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9. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BD⊥AC于点D,sin A=$\frac{3}{5}$.
(1)求AD的长;
(2)求tan∠ABC的值.
(1)求AD的长;
(2)求tan∠ABC的值.
答案
9.解:(1)$\because BD⊥ AC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$\sin A=\frac{BD}{AB}$,
$\therefore BD=10×\frac{3}{5}=6$,则 $AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
(2)$\because AD=8,AC=10,\therefore CD=10-8=2$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$\tan C=\frac{BD}{CD}=\frac{6}{2}=3$.
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C$,
$\therefore \tan∠ ABC=\tan C=3$.
$\therefore BD=10×\frac{3}{5}=6$,则 $AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
(2)$\because AD=8,AC=10,\therefore CD=10-8=2$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$\tan C=\frac{BD}{CD}=\frac{6}{2}=3$.
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C$,
$\therefore \tan∠ ABC=\tan C=3$.
解析
【分析】
(1) 求AD的长时，首先观察到BD垂直AC，可得△ABD是直角三角形，已知AB长度和sinA的值，先根据正弦的定义求出直角边BD的长度，再利用勾股定理即可计算出AD的长。
(2) 求tan∠ABC的值时，已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠ABC=∠C，因此只需计算tanC的值即可。先通过AC与AD的长度差求出CD的长，再在Rt△BCD中根据正切的定义求出tanC，即可得到tan∠ABC的值。
【解析】
(1) $\because BD⊥ AC$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$\sin A=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=10×\frac{3}{5}=6$，由勾股定理得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
(2) $\because AD=8,AC=10$，$\therefore CD=AC-AD=10-8=2$，
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$\tan C=\frac{BD}{CD}=\frac{6}{2}=3$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，
$\therefore \tan∠ ABC=\tan C=3$。
【答案】
(1) $AD=8$；(2) $\tan∠ABC=3$
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将锐角三角函数、等腰三角形性质、勾股定理结合考查，解题核心是利用等腰三角形的性质完成角的转化，结合直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求AD的长时，首先观察到BD垂直AC，可得△ABD是直角三角形，已知AB长度和sinA的值，先根据正弦的定义求出直角边BD的长度，再利用勾股定理即可计算出AD的长。
(2) 求tan∠ABC的值时，已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠ABC=∠C，因此只需计算tanC的值即可。先通过AC与AD的长度差求出CD的长，再在Rt△BCD中根据正切的定义求出tanC，即可得到tan∠ABC的值。
【解析】
(1) $\because BD⊥ AC$，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，$\sin A=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=10×\frac{3}{5}=6$，由勾股定理得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
(2) $\because AD=8,AC=10$，$\therefore CD=AC-AD=10-8=2$，
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$\tan C=\frac{BD}{CD}=\frac{6}{2}=3$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，
$\therefore \tan∠ ABC=\tan C=3$。
【答案】
(1) $AD=8$；(2) $\tan∠ABC=3$
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将锐角三角函数、等腰三角形性质、勾股定理结合考查，解题核心是利用等腰三角形的性质完成角的转化，结合直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，BC//AD，连接AC交BD于点E，∠BAC=∠ADB，且$\tan∠ADB=\frac{1}{2}$，$AE=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
(1)求BD的长；
(2)若$BC=\sqrt{5}$，求CD的长。
(1)求BD的长；
(2)若$BC=\sqrt{5}$，求CD的长。
答案
10.解:(1)$\because$ 在四边形 $ABCD$ 中,$AB⊥ BD$,
$\therefore △ ABE$ 和 $△ ABD$ 都是直角三角形.
$\because ∠ BAC=∠ ADB$,
$\therefore \tan∠ BAC=\tan∠ ADB=\frac{1}{2},\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{2}$.
设 $BE=a$,则 $AB=2a,BD=4a$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,
得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}a=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
解得 $a=\frac{3}{2}$,$\therefore BD=4a=6$,$\therefore BD$ 的长为 $6$.
(2)如图
,过 $C$ 作 $CF⊥ BD$ 于点 $F$.$\because BC// AD$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ADB$,
$\therefore \tan∠ DBC=\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$.
设 $CF=b$,则 $BF=2b$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中,由勾股定理,
得 $BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{5}b=\sqrt{5}$,
解得 $b=1$,$\therefore BF=2,DF=BD-BF=4$,
$\therefore CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{17}$,$\therefore CD$ 的长为 $\sqrt{17}$.
解析
【分析】
(1) 首先由AB⊥BD可判断△ABE和△ABD都是直角三角形，已知∠BAC=∠ADB，因此两个角的正切值相等，结合给出的tan∠ADB的值可得对应边的比例关系，设未知数表示各边长度后，利用Rt△ABE的勾股定理列方程求解，即可算出BD的长度。
(2) 要求CD的长度，可过C作CF⊥BD构造直角三角形，利用BC//AD得到内错角相等，即∠DBC=∠ADB，该角的正切值同样为$\frac{1}{2}$，再次设未知数，结合BC的长度用勾股定理求出CF和BF的长度，进而得到DF的长度，最后在Rt△CFD中用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) $\because$ 在四边形 $ABCD$ 中,$AB⊥ BD$,
$\therefore △ ABE$ 和 $△ ABD$ 都是直角三角形.
