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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，下列式子中不一定成立的是 （
A.$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$
B.$\sin^2 A+\sin^2 B=1$
C.$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
D.$\sin A=\sin B$
D
）名师微课A.$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$
B.$\sin^2 A+\sin^2 B=1$
C.$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
D.$\sin A=\sin B$
答案
1.D
解析
【分析】
本题要求找出直角三角形中不一定成立的三角函数式，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°时，∠A+∠B=90°，可结合锐角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、互余两角的三角函数关系，对四个选项逐一验证，判断式子是否对任意满足条件的锐角∠A、∠B都成立，即可找出符合要求的选项。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ A+∠ B=90°$，设$∠ A、∠ B、∠ C$的对边分别为$a、b、c$，根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$，$\sin B=\frac{b}{c}$。
逐一分析选项：
选项A：$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tan A$，对任意直角三角形恒成立，不符合题意；
选项B：由$∠ A+∠ B=90°$可得$\sin B=\sin(90°-A)=\cos A$，因此$\sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 A+\cos^2 A=1$，对任意直角三角形恒成立，不符合题意；
选项C：根据同角三角函数的平方关系，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$是恒成立的公式，不符合题意；
选项D：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，仅当$a=b$即$∠ A=∠ B=45°$时$\sin A=\sin B$，若$a≠b$则式子不成立，因此该式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角三角函数基本关系，互余角的三角函数性质
【点评】
本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的相关性质，解题时需逐一验证各选项，注意区分普遍适用的规律和仅在特殊条件下成立的结论，不要把特殊情况当成通用规律。
【难度系数】
0.8
本题要求找出直角三角形中不一定成立的三角函数式，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°时，∠A+∠B=90°，可结合锐角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、互余两角的三角函数关系，对四个选项逐一验证，判断式子是否对任意满足条件的锐角∠A、∠B都成立，即可找出符合要求的选项。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ A+∠ B=90°$，设$∠ A、∠ B、∠ C$的对边分别为$a、b、c$，根据锐角三角函数的定义可得：
$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$，$\sin B=\frac{b}{c}$。
逐一分析选项：
选项A：$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tan A$，对任意直角三角形恒成立，不符合题意；
选项B：由$∠ A+∠ B=90°$可得$\sin B=\sin(90°-A)=\cos A$，因此$\sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 A+\cos^2 A=1$，对任意直角三角形恒成立，不符合题意；
选项C：根据同角三角函数的平方关系，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$是恒成立的公式，不符合题意；
选项D：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，仅当$a=b$即$∠ A=∠ B=45°$时$\sin A=\sin B$，若$a≠b$则式子不成立，因此该式不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角三角函数基本关系，互余角的三角函数性质
【点评】
本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的相关性质，解题时需逐一验证各选项，注意区分普遍适用的规律和仅在特殊条件下成立的结论，不要把特殊情况当成通用规律。
【难度系数】
0.8
2.已知梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A,则下列说法正确的是 (
A.$\sin A$ 的值越大,梯子越陡
B.$\cos A$ 的值越大,梯子越陡
C.$\tan A$ 的值越小,梯子越陡
D.梯子的陡缓程度与$∠ A$的三角比的值无关
A
)A.$\sin A$ 的值越大,梯子越陡
B.$\cos A$ 的值越大,梯子越陡
C.$\tan A$ 的值越小,梯子越陡
D.梯子的陡缓程度与$∠ A$的三角比的值无关
答案
2.A
解析
【分析】
首先明确梯子陡缓与∠A的关系：梯子和地面所成的锐角∠A越大，梯子越陡。接下来结合锐角三角函数的增减性，判断各选项中三角比的变化对应的∠A变化，即可判断选项正误。解题时先回忆锐角范围内sinA、cosA、tanA随角度增大的变化规律，再逐一比对选项即可。
【解析】
已知梯子与地面所成锐角∠A越大，梯子越陡，锐角范围内各三角函数的增减性如下：
1. sinA随∠A的增大而增大：因此sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A选项说法正确；
2. cosA随∠A的增大而减小：因此cosA的值越大，∠A越小，梯子越平缓，B选项说法错误；
3. tanA随∠A的增大而增大：因此tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，C选项说法错误；
