，调出反正切（$\tan^{-1}$）功能；
3. 输入数值0.5758，按下等号键，得到结果约为$29.933°$；
4. 进行度分换算：$29.933°$的整数部分为$29°$，小数部分$0.933°$换算为分：$0.933×60'\approx56'$；
因此锐角$α\approx29°56'$。
【答案】
$29°56'$
【知识点】
1. 已知三角函数值求锐角
2. 度分秒单位换算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查计算器的操作能力和度分单位换算能力，解题时要注意先确认计算器模式，换算时要牢记度与分的进率为60，严格按照精度要求取近似值。
【难度系数】
0.8
已知锐角的正切值求角度，需借助计算器的反正切（$\tan^{-1}$）功能求解，解题思路如下：首先确认计算器切换为角度模式，避免输出弧度值出错；其次调用反正切功能输入已知的正切值0.5758，得到以度为单位的小数形式的角度；最后将角度的小数部分按照$1°=60'$的进率换算为分，按要求精确到$1'$即可得到结果。
【解析】
1. 打开计算器，将计算模式调整为角度（DEG）模式；
2. 按下功能转换键（如shift/2ndF）后按tan键，调出反正切（$\tan^{-1}$）功能；
3. 输入数值0.5758，按下等号键，得到结果约为$29.933°$；
4. 进行度分换算：$29.933°$的整数部分为$29°$，小数部分$0.933°$换算为分：$0.933×60'\approx56'$；
因此锐角$α\approx29°56'$。
【答案】
$29°56'$
【知识点】
1. 已知三角函数值求锐角
2. 度分秒单位换算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查计算器的操作能力和度分单位换算能力，解题时要注意先确认计算器模式，换算时要牢记度与分的进率为60，严格按照精度要求取近似值。
【难度系数】
0.8
7. 下列等式成立的是 （
A.$\sin 45° + \cos 45° = 1$
B.$2\tan 30° = \tan 60°$
C.$2\sin 60° = \tan 45°$
D.$\sin^2 30° = \frac{1}{2}\cos 60°$
D
）A.$\sin 45° + \cos 45° = 1$
B.$2\tan 30° = \tan 60°$
C.$2\sin 60° = \tan 45°$
D.$\sin^2 30° = \frac{1}{2}\cos 60°$
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路是先牢记30°、45°、60°这三个常见特殊角的正弦、余弦、正切值，再将对应值逐一代入四个选项的左右两边进行计算，对比两边计算结果是否相等，即可判断等式是否成立。
【解析】
首先明确常用特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
逐一验证选项：
A选项：左边$\sin45°+\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠1$，等式不成立；
B选项：左边$2\tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，右边$\tan60°=\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}≠\sqrt{3}$，等式不成立；
C选项：左边$2\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，右边$\tan45°=1$，$\sqrt{3}≠1$，等式不成立；
D选项：左边$\sin^230°=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，右边$\frac{1}{2}\cos60°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，两边相等，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数运算
【点评】
本题属于基础题，核心是考查对特殊锐角三角函数值的记忆和基础运算能力，只要准确记忆各特殊角的三角函数值，代入计算即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路是先牢记30°、45°、60°这三个常见特殊角的正弦、余弦、正切值，再将对应值逐一代入四个选项的左右两边进行计算，对比两边计算结果是否相等，即可判断等式是否成立。
【解析】
首先明确常用特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
逐一验证选项：
A选项：左边$\sin45°+\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠1$，等式不成立；
B选项：左边$2\tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，右边$\tan60°=\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}≠\sqrt{3}$，等式不成立；
C选项：左边$2\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，右边$\tan45°=1$，$\sqrt{3}≠1$，等式不成立；
D选项：左边$\sin^230°=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，右边$\frac{1}{2}\cos60°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，两边相等，等式成立。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数运算
【点评】
本题属于基础题，核心是考查对特殊锐角三角函数值的记忆和基础运算能力，只要准确记忆各特殊角的三角函数值，代入计算即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
8.若一个等腰三角形腰上的高与腰的比为$1:\sqrt{2}$，则顶角为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$45°$或$135°$
D.$30°$或$150°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$45°$或$135°$
D.$30°$或$150°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时需先考虑等腰三角形腰上的高的位置存在两种情况：①顶角为锐角时，高在三角形内部；②顶角为钝角时，高在三角形外部（腰的延长线上），两种情况均需计算，不能遗漏。再结合高与腰的比值，在直角三角形中利用正弦的定义求解对应角度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时：
设等腰三角形为△ABC，AB=AC为腰，过B作BD⊥AC于D，BD为腰AC上的高。
由题意得$BD:AB=1:\sqrt{2}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ A=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此锐角$∠ A=45°$，即顶角为$45°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时：
设等腰三角形为△ABC，AB=AC为腰，顶角∠BAC为钝角，过B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，BD为腰AC上的高。
由题意得$BD:AB=1:\sqrt{2}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$∠ BAD=45°$，则顶角$∠ BAC=180°-45°=135°$。