$\because ∠ BAC=∠ ADB$,
$\therefore \tan∠ BAC=\tan∠ ADB=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{2}$.
设 $BE=a$,则 $AB=2a,BD=4a$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,
得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}a=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
解得 $a=\frac{3}{2}$,$\therefore BD=4a=6$.
(2) 如图,过 $C$ 作 $CF⊥ BD$ 于点 $F$.
$\because BC// AD$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ADB$,
$\therefore \tan∠ DBC=\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$.
设 $CF=b$,则 $BF=2b$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中,由勾股定理,
得 $BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{5}b=\sqrt{5}$,
解得 $b=1$,$\therefore BF=2,DF=BD-BF=4$,
$\therefore CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{17}$.
【答案】
(1) $BD$ 的长为 $\boldsymbol{6}$；
(2) $CD$ 的长为 $\boldsymbol{\sqrt{17}}$。
【知识点】
锐角的正切、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了锐角三角函数的应用、勾股定理求线段长度以及平行线的性质，解题核心是利用等角的正切值相等得到边的比例关系，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，第二问作垂直构造直角三角形是几何中常用的解题技巧，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由AB⊥BD可判断△ABE和△ABD都是直角三角形，已知∠BAC=∠ADB，因此两个角的正切值相等，结合给出的tan∠ADB的值可得对应边的比例关系，设未知数表示各边长度后，利用Rt△ABE的勾股定理列方程求解，即可算出BD的长度。
(2) 要求CD的长度，可过C作CF⊥BD构造直角三角形，利用BC//AD得到内错角相等，即∠DBC=∠ADB，该角的正切值同样为$\frac{1}{2}$，再次设未知数，结合BC的长度用勾股定理求出CF和BF的长度，进而得到DF的长度，最后在Rt△CFD中用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) $\because$ 在四边形 $ABCD$ 中,$AB⊥ BD$,
$\therefore △ ABE$ 和 $△ ABD$ 都是直角三角形.
$\because ∠ BAC=∠ ADB$,
$\therefore \tan∠ BAC=\tan∠ ADB=\frac{1}{2}$,$\therefore \frac{BE}{AB}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{2}$.
设 $BE=a$,则 $AB=2a,BD=4a$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,
得 $AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}a=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
解得 $a=\frac{3}{2}$,$\therefore BD=4a=6$.
(2) 如图
,过 $C$ 作 $CF⊥ BD$ 于点 $F$.$\because BC// AD$,
$\therefore ∠ DBC=∠ ADB$,
$\therefore \tan∠ DBC=\frac{CF}{BF}=\frac{1}{2}$.
设 $CF=b$,则 $BF=2b$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中,由勾股定理,
得 $BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{5}b=\sqrt{5}$,
解得 $b=1$,$\therefore BF=2,DF=BD-BF=4$,
$\therefore CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{17}$.
【答案】
(1) $BD$ 的长为 $\boldsymbol{6}$；
(2) $CD$ 的长为 $\boldsymbol{\sqrt{17}}$。
【知识点】
锐角的正切、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了锐角三角函数的应用、勾股定理求线段长度以及平行线的性质，解题核心是利用等角的正切值相等得到边的比例关系，通过设未知数结合勾股定理列方程求解，第二问作垂直构造直角三角形是几何中常用的解题技巧，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
11 在如图所示的直角三角形中,我们知道 $\sinα=\frac{a}{c},\cosα=\frac{b}{c},\tanα=\frac{a}{b}$,
$\therefore \sin^2α+\cos^2α=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$,即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
(1)请你根据上面的探索过程,探究 $\sinα、\cosα$ 与 $\tanα$ 之间的关系;
(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题:已知 $α$ 为锐角,且 $\tanα=\frac{1}{2}$,求 $\frac{\sinα - 2\cosα}{2\sinα + \cosα}$ 的值.
$\therefore \sin^2α+\cos^2α=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$,即一个角的正弦和余弦的平方和为1.
(1)请你根据上面的探索过程,探究 $\sinα、\cosα$ 与 $\tanα$ 之间的关系;
(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题:已知 $α$ 为锐角,且 $\tanα=\frac{1}{2}$,求 $\frac{\sinα - 2\cosα}{2\sinα + \cosα}$ 的值.
答案
11.解:(1)$\because \sin α=\frac{a}{c},\cos α=\frac{b}{c},\tan α=\frac{a}{b}$,
$\therefore \frac{\sin α}{\cos α}=\frac{a}{c}÷\frac{b}{c}=\frac{a}{b},\therefore \tan α=\frac{\sin α}{\cos α}$.