4. ∠A的三角比可以直接反映∠A的大小，因此梯子陡缓程度与∠A的三角比的值有关，D选项说法错误。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数增减性；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的基本性质，解题核心是掌握锐角范围内各三角函数值随角度的变化规律，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
首先明确梯子陡缓与∠A的关系：梯子和地面所成的锐角∠A越大，梯子越陡。接下来结合锐角三角函数的增减性，判断各选项中三角比的变化对应的∠A变化，即可判断选项正误。解题时先回忆锐角范围内sinA、cosA、tanA随角度增大的变化规律，再逐一比对选项即可。
【解析】
已知梯子与地面所成锐角∠A越大，梯子越陡，锐角范围内各三角函数的增减性如下：
1. sinA随∠A的增大而增大：因此sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A选项说法正确；
2. cosA随∠A的增大而减小：因此cosA的值越大，∠A越小，梯子越平缓，B选项说法错误；
3. tanA随∠A的增大而增大：因此tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，C选项说法错误；
4. ∠A的三角比可以直接反映∠A的大小，因此梯子陡缓程度与∠A的三角比的值有关，D选项说法错误。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数增减性；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的基本性质，解题核心是掌握锐角范围内各三角函数值随角度的变化规律，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$AB=3$，下列结论中，正确的是（
A.$\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
B.$BC=3\sin B$
C.$\tan B=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\cos B=\dfrac{1}{3}$
C
）A.$\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
B.$BC=3\sin B$
C.$\tan B=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\cos B=\dfrac{1}{3}$
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：首先利用直角三角形的勾股定理求出未知直角边BC的长度，再结合锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项对应的数值或判断表达式是否正确，逐一排除错误选项即可得到答案。需要注意明确∠B的对边和邻边分别对应哪条线段，避免混淆。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
接下来逐一判断选项：
选项A：$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}≠\frac{\sqrt{2}}{4}$，故A错误；
选项B：由$\sin B=\frac{AC}{AB}$得$AC=AB·\sin B=3\sin B$，不是$BC=3\sin B$，故B错误；
选项C：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，故C正确；
选项D：$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}≠\frac{1}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题时先通过勾股定理求出未知边长，再结合三角函数定义验证选项即可，易错点是容易混淆锐角对应的对边和邻边。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是：首先利用直角三角形的勾股定理求出未知直角边BC的长度，再结合锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项对应的数值或判断表达式是否正确，逐一排除错误选项即可得到答案。需要注意明确∠B的对边和邻边分别对应哪条线段，避免混淆。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
接下来逐一判断选项：
选项A：$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}≠\frac{\sqrt{2}}{4}$，故A错误；
选项B：由$\sin B=\frac{AC}{AB}$得$AC=AB·\sin B=3\sin B$，不是$BC=3\sin B$，故B错误；
选项C：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，故C正确；
选项D：$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}≠\frac{1}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题时先通过勾股定理求出未知边长，再结合三角函数定义验证选项即可，易错点是容易混淆锐角对应的对边和邻边。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在格点上,AB与CD相交于点P,则∠APD的正切值为 (
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.2
D.$\frac{1}{2}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.2
D.$\frac{1}{2}$
答案
4.C 解析:如图,连接格点BE，
由条件可知 $BE⊥ CD,BF=CF.$
$\because AC// BD,\therefore △ ACP∽ △ BDP,$
$\therefore \frac{DP}{CP}=\frac{BD}{AC}=\frac{1}{3},\therefore DP=PF=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}BF.$
在 $\mathrm{Rt}△ BFP$ 中,$\tan∠ BPF=\frac{BF}{PF}=2.$
$\because ∠ APD=∠ BPF,$
$\therefore \tan∠ APD=\tan∠ BPF=2.$ 故选 C.
