13. 如图，在△ABC中，AB=4，AC=3√3，sin C=$\frac{2}{3}$，过点A作BC的垂线，垂足为M. 求∠B的度数及CM的长.

13. 解:$\because AM⊥ BC,\therefore ∠ AMB=∠ AMC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,$\sin C=\frac{AM}{AC}$,
则$\frac{AM}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3},\therefore AM=2\sqrt{3}.$
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$\sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore ∠ B=60°.$
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,$CM=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{15}.$

【分析】
解题时先抓住AM是两个直角三角形的公共高这一关键衔接量：首先利用Rt△ACM中已知的AC长度和sinC的值求出AM的长度；再将AM代入Rt△ABM，结合AB的长度求出sinB的值，对应特殊角的三角函数值即可得到∠B的度数；最后在Rt△ACM中用勾股定理计算出CM的长度即可。
【解析】
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$\sin C=\frac{AM}{AC}$，
则$\frac{AM}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$，解得$AM=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$\sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ B=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{27-12}=\sqrt{15}$。
【答案】
∠B=60°，CM=$\sqrt{15}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，核心是利用公共高串联两个直角三角形的已知条件，解题时只要准确掌握锐角三角函数的定义和勾股定理，即可顺利推导出结果，计算时要注意二次根式的运算准确性。
【难度系数】
0.7

14若α为锐角.
(1)求证:$\sinα=\cos(90°-α)$;
(2)求$\sin^21°+\sin^22°+\dots+\sin^245°+\dots+\sin^288°+\sin^289°$的值.(提示:$\sin^2α+\cos^2α=1$)

14.(1)证明:若$α$为锐角,建立如图所示的$\mathrm{Rt}△ ABC,∠ C=90°,∠ A=α.$
$\because \sinα=\frac{BC}{AB},\cos(90°-α)=\cos B=\frac{BC}{AB}$,
$\therefore \sinα=\cos(90°-α).$
(2)解:由(1)可得 $\sin 89°=\cos 1°,\sin 88°=\cos 2°,\dots,\sin 46°=\cos 44°$,
$\therefore \sin^21°+\sin^22°+\dots+\sin^245°+\dots+\sin^288°+\sin^289°=(\sin^21°+\cos^21°)+(\sin^22°+\cos^22°)+\dots+(\sin^244°+\cos^244°)+\sin^245°$
$=1×44+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=44\frac{1}{2}.$

【分析】
(1) 要证明$\sinα=\cos(90°-α)$，可利用直角三角形中锐角三角函数的定义推导：构造含锐角α的直角三角形，得到α的余角$90°-α$，分别写出$\sinα$和$\cos(90°-α)$的三角函数表达式，对比即可证明等式成立。
(2) 计算正弦平方和时，先观察角度特征：$1°$与$89°$互余、$2°$与$88°$互余……$44°$与$46°$互余，共44对互余的角，中间剩余单独的$45°$。利用(1)的结论可将大角度的正弦转化为对应小角度的余弦，再结合提示的$\sin^2α+\cos^2α=1$，两两配对求和，最后加上$\sin^245°$的值即可算出结果。
【解析】
(1) 证明：若α为锐角，建立如图所示的$\mathrm{Rt}△ ABC$，$∠C=90°$，$∠A=α$，则$∠B=90°-α$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sinα=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
$\cos(90°-α)=\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
因此$\sinα=\cos(90°-α)$，得证。
(2) 解：由(1)的结论可得：$\sin89°=\sin(90°-1°)=\cos1°$，$\sin88°=\sin(90°-2°)=\cos2°$，……，$\sin46°=\sin(90°-44°)=\cos44°$。
将原式变形：
$\begin{aligned}&\sin^21°+\sin^22°+\dots+\sin^245°+\dots+\sin^288°+\sin^289°\\=&(\sin^21°+\cos^21°)+(\sin^22°+\cos^22°)+\dots+(\sin^244°+\cos^244°)+\sin^245°\end{aligned}$
根据$\sin^2α+\cos^2α=1$，前44组的和为$1×44$，又$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$。
代入计算得原式$=44+\frac{1}{2}=44\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 证明：若$α$为锐角,建立如图所示的$\mathrm{Rt}△ ABC,∠ C=90°,∠ A=α.$
$\because \sinα=\frac{BC}{AB},\cos(90°-α)=\cos B=\frac{BC}{AB}$,
$\therefore \sinα=\cos(90°-α).$
(2) $\boxed{44\frac{1}{2}}$
【知识点】
锐角三角函数定义，互余角三角函数关系，同角正余弦平方和
【点评】
本题考查锐角三角函数相关性质的推导与应用，第一问是基础性质推导，帮助理解互余两角的正弦、余弦转换规律；第二问需要观察角度的互余特征，灵活运用推导结论和同角三角函数的平方关系简化计算，能有效锻炼逻辑推理能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7