(2)$\because \frac{\sin α-2\cos α}{2\sin α+\cos α}=\frac{\tan α-2}{2\tan α+1}$,且 $\tan α=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{\sin α-2\cos α}{2\sin α+\cos α}=\frac{\frac{1}{2}-2}{2×\frac{1}{2}+1}=-\frac{3}{4}$.
$\therefore \frac{\sin α}{\cos α}=\frac{a}{c}÷\frac{b}{c}=\frac{a}{b},\therefore \tan α=\frac{\sin α}{\cos α}$.
(2)$\because \frac{\sin α-2\cos α}{2\sin α+\cos α}=\frac{\tan α-2}{2\tan α+1}$,且 $\tan α=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{\sin α-2\cos α}{2\sin α+\cos α}=\frac{\frac{1}{2}-2}{2×\frac{1}{2}+1}=-\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
(1) 要探究$\sinα$、$\cosα$与$\tanα$的关系，可结合题目给出的三个锐角三角函数的定义，通过运算将$\sinα$和$\cosα$组合，观察是否能得到$\tanα$的表达式。将$\sinα$除以$\cosα$，经分式运算约分后结果正好等于$\tanα$的表达式，即可得到三者的关系，注意α为锐角时$\cosα＞0$，满足除数不为0的条件。
(2) 所求代数式的分子、分母都是$\sinα$和$\cosα$的一次多项式，可利用分式的基本性质，给分子和分母同时除以$\cosα$（$\cosα≠0$），将代数式转化为仅含$\tanα$的形式，再代入已知的$\tanα$的值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知α为锐角，故$\cosα ≠ 0$，由锐角三角函数定义：$\sin α=\frac{a}{c}$，$\cos α=\frac{b}{c}$，$\tan α=\frac{a}{b}$。
则$\frac{\sin α}{\cos α}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c} × \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan α$，因此得三者关系：$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$（$\cos α ≠ 0$）。
(2) 对$\frac{\sinα - 2\cosα}{2\sinα + \cosα}$变形，分子分母同时除以$\cos α$（$\cos α ≠ 0$）：
$\frac{\sinα - 2\cosα}{2\sinα + \cosα}=\frac{\frac{\sinα}{\cosα} - \frac{2\cosα}{\cosα}}{\frac{2\sinα}{\cosα} + \frac{\cosα}{\cosα}}=\frac{\tanα - 2}{2\tanα + 1}$
将$\tanα=\frac{1}{2}$代入上式：
$\mathrm{原式}=\frac{\frac{1}{2} - 2}{2×\frac{1}{2} + 1}=\frac{-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$
【答案】
(1) $\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$（$\cosα≠0$）；
(2) $-\frac{3}{4}$
【知识点】
锐角三角函数定义、同角三角函数关系、分式化简求值
【点评】
本题从锐角三角函数的基础定义出发，引导学生推导同角三角函数的关系，再利用推导结论化简求值，既考察了对基础概念的理解，也锻炼了转化化简的运算能力，是三角函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要探究$\sinα$、$\cosα$与$\tanα$的关系，可结合题目给出的三个锐角三角函数的定义，通过运算将$\sinα$和$\cosα$组合，观察是否能得到$\tanα$的表达式。将$\sinα$除以$\cosα$，经分式运算约分后结果正好等于$\tanα$的表达式，即可得到三者的关系，注意α为锐角时$\cosα＞0$，满足除数不为0的条件。
(2) 所求代数式的分子、分母都是$\sinα$和$\cosα$的一次多项式，可利用分式的基本性质，给分子和分母同时除以$\cosα$（$\cosα≠0$），将代数式转化为仅含$\tanα$的形式，再代入已知的$\tanα$的值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知α为锐角，故$\cosα ≠ 0$，由锐角三角函数定义：$\sin α=\frac{a}{c}$，$\cos α=\frac{b}{c}$，$\tan α=\frac{a}{b}$。
则$\frac{\sin α}{\cos α}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c} × \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan α$，因此得三者关系：$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$（$\cos α ≠ 0$）。
(2) 对$\frac{\sinα - 2\cosα}{2\sinα + \cosα}$变形，分子分母同时除以$\cos α$（$\cos α ≠ 0$）：
$\frac{\sinα - 2\cosα}{2\sinα + \cosα}=\frac{\frac{\sinα}{\cosα} - \frac{2\cosα}{\cosα}}{\frac{2\sinα}{\cosα} + \frac{\cosα}{\cosα}}=\frac{\tanα - 2}{2\tanα + 1}$
将$\tanα=\frac{1}{2}$代入上式：
$\mathrm{原式}=\frac{\frac{1}{2} - 2}{2×\frac{1}{2} + 1}=\frac{-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{3}{4}$
【答案】
(1) $\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$（$\cosα≠0$）；
(2) $-\frac{3}{4}$
【知识点】
锐角三角函数定义、同角三角函数关系、分式化简求值
【点评】
本题从锐角三角函数的基础定义出发，引导学生推导同角三角函数的关系，再利用推导结论化简求值，既考察了对基础概念的理解，也锻炼了转化化简的运算能力，是三角函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