解析
【分析】
要求∠APD的正切值，直接构造该角所在的直角三角形难度较大，可利用对顶角相等的性质，将问题转化为求其对顶角∠BPF的正切值。首先通过连接格点BE构造直角，利用网格特征可得BE⊥CD，得到含∠BPF的直角三角形△BFP；再结合AC与BD平行的特征，证明△ACP∽△BDP，得到DP与CP的比例关系，进而推导出PF与BF的数量关系，最后利用正切的定义计算即可。
【解析】
解：如图，连接格点BE，
根据网格的特征可证得BE⊥CD，且BF=CF。
∵AC//BD，
∴∠CAP=∠DBP，∠ACP=∠BDP，
∴△ACP∽△BDP，
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{BD}{AC}=\frac{1}{3}$，即$CP=3DP$。
设DP的长度为1份，则CP为3份，CD总长度为4份，因此$CF=BF=2$份，
$PF=CP-CF=3份-2份=1份$，即$PF=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}BF$。
在$\mathrm{Rt}△BFP$中，根据正切的定义，$\tan∠BPF=\frac{BF}{PF}=\frac{2份}{1份}=2$。
又
∵∠APD与∠BPF是对顶角，
∴∠APD=∠BPF，
∴$\tan∠APD=\tan∠BPF=2$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数求值题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合相似三角形的性质得到线段比例，将所求角转化到直角三角形中求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求∠APD的正切值，直接构造该角所在的直角三角形难度较大，可利用对顶角相等的性质，将问题转化为求其对顶角∠BPF的正切值。首先通过连接格点BE构造直角，利用网格特征可得BE⊥CD，得到含∠BPF的直角三角形△BFP；再结合AC与BD平行的特征，证明△ACP∽△BDP，得到DP与CP的比例关系，进而推导出PF与BF的数量关系，最后利用正切的定义计算即可。
【解析】
解：如图，连接格点BE，
根据网格的特征可证得BE⊥CD，且BF=CF。
∵AC//BD，
∴∠CAP=∠DBP，∠ACP=∠BDP，
∴△ACP∽△BDP，
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{BD}{AC}=\frac{1}{3}$，即$CP=3DP$。
设DP的长度为1份，则CP为3份，CD总长度为4份，因此$CF=BF=2$份，
$PF=CP-CF=3份-2份=1份$，即$PF=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}BF$。
在$\mathrm{Rt}△BFP$中，根据正切的定义，$\tan∠BPF=\frac{BF}{PF}=\frac{2份}{1份}=2$。
又
∵∠APD与∠BPF是对顶角，
∴∠APD=∠BPF，
∴$\tan∠APD=\tan∠BPF=2$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是网格背景下的锐角三角函数求值题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合相似三角形的性质得到线段比例，将所求角转化到直角三角形中求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
6.已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$AC$是直角边$BC$的2倍，则$\sin A$的值是________，$∠ A\approx\_\_\_\_\_\_$（结果精确到$0.1°$）。
答案
6.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}\quad 26.6°$
解析
【分析】
本题是直角三角形中求锐角正弦值及对应角度的基础题，解题思路如下：第一步，根据两条直角边的倍数关系设参数表示两条直角边的长度；第二步，利用勾股定理计算出斜边的长度；第三步，根据正弦函数的定义（锐角的对边与斜边的比值）求出$\sin A$的值；最后，根据所得正弦值用计算器计算对应$∠ A$的度数，注意结果精确到$0.1°$即可。
【解析】
解：设$BC=x$，由题意可知$AC=2x$，
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore$由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5}x$，
根据锐角正弦的定义：$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\because \sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx0.4472$，使用计算器计算反正弦值可得：$∠ A\approx26.6°$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$26.6°$
【知识点】
勾股定理；锐角正弦定义；计算器求锐角
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形中锐角三角函数的应用，通过设参数的方法可以快速得到各边的比值，解题时要注意区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆三角函数的边的对应关系。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求锐角正弦值及对应角度的基础题，解题思路如下：第一步，根据两条直角边的倍数关系设参数表示两条直角边的长度；第二步，利用勾股定理计算出斜边的长度；第三步，根据正弦函数的定义（锐角的对边与斜边的比值）求出$\sin A$的值；最后，根据所得正弦值用计算器计算对应$∠ A$的度数，注意结果精确到$0.1°$即可。
【解析】
解：设$BC=x$，由题意可知$AC=2x$，
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore$由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5}x$，
根据锐角正弦的定义：$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\because \sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx0.4472$，使用计算器计算反正弦值可得：$∠ A\approx26.6°$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；$26.6°$
【知识点】
勾股定理；锐角正弦定义；计算器求锐角
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形中锐角三角函数的应用，通过设参数的方法可以快速得到各边的比值，解题时要注意区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆三角函数的边的对应关系。
【难度系数】
0.8
7.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AM$是$BC$边上的中线，$\sin∠ CAM=\dfrac{3}{5}$，则$\tan B$的值为________.
