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15如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2。将△AOB绕点O旋转，如果点B落在y轴上，那么旋转后点A的对应点A'的坐标为
$(1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$
。答案
15. $(1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$
解析:如图,根据题意,要使点 B 落在 y 轴上,则需将$△ AOB$绕点 O 逆时针旋转$60°$得到$△ A_1OB_1$或将$△ AOB$绕点 O 顺时针旋转$120°$得到$△ A_2OB_2$,过 $A_1$ 作 $A_1C_1⊥$ y 轴于点 $C_1$,过 $A_2$ 作 $A_2C_2⊥ y$ 轴于点 $C_2$,由旋转性质可知 $OA_1=OA=2,∠ A_1OC_1=∠ AOB=30°,$
$\therefore OC_1=OA_1·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},$
$A_1C_1=OA_1·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1,$
$\therefore$ 点 $A_1(1,\sqrt{3})$,同理可得点 $A_2(-1,-\sqrt{3}).$
综上,点 $A'$ 的坐标为 $(1,\sqrt{3})$ 或 $(-1,-\sqrt{3})$.
解析
【分析】
解题先梳理已知条件：△AOB中∠AOB=∠B=30°，OA=2，可知OA=AB=2。要让点B旋转后落在y轴上，需分两种旋转方向讨论：①绕O逆时针旋转；②绕O顺时针旋转。先确定两种情况的旋转角度，再利用旋转前后对应边长度不变的性质，过旋转后的点A'作y轴的垂线构造直角三角形，结合三角函数求出A'的横纵坐标，注意不同象限内坐标的符号差异即可。
【解析】
解：点B旋转后落在y轴上分两种情况：
1. 将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△A₁OB₁，此时点B₁落在y轴正半轴上。
过A₁作A₁C₁⊥y轴于点C₁，由旋转性质可知OA₁=OA=2，∠A₁OC₁=∠AOB=30°。
在Rt△A₁OC₁中：
$OC_1=OA_1·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$A_1C_1=OA_1·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
A₁在第一象限，故A₁坐标为$(1,\sqrt{3})$。
2. 将△AOB绕点O顺时针旋转120°，得到△A₂OB₂，此时点B₂落在y轴负半轴上。
过A₂作A₂C₂⊥y轴于点C₂，同理可得OA₂=2，∠A₂OC₂=30°。
在Rt△A₂OC₂中：
$OC_2=OA_2·\cos30°=\sqrt{3}$，$A_2C_2=OA_2·\sin30°=1$，
A₂在第三象限，故A₂坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
综上，旋转后点A的对应点A'的坐标为$(1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$
【知识点】
旋转的性质，解直角三角形，点的坐标
【点评】
本题需要结合旋转的性质分类讨论旋转方向，避免漏解，再通过构造直角三角形利用三角函数计算线段长度得到点的坐标，解题时要注意不同象限内点的坐标符号特征。
【难度系数】
0.6
解题先梳理已知条件：△AOB中∠AOB=∠B=30°，OA=2，可知OA=AB=2。要让点B旋转后落在y轴上，需分两种旋转方向讨论：①绕O逆时针旋转；②绕O顺时针旋转。先确定两种情况的旋转角度，再利用旋转前后对应边长度不变的性质，过旋转后的点A'作y轴的垂线构造直角三角形，结合三角函数求出A'的横纵坐标，注意不同象限内坐标的符号差异即可。
【解析】
解：点B旋转后落在y轴上分两种情况：
1. 将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△A₁OB₁，此时点B₁落在y轴正半轴上。
过A₁作A₁C₁⊥y轴于点C₁，由旋转性质可知OA₁=OA=2，∠A₁OC₁=∠AOB=30°。
在Rt△A₁OC₁中：
$OC_1=OA_1·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$A_1C_1=OA_1·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
A₁在第一象限，故A₁坐标为$(1,\sqrt{3})$。
2. 将△AOB绕点O顺时针旋转120°，得到△A₂OB₂，此时点B₂落在y轴负半轴上。
过A₂作A₂C₂⊥y轴于点C₂，同理可得OA₂=2，∠A₂OC₂=30°。
在Rt△A₂OC₂中：
$OC_2=OA_2·\cos30°=\sqrt{3}$，$A_2C_2=OA_2·\sin30°=1$，
A₂在第三象限，故A₂坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
综上，旋转后点A的对应点A'的坐标为$(1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$
【知识点】
旋转的性质，解直角三角形，点的坐标
【点评】
本题需要结合旋转的性质分类讨论旋转方向，避免漏解，再通过构造直角三角形利用三角函数计算线段长度得到点的坐标，解题时要注意不同象限内点的坐标符号特征。
【难度系数】
0.6
16如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，且$\sin∠ BCD=\dfrac{5}{8}$，则$\dfrac{BC}{AB}=$
$\dfrac{5}{4}$
；若$△ ABC$的周长为26，则$S_{△ ABC}=$$5\sqrt{39}$
。答案
16.$\dfrac{5}{4}\quad 5\sqrt{39}$ 解析:在 $\mathrm{Rt}△ DBC$ 中，
$\because\sin∠ BCD=\frac{5}{8}$,设 $BD=5k,BC=8k,$
$\therefore CD=\sqrt{(8k)^2-(5k)^2}=\sqrt{39}k.$
设 $AC=AB=nk$，
在 $\mathrm{Rt}△ DAC$ 中,$AD=AB-BD=(n-5)k.$
有 $AD^2+CD^2=AC^2$,即$[(n-5)k]^2+(\sqrt{39}k)^2=(nk)^2,$