综上，该等腰三角形的顶角为$45°$或$135°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、正弦的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略顶角为钝角时高在三角形外部的情况，解题时要全面考虑三角形高线的位置，结合三角函数定义分类计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
解题时需先考虑等腰三角形腰上的高的位置存在两种情况：①顶角为锐角时，高在三角形内部；②顶角为钝角时，高在三角形外部（腰的延长线上），两种情况均需计算，不能遗漏。再结合高与腰的比值，在直角三角形中利用正弦的定义求解对应角度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时：
设等腰三角形为△ABC，AB=AC为腰，过B作BD⊥AC于D，BD为腰AC上的高。
由题意得$BD:AB=1:\sqrt{2}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ A=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此锐角$∠ A=45°$，即顶角为$45°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时：
设等腰三角形为△ABC，AB=AC为腰，顶角∠BAC为钝角，过B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，BD为腰AC上的高。
由题意得$BD:AB=1:\sqrt{2}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$∠ BAD=45°$，则顶角$∠ BAC=180°-45°=135°$。
综上，该等腰三角形的顶角为$45°$或$135°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、正弦的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略顶角为钝角时高在三角形外部的情况，解题时要全面考虑三角形高线的位置，结合三角函数定义分类计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
9 设∠A、∠B、∠C都是锐角，若$\sin A=0.848$，$\cos B=0.454$，$\tan C=1.804$，则∠A、∠B、∠C的大小关系为
$∠ A＜∠ C＜∠ B$
.(用“＜”连接)答案
9.$∠ A＜∠ C＜∠ B$
解析
【分析】
要比较三个锐角的大小，我们可以利用锐角三角函数的性质：锐角的正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小。解题时可以先通过给定的三角函数值求出三个角的近似度数，再直接比较大小即可。
【解析】
1. 计算∠A的近似值：
已知$\sin A=0.848$，通过计算器反查锐角正弦值可得$∠ A\approx58°$；
2. 计算∠B的近似值：
已知$\cos B=0.454$，通过计算器反查锐角余弦值可得$∠ B\approx63°$；
3. 计算∠C的近似值：
已知$\tan C=1.804$，通过计算器反查锐角正切值可得$∠ C\approx61°$；
4. 比较角度大小：
因为$58°＜61°＜63°$，所以$∠ A＜∠ C＜∠ B$。
【答案】
$∠ A＜∠ C＜∠ B$
【知识点】
1. 锐角三角函数的增减性
2. 由三角函数值求锐角
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查锐角三角函数与角度的对应关系，解题时既可以通过计算各角近似值直接比较，也可以将不同类型的三角函数转化为同类型后结合增减性判断，掌握三角函数的增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要比较三个锐角的大小，我们可以利用锐角三角函数的性质：锐角的正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小。解题时可以先通过给定的三角函数值求出三个角的近似度数，再直接比较大小即可。
【解析】
1. 计算∠A的近似值：
已知$\sin A=0.848$，通过计算器反查锐角正弦值可得$∠ A\approx58°$；
2. 计算∠B的近似值：
已知$\cos B=0.454$，通过计算器反查锐角余弦值可得$∠ B\approx63°$；
3. 计算∠C的近似值：
已知$\tan C=1.804$，通过计算器反查锐角正切值可得$∠ C\approx61°$；
4. 比较角度大小：
因为$58°＜61°＜63°$，所以$∠ A＜∠ C＜∠ B$。
【答案】
$∠ A＜∠ C＜∠ B$
【知识点】
1. 锐角三角函数的增减性
2. 由三角函数值求锐角
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查锐角三角函数与角度的对应关系，解题时既可以通过计算各角近似值直接比较，也可以将不同类型的三角函数转化为同类型后结合增减性判断，掌握三角函数的增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10若$∠ A$为锐角，且满足$\sin^2 A + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sin A$，则$∠ A$的度数为
$30°$
。答案
10.$30°$
解析
【分析】
首先观察到给出的等式是关于$\sin A$的一元二次方程，解题思路分三步：第一步先将等式整理为标准的一元二次方程形式，第二步求解方程得到$\sin A$的可能取值，第三步结合$∠A$是锐角的限制条件，排除不符合锐角三角函数取值范围的解，再根据特殊角的正弦值确定$∠A$的度数。
【解析】
先对原方程进行整理：
$\sin^2 A + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sin A$
移项得：$\sin^2 A - \frac{3}{2}\sin A + \frac{1}{2} = 0$
两边同时乘2消去分母：$2\sin^2 A - 3\sin A + 1 = 0$
对左侧因式分解：$(2\sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$
解得：$\sin A = \frac{1}{2}$ 或 $\sin A = 1$
因为$∠A$为锐角，即$0°＜∠A＜90°$，而$\sin90°=1$，不符合锐角要求，故舍去$\sin A=1$的解。
当$\sin A=\frac{1}{2}$且$∠A$为锐角时，$∠A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 特殊角的正弦值
3. 锐角的定义
【点评】
本题是一元二次方程与锐角三角函数结合的基础题型，解题时要注意求出三角函数值后，需结合锐角的限制条件筛选出符合题意的解，牢记特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察到给出的等式是关于$\sin A$的一元二次方程，解题思路分三步：第一步先将等式整理为标准的一元二次方程形式，第二步求解方程得到$\sin A$的可能取值，第三步结合$∠A$是锐角的限制条件，排除不符合锐角三角函数取值范围的解，再根据特殊角的正弦值确定$∠A$的度数。
【解析】
先对原方程进行整理：
$\sin^2 A + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sin A$
移项得：$\sin^2 A - \frac{3}{2}\sin A + \frac{1}{2} = 0$
两边同时乘2消去分母：$2\sin^2 A - 3\sin A + 1 = 0$
对左侧因式分解：$(2\sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$
解得：$\sin A = \frac{1}{2}$ 或 $\sin A = 1$
因为$∠A$为锐角，即$0°＜∠A＜90°$，而$\sin90°=1$，不符合锐角要求，故舍去$\sin A=1$的解。