答案
7.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
首先，∠CAM在Rt△ACM中，已知其正弦值，我们可以通过设参数的方法表示出Rt△ACM的各条边长；再利用AM是BC中线的性质，得到BC的长度；最后在Rt△ABC中，根据正切的定义计算tanB的值即可。具体步骤：①根据正弦定义设Rt△ACM的边长参数，用勾股定理求AC；②由中线性质得BC=2CM；③代入正切定义化简计算。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ C=90°$，
∵ $\sin∠ CAM=\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{3}{5}$，
∴ 设$CM=3k$（$k＞0$），则$AM=5k$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AM^2 - CM^2}=\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2}=4k$。
∵ $AM$是$BC$边上的中线，
∴ $BC=2CM=2×3k=6k$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan B=\dfrac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4k}{6k}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形中线的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题关键是合理设参数表示各边长，结合中线性质实现边长的转化，计算时参数会直接约去，无需求出参数的具体值。
【难度系数】
0.7
首先，∠CAM在Rt△ACM中，已知其正弦值，我们可以通过设参数的方法表示出Rt△ACM的各条边长；再利用AM是BC中线的性质，得到BC的长度；最后在Rt△ABC中，根据正切的定义计算tanB的值即可。具体步骤：①根据正弦定义设Rt△ACM的边长参数，用勾股定理求AC；②由中线性质得BC=2CM；③代入正切定义化简计算。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ C=90°$，
∵ $\sin∠ CAM=\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{3}{5}$，
∴ 设$CM=3k$（$k＞0$），则$AM=5k$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AM^2 - CM^2}=\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2}=4k$。
∵ $AM$是$BC$边上的中线，
∴ $BC=2CM=2×3k=6k$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan B=\dfrac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4k}{6k}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形中线的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题关键是合理设参数表示各边长，结合中线性质实现边长的转化，计算时参数会直接约去，无需求出参数的具体值。
【难度系数】
0.7
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，若BC=4 cm，tan B=$\frac{3}{2}$，则△ABC的面积是
12
cm²。答案
8.12
解析
【分析】
本题是直角三角形中的计算问题，解题思路如下：第一步，回忆正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；第二步，结合已知的tanB和BC的长度，求出另一条直角边AC的长度；第三步，利用直角三角形的面积公式计算△ABC的面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\tan B = \frac{AC}{BC}$（正切的定义）。
已知$\tan B=\frac{3}{2}$，$BC=4\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{AC}{4}$，解得$AC = 4×\frac{3}{2}=6\mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AC = \frac{1}{2}×4×6=12\mathrm{cm}^2$。
【答案】
12
【知识点】
正切的定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对正切定义的理解和应用，只要掌握锐角三角函数的基本定义，结合三角形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中的计算问题，解题思路如下：第一步，回忆正切的定义，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值；第二步，结合已知的tanB和BC的长度，求出另一条直角边AC的长度；第三步，利用直角三角形的面积公式计算△ABC的面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\tan B = \frac{AC}{BC}$（正切的定义）。
已知$\tan B=\frac{3}{2}$，$BC=4\mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{AC}{4}$，解得$AC = 4×\frac{3}{2}=6\mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AC = \frac{1}{2}×4×6=12\mathrm{cm}^2$。
【答案】
12
【知识点】
正切的定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对正切定义的理解和应用，只要掌握锐角三角函数的基本定义，结合三角形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.在$△ ABC$中，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，且$a:b:c=1:\sqrt{3}:2$，则$\sin A+\tan A=$______.