15 (1)已知α、β均为锐角，$\tanα=\frac{1}{2}$，$\tanβ=\frac{1}{3}$，求α+β的度数. 如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD(点A、B、C、D都在格点上)，请你按照这个思路求α+β的度数；
(2)已知α、β均为锐角，$\tanα=\sqrt{3}$，$\tanβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则α+β=°；
(3)已知α、β、θ均为锐角，$\tanα=\frac{1}{3}$，$\tanβ=\frac{1}{7}$，α+β=θ，请在图2中自行构图求tanθ的值.

15. 解:(1)如图1,取格点E、F,连接BC,
则$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$,$\tan∠ FAC=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}$,
$\therefore α=∠ BAE,β=∠ CAF.$
$\because AB=\sqrt{5},BC=\sqrt{5},AC=\sqrt{10}$,
$\therefore AB=BC,AB^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10=AC^2$,
$\therefore ∠ ABC=90°,\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAE+∠ FAC=α+β=45°.$
(2)$\because α、β$均为锐角,$\tanα=\sqrt{3}$,$\tanβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore α=60°,β=30°,\therefore α+β=90°.$
(3)如图2,$\tan∠ HDG=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,$\tan∠ HDF=\frac{1}{7}$,
$\therefore \tan∠ HDG=\tanα,\tan∠ HDF=\tanβ$,
$\therefore ∠ HDG=α,∠ HDF=β$,
$\therefore α+β=∠ HDG+∠ HDF=∠ GDF.$
$\because DG=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10},FG=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$DF=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}$,
$\therefore DG^2+FG^2=(2\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=50,DF^2=(5\sqrt{2})^2=50,\therefore DG^2+FG^2=DF^2,\therefore ∠ FGD=90°$,
$\therefore \tan∠ FDG=\frac{FG}{DG}=\frac{1}{2}.$
$\because α+β=θ,\therefore θ=∠ FDG,\therefore \tanθ=\tan∠ FDG=\frac{1}{2}.$

【分析】
(1) 求解α+β的度数时，先根据tanα、tanβ的数值在网格中匹配到对应的锐角α、β，再通过连接格点构造三角形，利用勾股定理计算三角形三边长度，借助勾股定理逆定理判断三角形为等腰直角三角形，即可得到α+β的度数；
(2) 第二问直接结合特殊锐角的三角函数值，确定α、β的度数后相加即可得解；
(3) 第三问类比第一问的思路，先在图2的网格中构造出正切值分别为$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{7}$的锐角α、β，将两角共边拼接得到θ=α+β，再构造包含θ的三角形，用勾股定理逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求出tanθ的值。
【解析】
(1) 如图1,取格点E、F,连接BC,
则$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$,$\tan∠ FAC=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}$,
$\therefore α=∠ BAE,β=∠ CAF.$
$\because AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$\therefore AB=BC,AB^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10=AC^2$,
$\therefore ∠ ABC=90°,\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAE+∠ FAC=α+β=45°.$
(2)$\because α、β$均为锐角,$\tanα=\sqrt{3}$,$\tanβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore α=60°,β=30°,\therefore α+β=90°.$
(3) 如图2,$\tan∠ HDG=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,$\tan∠ HDF=\frac{1}{7}$,
$\therefore \tan∠ HDG=\tanα,\tan∠ HDF=\tanβ$,
$\therefore ∠ HDG=α,∠ HDF=β$,
$\therefore α+β=∠ HDG+∠ HDF=∠ GDF.$
$\because DG=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10},FG=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$DF=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}$,
$\therefore DG^2+FG^2=(2\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=50,DF^2=(5\sqrt{2})^2=50,\therefore DG^2+FG^2=DF^2,\therefore ∠ FGD=90°$,
$\therefore \tan∠ FDG=\frac{FG}{DG}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}.$
$\because α+β=θ,\therefore θ=∠ FDG,\therefore \tanθ=\tan∠ FDG=\frac{1}{2}.$
【答案】
(1) $α+β=45°$；
(2) $\boldsymbol{90}$；
(3) $\tanθ=\frac{1}{2}$，作图如图1、图2。
【知识点】
正切的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理及逆定理
【点评】
本题将锐角三角函数与网格相结合，通过数形结合的方法把角的计算转化为格点三角形的边长计算，既考查了对三角函数定义、特殊角三角函数值的掌握，也考查了勾股定理及其逆定理的灵活应用，解题的关键是正确构造出对应正切值的角。
【难度系数】
0.7