$\therefore n=6.4$,即 $AB=6.4k,\therefore\frac{BC}{AB}=\frac{8k}{6.4k}=\frac{5}{4}.$
$\because△ ABC$ 的周长为 26，
即 $6.4k+6.4k+8k=20.8k=26,\therefore k=\frac{5}{4},$
$\therefore AB=8,CD=\frac{5}{4}\sqrt{39},$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{4}\sqrt{39}=5\sqrt{39}.$
$\because\sin∠ BCD=\frac{5}{8}$,设 $BD=5k,BC=8k,$
$\therefore CD=\sqrt{(8k)^2-(5k)^2}=\sqrt{39}k.$
设 $AC=AB=nk$，
在 $\mathrm{Rt}△ DAC$ 中,$AD=AB-BD=(n-5)k.$
有 $AD^2+CD^2=AC^2$,即$[(n-5)k]^2+(\sqrt{39}k)^2=(nk)^2,$
$\therefore n=6.4$,即 $AB=6.4k,\therefore\frac{BC}{AB}=\frac{8k}{6.4k}=\frac{5}{4}.$
$\because△ ABC$ 的周长为 26，
即 $6.4k+6.4k+8k=20.8k=26,\therefore k=\frac{5}{4},$
$\therefore AB=8,CD=\frac{5}{4}\sqrt{39},$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{4}\sqrt{39}=5\sqrt{39}.$
解析
【分析】
本题分两步求解：第一步求$\frac{BC}{AB}$的比值，首先由$CD⊥ AB$得到两个直角三角形，先利用$∠ BCD$的正弦值在$\mathrm{Rt}△ BCD$中设参数表示$BD$、$BC$、$CD$的长度，再结合$AB=AC$的等腰性质，用参数表示出$AD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中利用勾股定理列方程求出$AB$对应的参数，即可得到两者的比值；第二步求三角形面积，利用周长条件求出参数的具体值，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ DBC$中，$\sin∠ BCD=\frac{BD}{BC}=\frac{5}{8}$，
设$BD=5k$（$k＞0$），则$BC=8k$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{(8k)^2-(5k)^2}=\sqrt{39}k$。
设$AB=AC=x$，则$AD=AB-BD=x-5k$，
在$\mathrm{Rt}△ DAC$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入得：$(x-5k)^2+(\sqrt{39}k)^2=x^2$，
展开整理得：$x^2-10kx+25k^2+39k^2=x^2$，
消去$x^2$后解得：$x=6.4k$，即$AB=6.4k$，
$\therefore\frac{BC}{AB}=\frac{8k}{6.4k}=\frac{5}{4}$。
已知$△ ABC$的周长为26，即$AB+AC+BC=6.4k+6.4k+8k=20.8k=26$，
解得：$k=\frac{5}{4}$，
$\therefore AB=6.4×\frac{5}{4}=8$，$CD=\sqrt{39}×\frac{5}{4}=\frac{5\sqrt{39}}{4}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×8×\frac{5\sqrt{39}}{4}=5\sqrt{39}$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$；$5\sqrt{39}$
【知识点】
等腰三角形性质、锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，通过设参数的方法建立不同边长之间的联系，结合勾股定理列方程求解是解题的核心思路，能有效考查对三角形相关性质和直角三角形计算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
本题分两步求解：第一步求$\frac{BC}{AB}$的比值，首先由$CD⊥ AB$得到两个直角三角形，先利用$∠ BCD$的正弦值在$\mathrm{Rt}△ BCD$中设参数表示$BD$、$BC$、$CD$的长度，再结合$AB=AC$的等腰性质，用参数表示出$AD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ACD$中利用勾股定理列方程求出$AB$对应的参数，即可得到两者的比值；第二步求三角形面积，利用周长条件求出参数的具体值，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ DBC$中，$\sin∠ BCD=\frac{BD}{BC}=\frac{5}{8}$，
设$BD=5k$（$k＞0$），则$BC=8k$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{(8k)^2-(5k)^2}=\sqrt{39}k$。
设$AB=AC=x$，则$AD=AB-BD=x-5k$，
在$\mathrm{Rt}△ DAC$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入得：$(x-5k)^2+(\sqrt{39}k)^2=x^2$，
展开整理得：$x^2-10kx+25k^2+39k^2=x^2$，
消去$x^2$后解得：$x=6.4k$，即$AB=6.4k$，
$\therefore\frac{BC}{AB}=\frac{8k}{6.4k}=\frac{5}{4}$。
已知$△ ABC$的周长为26，即$AB+AC+BC=6.4k+6.4k+8k=20.8k=26$，
解得：$k=\frac{5}{4}$，
$\therefore AB=6.4×\frac{5}{4}=8$，$CD=\sqrt{39}×\frac{5}{4}=\frac{5\sqrt{39}}{4}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×8×\frac{5\sqrt{39}}{4}=5\sqrt{39}$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$；$5\sqrt{39}$
【知识点】