答案
9.$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知的三边比例，可通过设参数的方式表示出三边长度，再利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定直角后，根据锐角三角函数的定义分别求出$\sin A$和$\tan A$的值，最后相加得到结果。具体思考步骤：第一步，遇到三边比例优先考虑是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形；第二步，确定直角对应的边，明确各个锐角的对边和邻边；第三步，根据正弦、正切的定义代入边长计算，化简后求和。
【解析】
设$a = k$，$b = \sqrt{3}k$，$c = 2k$（$k＞0$）
∵ $a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，$c^2 = (2k)^2 = 4k^2$
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，即$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{a}{b} = \frac{k}{\sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ $\sin A + \tan A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
勾股定理逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算对应三角函数值，通过设参数的方式可以简化比例类问题的计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的三边比例，可通过设参数的方式表示出三边长度，再利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定直角后，根据锐角三角函数的定义分别求出$\sin A$和$\tan A$的值，最后相加得到结果。具体思考步骤：第一步，遇到三边比例优先考虑是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形；第二步，确定直角对应的边，明确各个锐角的对边和邻边；第三步，根据正弦、正切的定义代入边长计算，化简后求和。
【解析】
设$a = k$，$b = \sqrt{3}k$，$c = 2k$（$k＞0$）
∵ $a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，$c^2 = (2k)^2 = 4k^2$
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，即$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{a}{b} = \frac{k}{\sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ $\sin A + \tan A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
勾股定理逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算对应三角函数值，通过设参数的方式可以简化比例类问题的计算。
【难度系数】
0.8
10.已知$\tan α=2$，则$\dfrac{2\sin α+\cos α}{\sin α-\cos α}$的值为
5
.答案
10.5
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，分子和分母均为关于$\sinα$、$\cosα$的一次齐次式，已知$\tanα=2$，而根据正切的定义$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，因此可以将原式的分子、分母同时除以$\cosα$（由于$\tanα$有意义，故$\cosα≠0$，该操作合法），将代数式转化为仅含$\tanα$的形式，最后代入已知值即可算出结果。
【解析】
$\because \tanα=2$，$\therefore \cosα≠0$，
将所求式子的分子、分母同时除以$\cosα$，可得：
$\dfrac{2\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα}=\dfrac{\dfrac{2\sinα}{\cosα}+\dfrac{\cosα}{\cosα}}{\dfrac{\sinα}{\cosα}-\dfrac{\cosα}{\cosα}}=\dfrac{2\tanα+1}{\tanα-1}$
将$\tanα=2$代入上式：
原式$=\dfrac{2×2 + 1}{2 - 1}=\dfrac{5}{1}=5$
【答案】
5
【知识点】
同角三角函数的基本关系，齐次式求值
【点评】
本题是三角函数求值的基础题型，核心方法是利用同角三角函数的商数关系，将正弦、余弦的齐次分式转化为仅含正切的表达式后代入计算，该方法是三角函数求值中的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，分子和分母均为关于$\sinα$、$\cosα$的一次齐次式，已知$\tanα=2$，而根据正切的定义$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，因此可以将原式的分子、分母同时除以$\cosα$（由于$\tanα$有意义，故$\cosα≠0$，该操作合法），将代数式转化为仅含$\tanα$的形式，最后代入已知值即可算出结果。
【解析】
$\because \tanα=2$，$\therefore \cosα≠0$，
将所求式子的分子、分母同时除以$\cosα$，可得：
$\dfrac{2\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα}=\dfrac{\dfrac{2\sinα}{\cosα}+\dfrac{\cosα}{\cosα}}{\dfrac{\sinα}{\cosα}-\dfrac{\cosα}{\cosα}}=\dfrac{2\tanα+1}{\tanα-1}$
将$\tanα=2$代入上式：
原式$=\dfrac{2×2 + 1}{2 - 1}=\dfrac{5}{1}=5$
【答案】
5
【知识点】
同角三角函数的基本关系，齐次式求值
【点评】
本题是三角函数求值的基础题型，核心方法是利用同角三角函数的商数关系，将正弦、余弦的齐次分式转化为仅含正切的表达式后代入计算，该方法是三角函数求值中的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
11. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan B=\frac{1}{3}$，则$\cos A=$
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
答案
11.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正切的定义，结合已知tanB的值，用设参数的方式表示出两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据余弦的定义，代入对应边长计算即可得到cosA的值。也可利用“直角三角形中互余两角的余弦等于另一角的正弦”的关系简化计算，设边长的方法更直观易理解。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形，∠A+∠B=90°