当$\sin A=\frac{1}{2}$且$∠A$为锐角时，$∠A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 特殊角的正弦值
3. 锐角的定义
【点评】
本题是一元二次方程与锐角三角函数结合的基础题型，解题时要注意求出三角函数值后，需结合锐角的限制条件筛选出符合题意的解，牢记特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.7
11. 计算：$\sin^2 30° + \tan 60° - \sin^2 45° + \cos^2 30°.$
答案
11. 解:原式$=(\frac{1}{2})^2+\sqrt{3}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$=\frac{1}{4}+\sqrt{3}-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}.$
$=\frac{1}{4}+\sqrt{3}-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\sqrt{3}.$
解析
【分析】
本题是特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：首先要准确记忆30°、45°、60°这几个常见特殊角的正弦、余弦、正切值，将对应数值代入原式；接下来按照实数运算顺序，先计算各数的乘方，再进行加减运算，合并同类项后即可得到结果。
【解析】
首先代入各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式得：
原式$=(\frac{1}{2})^2+\sqrt{3}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
先计算乘方：
$=\frac{1}{4}+\sqrt{3}-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$
再进行分数加减运算：
$=(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})+\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对特殊角三角函数值的熟练记忆，计算时只要细心处理乘方和分数加减，就能顺利得到正确结果，是三角函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
本题是特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：首先要准确记忆30°、45°、60°这几个常见特殊角的正弦、余弦、正切值，将对应数值代入原式；接下来按照实数运算顺序，先计算各数的乘方，再进行加减运算，合并同类项后即可得到结果。
【解析】
首先代入各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式得：
原式$=(\frac{1}{2})^2+\sqrt{3}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
先计算乘方：
$=\frac{1}{4}+\sqrt{3}-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$
再进行分数加减运算：
$=(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})+\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对特殊角三角函数值的熟练记忆，计算时只要细心处理乘方和分数加减，就能顺利得到正确结果，是三角函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
12.计算:$\tan 30° × \sin 60° + |\cos 45° - \sqrt{2}| - (\tan 45° - 3)^{-2}$
答案
12. 解:原式$=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right|-(1-3)^{-2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}.$
$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
这是一道包含特殊角三角函数、绝对值、负整数指数幂的实数混合运算题，解题思路如下：①首先准确记忆30°、45°、60°的三角函数值，代入原式替换对应三角函数项；②根据“负数的绝对值等于它的相反数”化简绝对值部分；③按照负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$计算幂的部分；④最后遵循先乘除后加减的运算顺序合并计算得到最终结果。
【解析】
解：先代入各特殊角的三角函数值：$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$
原式$=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right|-(1-3)^{-2}$
分步计算每一项：
1. 乘法项：$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
2. 绝对值项：$\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right|=\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 负指数幂项：$(1-3)^{-2}=(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$
最后进行加减运算：
$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；绝对值化简；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题型，核心是准确记忆特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、负整数指数幂的运算规则，计算时注意运算顺序和符号即可。
【难度系数】
0.8
这是一道包含特殊角三角函数、绝对值、负整数指数幂的实数混合运算题，解题思路如下：①首先准确记忆30°、45°、60°的三角函数值，代入原式替换对应三角函数项；②根据“负数的绝对值等于它的相反数”化简绝对值部分；③按照负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$计算幂的部分；④最后遵循先乘除后加减的运算顺序合并计算得到最终结果。
【解析】
解：先代入各特殊角的三角函数值：$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$
原式$=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right|-(1-3)^{-2}$
分步计算每一项：
1. 乘法项：$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
2. 绝对值项：$\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right|=\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 负指数幂项：$(1-3)^{-2}=(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$
最后进行加减运算：
$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；绝对值化简；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题型，核心是准确记忆特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、负整数指数幂的运算规则，计算时注意运算顺序和符号即可。
【难度系数】
0.8