等腰三角形性质、锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，通过设参数的方法建立不同边长之间的联系，结合勾股定理列方程求解是解题的核心思路，能有效考查对三角形相关性质和直角三角形计算的掌握程度。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17. 已知α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$3\cos^2α+\sin(α-15°)\tan(α+15°)-\sqrt{3}\cos(α-15°)$的值.
17. 已知α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$3\cos^2α+\sin(α-15°)\tan(α+15°)-\sqrt{3}\cos(α-15°)$的值.
答案
17. 解:$\because\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$,且 $α$ 是锐角,$\thereforeα=45°,$
$\therefore3\cos^2α+\sin(α-15°)\tan(α+15°)-\sqrt{3}\cos(α-15°)$
$=3\cos^245°+\sin30°\tan60°-\sqrt{3}\cos30°$
$=3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$\therefore3\cos^2α+\sin(α-15°)\tan(α+15°)-\sqrt{3}\cos(α-15°)$
$=3\cos^245°+\sin30°\tan60°-\sqrt{3}\cos30°$
$=3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
解题第一步先根据已知条件推导α的度数：已知α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合特殊锐角的三角函数值可知$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可确定$α=45°$；第二步将$α=45°$代入待求式，把式中所有三角函数转化为特殊角的三角函数，再代入对应特殊角的三角函数值，按照实数运算规则依次计算即可得到最终结果。
【解析】
解：$\becauseα$是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\thereforeα=45°$
将$α=45°$代入原式得：
$\begin{split}&3\cos^2α+\sin(α-15°)\tan(α+15°)-\sqrt{3}\cos(α-15°)\\=&3\cos^245°+\sin30°\tan60°-\sqrt{3}\cos30°\\=&3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\=&3×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}\\=&\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}\\=&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{split}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 由三角函数值求锐角
2. 特殊角的三角函数值
3. 实数混合运算
【点评】
本题属于基础的三角函数求值类题目，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，解题逻辑清晰，只要熟练记忆特殊角的三角函数值，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题第一步先根据已知条件推导α的度数：已知α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合特殊锐角的三角函数值可知$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可确定$α=45°$；第二步将$α=45°$代入待求式，把式中所有三角函数转化为特殊角的三角函数，再代入对应特殊角的三角函数值，按照实数运算规则依次计算即可得到最终结果。
【解析】
解：$\becauseα$是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\thereforeα=45°$
将$α=45°$代入原式得：
$\begin{split}&3\cos^2α+\sin(α-15°)\tan(α+15°)-\sqrt{3}\cos(α-15°)\\=&3\cos^245°+\sin30°\tan60°-\sqrt{3}\cos30°\\=&3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}×\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\=&3×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}\\=&\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}\\=&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{split}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 由三角函数值求锐角
2. 特殊角的三角函数值
3. 实数混合运算
【点评】
本题属于基础的三角函数求值类题目，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，解题逻辑清晰，只要熟练记忆特殊角的三角函数值，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
18(1)通过计算(用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想:
①$\sin 30°$
②$\sin 36°$
③$\sin 45°$
④$\sin 60°$
⑤$\sin 80°$
⑥$\sin 90°$
猜想:当$0°＜α≤45°$时,$\sin 2α$与$2\sin α\cos α$的大小关系;
(2)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=l,∠ BAC=2α$.请根据图中的提示,利用面积法验证你的猜想.