由锐角正切的定义可知，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=3k$
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$
由锐角余弦的定义可知，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
代入边长得：$\cos A=\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查对锐角三角函数定义的理解与运用，通过设参数表示边长是解决此类问题的常用技巧，熟练掌握三角函数对应边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正切的定义，结合已知tanB的值，用设参数的方式表示出两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据余弦的定义，代入对应边长计算即可得到cosA的值。也可利用“直角三角形中互余两角的余弦等于另一角的正弦”的关系简化计算，设边长的方法更直观易理解。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形，∠A+∠B=90°
由锐角正切的定义可知，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=3k$
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$
由锐角余弦的定义可知，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
代入边长得：$\cos A=\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查对锐角三角函数定义的理解与运用，通过设参数表示边长是解决此类问题的常用技巧，熟练掌握三角函数对应边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$P$为$AB$上一点，$\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，$PQ⊥ BC$于点$Q$，连接$AQ$，则$\cos∠ AQC=$
$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
。答案
12.$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
解析
【分析】
本题可通过作辅助线构造直角三角形求解，解题思路如下：首先过点A作AD⊥BC于D，可得PQ//AD，进而推出△BPQ∽△BAD，结合已知的线段比例关系，可设参数表示出各相关线段的长度，最后在Rt△AQD中根据余弦的定义计算∠AQC的余弦值即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵ $PQ⊥BC$，$AD⊥BC$，
∴ $PQ// AD$，
∴ $△ BPQ ∽ △ BAD$，可得$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BD}=\frac{PQ}{AD}$。
∵ $\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$，即$\frac{BQ}{BD}=\frac{PQ}{AD}=\frac{1}{3}$。
设$PQ=1$，在$Rt△ BPQ$中，$∠ B=30°$，
∴ $BP=2PQ=2$，$BQ=\sqrt{BP^2-PQ^2}=\sqrt{3}$。
∴ $AD=3PQ=3$，$BD=3BQ=3\sqrt{3}$，
∴ $QD=BD-BQ=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ AQD$中，$AQ=\sqrt{AD^2+QD^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$，
∵ $∠ AQC=∠ AQD$，
∴ $\cos∠ AQC=\cos∠ AQD=\frac{QD}{AQ}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形和三角函数的相关知识，通过作高构造直角三角形、合理设参数简化计算是解题的关键。
【难度系数】
0.65
本题可通过作辅助线构造直角三角形求解，解题思路如下：首先过点A作AD⊥BC于D，可得PQ//AD，进而推出△BPQ∽△BAD，结合已知的线段比例关系，可设参数表示出各相关线段的长度，最后在Rt△AQD中根据余弦的定义计算∠AQC的余弦值即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵ $PQ⊥BC$，$AD⊥BC$，
∴ $PQ// AD$，
∴ $△ BPQ ∽ △ BAD$，可得$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BD}=\frac{PQ}{AD}$。
∵ $\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$，即$\frac{BQ}{BD}=\frac{PQ}{AD}=\frac{1}{3}$。
设$PQ=1$，在$Rt△ BPQ$中，$∠ B=30°$，
∴ $BP=2PQ=2$，$BQ=\sqrt{BP^2-PQ^2}=\sqrt{3}$。
∴ $AD=3PQ=3$，$BD=3BQ=3\sqrt{3}$，
∴ $QD=BD-BQ=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ AQD$中，$AQ=\sqrt{AD^2+QD^2}=\sqrt{3^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{21}$，
∵ $∠ AQC=∠ AQD$，
∴ $\cos∠ AQC=\cos∠ AQD=\frac{QD}{AQ}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形和三角函数的相关知识，通过作高构造直角三角形、合理设参数简化计算是解题的关键。
【难度系数】
0.65
13若$\tan 35° · \tan α · \tan 50° · \tan 55° = 1$，则锐角$α =$
40
$°$答案
13.40
解析
【分析】
解题前先回忆三角函数的基本性质：互为余角的两个角，其中一个角的正切等于另一个角的余切，且同角的正切与余切的乘积为1，即$\tan(90°-θ)=\cotθ$，$\tanθ·\cotθ=1$。解题时先将原式中互为余角的正切项分组相乘，先计算出乘积为1的组，再化简剩余部分即可求出$α$的度数。
【解析】
根据互余角的三角函数性质：$\tan(90°-θ)=\cotθ$，且$\tanθ·\cotθ=1$，对原式变形化简：
1. 重新组合原式中的项：
$(\tan35° · \tan55°) · (\tan50° · \tanα) = 1$
2. 计算第一组：因为$55°=90°-35°$，所以$\tan55°=\tan(90°-35°)=\cot35°$，代入得：
$\tan35° · \cot35° = 1$，因此原式化简为：
$1 · \tan50° · \tanα =1$，即$\tan50° · \tanα =1$