①$\sin 30°$
=
$2\sin 15°\cos 15°$;②$\sin 36°$
=
$2\sin 18°\cos 18°$;③$\sin 45°$
=
$2\sin 22.5°\cos 22.5°$;④$\sin 60°$
=
$2\sin 30°\cos 30°$;⑤$\sin 80°$
=
$2\sin 40°\cos 40°$;⑥$\sin 90°$
=
$2\sin 45°\cos 45°$.猜想:当$0°＜α≤45°$时,$\sin 2α$与$2\sin α\cos α$的大小关系;
(2)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=l,∠ BAC=2α$.请根据图中的提示,利用面积法验证你的猜想.
答案
18. (1)解:①= ②= ③= ④= ⑤= ⑥=
猜想:当 $0°＜α≤45°$ 时,$\sin 2α=2\sin α\cos α.$
(2)证明:第一个图形:
$\because AB=AC,∠ AEB=90°,$
$\therefore BE=AB·\sin 2α=AC·\sin 2α,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}AC^2·\sin 2α.$
即 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}l^2\sin 2α.$
第二个图形:
$\because AB=AC,\therefore△ ABC$ 是等腰三角形.
$\because AD⊥ BC,\therefore BD=CD.$
$\because BD=AB·\sin α,AD=AC·\cos α,$
$\therefore BC=2BD=2AB·\sin α,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=AB\sin α· AC\cos α.$
即 $S_{△ ABC}=l^2\sin α\cos α.$
$\because$ 第一个图形与第二个图形面积相等，
$\therefore\frac{1}{2}l^2\sin 2α=l^2\sin α\cos α,\therefore\sin 2α=2\sin α\cos α.$
猜想:当 $0°＜α≤45°$ 时,$\sin 2α=2\sin α\cos α.$
(2)证明:第一个图形:
$\because AB=AC,∠ AEB=90°,$
$\therefore BE=AB·\sin 2α=AC·\sin 2α,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}AC^2·\sin 2α.$
即 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}l^2\sin 2α.$
第二个图形:
$\because AB=AC,\therefore△ ABC$ 是等腰三角形.
$\because AD⊥ BC,\therefore BD=CD.$
$\because BD=AB·\sin α,AD=AC·\cos α,$
$\therefore BC=2BD=2AB·\sin α,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=AB\sin α· AC\cos α.$
即 $S_{△ ABC}=l^2\sin α\cos α.$
$\because$ 第一个图形与第二个图形面积相等，
$\therefore\frac{1}{2}l^2\sin 2α=l^2\sin α\cos α,\therefore\sin 2α=2\sin α\cos α.$
解析
【分析】
(1) 先分别计算每组式子左右两边的数值：左边是对应角度的正弦值，右边是该角度半角的正弦、余弦乘积的2倍，借助计算器或特殊角三角函数值计算后比较大小，再归纳得到0°＜α≤45°时sin2α和2sinαcosα的大小关系。
(2) 验证猜想时利用同一个△ABC面积不变的特点，用两种方法计算面积：第一种以AC为底、BE为高，结合三角函数表示出BE长度，代入面积公式得到含sin2α的面积表达式；第二种利用等腰三角形三线合一的性质，用α的三角函数表示出底边BC和高AD的长度，代入面积公式得到含sinα、cosα的面积表达式，令两个面积相等，化简后即可验证猜想。
【解析】
(1) 计算各组数值可得：
① $\sin 30°=0.5$，$2\sin 15°\cos 15°\approx0.5$，二者相等；
② $\sin 36°\approx0.5878$，$2\sin 18°\cos 18°\approx0.5878$，二者相等；
③ $\sin 45°\approx0.7071$，$2\sin 22.5°\cos 22.5°\approx0.7071$，二者相等；
④ $\sin 60°\approx0.8660$，$2\sin 30°\cos 30°\approx0.8660$，二者相等；
⑤ $\sin 80°\approx0.9848$，$2\sin 40°\cos 40°\approx0.9848$，二者相等；
⑥ $\sin 90°=1$，$2\sin 45°\cos 45°=1$，二者相等。
因此6组的大小关系均为相等，可猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin 2α=2\sin α\cos α$。
(2) 证明：
对第一个图的$△ ABC$：
$\because AB=AC=l$，$∠ AEB=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABE$中，$BE=AB· \sin∠ BAC = l· \sin2α$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}× l× l\sin2α=\frac{1}{2}l^2\sin2α$。