3. 变形得$\tanα=\frac{1}{\tan50°}=\cot50°$，又$\cot50°=\tan(90°-50°)=\tan40°$，所以$\tanα=\tan40°$
4. 因为$α$是锐角，所以$α=40°$
【答案】
40
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 正切与余切的关系
【点评】
本题是三角函数基础运算题，核心是利用互余角正切和余切的转换关系简化计算，解题的关键是快速识别出式子中互为余角的度数，通过分组化简降低计算难度，掌握三角函数基本性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆三角函数的基本性质：互为余角的两个角，其中一个角的正切等于另一个角的余切，且同角的正切与余切的乘积为1，即$\tan(90°-θ)=\cotθ$，$\tanθ·\cotθ=1$。解题时先将原式中互为余角的正切项分组相乘，先计算出乘积为1的组，再化简剩余部分即可求出$α$的度数。
【解析】
根据互余角的三角函数性质：$\tan(90°-θ)=\cotθ$，且$\tanθ·\cotθ=1$，对原式变形化简：
1. 重新组合原式中的项：
$(\tan35° · \tan55°) · (\tan50° · \tanα) = 1$
2. 计算第一组：因为$55°=90°-35°$，所以$\tan55°=\tan(90°-35°)=\cot35°$，代入得：
$\tan35° · \cot35° = 1$，因此原式化简为：
$1 · \tan50° · \tanα =1$，即$\tan50° · \tanα =1$
3. 变形得$\tanα=\frac{1}{\tan50°}=\cot50°$，又$\cot50°=\tan(90°-50°)=\tan40°$，所以$\tanα=\tan40°$
4. 因为$α$是锐角，所以$α=40°$
【答案】
40
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 正切与余切的关系
【点评】
本题是三角函数基础运算题，核心是利用互余角正切和余切的转换关系简化计算，解题的关键是快速识别出式子中互为余角的度数，通过分组化简降低计算难度，掌握三角函数基本性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
14. 在$△ ABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$\cos∠ ACB=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，则$∠ ABC$的大小为
30 或 150
°。答案
14. 30 或 150 解析:如图,作 $AD⊥ BC$ 于点 D，
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$\because AC=3,\cos∠ ACB=\frac{2\sqrt{2}}{3},$
$\therefore CD=AC·\cos∠ ACB=3×\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2},$
则 $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1.$
若点 B 在 AD 左侧，
$\because AB=2,AD=1,\therefore∠ ABC=30°;$
若点 B 在 AD 右侧(即点 $B'$)，
则 $∠ AB'D=30°,\therefore∠ AB'C=150°.$
综上,$∠ ABC$ 的度数为 $30°$ 或 $150°$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过作高构造直角三角形，将斜三角形的问题转化为直角三角形的问题求解。首先利用已知的∠ACB的余弦值和AC的长度，在直角三角形中求出CD和公共高AD的长度；再根据AD和AB的长度，利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质求角，需要注意点B相对于垂足D的位置有两种情况（高在三角形内部或外部），要分类讨论避免漏解。
【解析】
作 $AD⊥ BC$ 于点 D，
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\because AC=3,\cos∠ ACB=\frac{2\sqrt{2}}{3},$
$\therefore CD=AC·\cos∠ ACB=3×\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2},$
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1.$
分两种情况讨论：
1. 若点 B 在 AD 左侧，
$\because AB=2,AD=1$，即AD是AB的一半，
$\therefore∠ ABC=30°;$
2. 若点 B 在 AD 右侧(即点 $B'$)，
则 $∠ AB'D=30°$，此时∠AB'C是∠AB'D的邻补角，
$\therefore∠ AB'C=180°-30°=150°.$
综上,$∠ ABC$ 的度数为 $30°$ 或 $150°$.
【答案】
30或150
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作高将斜三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，易错点是容易忽略点B的位置有两种可能，导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，我们可以通过作高构造直角三角形，将斜三角形的问题转化为直角三角形的问题求解。首先利用已知的∠ACB的余弦值和AC的长度，在直角三角形中求出CD和公共高AD的长度；再根据AD和AB的长度，利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质求角，需要注意点B相对于垂足D的位置有两种情况（高在三角形内部或外部），要分类讨论避免漏解。
【解析】
作 $AD⊥ BC$ 于点 D，
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\because AC=3,\cos∠ ACB=\frac{2\sqrt{2}}{3},$
$\therefore CD=AC·\cos∠ ACB=3×\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2},$
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1.$
分两种情况讨论：
1. 若点 B 在 AD 左侧，
$\because AB=2,AD=1$，即AD是AB的一半，
$\therefore∠ ABC=30°;$
2. 若点 B 在 AD 右侧(即点 $B'$)，
则 $∠ AB'D=30°$，此时∠AB'C是∠AB'D的邻补角，
$\therefore∠ AB'C=180°-30°=150°.$
综上,$∠ ABC$ 的度数为 $30°$ 或 $150°$.
【答案】
30或150
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是通过作高将斜三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，易错点是容易忽略点B的位置有两种可能，导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.5