对第二个图的$△ ABC$：
$\because AB=AC=l$，$AD⊥ BC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$AD$平分$∠ BAC$、平分$BC$，即$∠ BAD=α$，$BC=2BD$。
在$Rt△ ABD$中，$BD=AB· \sinα=l\sinα$，$AD=AB· \cosα=l\cosα$，
$\therefore BC=2l\sinα$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2l\sinα× l\cosα=l^2\sinα\cosα$。
$\because$ 两个图形是同一个$△ ABC$，面积相等，
$\therefore \frac{1}{2}l^2\sin2α=l^2\sinα\cosα$，约去$l^2$可得$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想得证。
【答案】
(1) ①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；⑥$=$；猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin 2α=2\sin α\cos α$
(2) 经验证，猜想$\sin 2α=2\sin α\cos α$成立
【知识点】
1. 锐角三角函数计算
2. 三角形面积计算
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题从数值计算探究规律出发，再通过几何面积法进行验证，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了锐角三角函数运算、等腰三角形性质的应用，也锻炼了归纳猜想与逻辑证明的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 先分别计算每组式子左右两边的数值：左边是对应角度的正弦值，右边是该角度半角的正弦、余弦乘积的2倍，借助计算器或特殊角三角函数值计算后比较大小，再归纳得到0°＜α≤45°时sin2α和2sinαcosα的大小关系。
(2) 验证猜想时利用同一个△ABC面积不变的特点，用两种方法计算面积：第一种以AC为底、BE为高，结合三角函数表示出BE长度，代入面积公式得到含sin2α的面积表达式；第二种利用等腰三角形三线合一的性质，用α的三角函数表示出底边BC和高AD的长度，代入面积公式得到含sinα、cosα的面积表达式，令两个面积相等，化简后即可验证猜想。
【解析】
(1) 计算各组数值可得：
① $\sin 30°=0.5$，$2\sin 15°\cos 15°\approx0.5$，二者相等；
② $\sin 36°\approx0.5878$，$2\sin 18°\cos 18°\approx0.5878$，二者相等；
③ $\sin 45°\approx0.7071$，$2\sin 22.5°\cos 22.5°\approx0.7071$，二者相等；
④ $\sin 60°\approx0.8660$，$2\sin 30°\cos 30°\approx0.8660$，二者相等；
⑤ $\sin 80°\approx0.9848$，$2\sin 40°\cos 40°\approx0.9848$，二者相等；
⑥ $\sin 90°=1$，$2\sin 45°\cos 45°=1$，二者相等。
因此6组的大小关系均为相等，可猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin 2α=2\sin α\cos α$。
(2) 证明：
对第一个图的$△ ABC$：
$\because AB=AC=l$，$∠ AEB=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ ABE$中，$BE=AB· \sin∠ BAC = l· \sin2α$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}× l× l\sin2α=\frac{1}{2}l^2\sin2α$。
对第二个图的$△ ABC$：
$\because AB=AC=l$，$AD⊥ BC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$AD$平分$∠ BAC$、平分$BC$，即$∠ BAD=α$，$BC=2BD$。
在$Rt△ ABD$中，$BD=AB· \sinα=l\sinα$，$AD=AB· \cosα=l\cosα$，
$\therefore BC=2l\sinα$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2l\sinα× l\cosα=l^2\sinα\cosα$。
$\because$ 两个图形是同一个$△ ABC$，面积相等，
$\therefore \frac{1}{2}l^2\sin2α=l^2\sinα\cosα$，约去$l^2$可得$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想得证。
【答案】
(1) ①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；⑥$=$；猜想：当$0°＜α≤45°$时，$\sin 2α=2\sin α\cos α$
(2) 经验证，猜想$\sin 2α=2\sin α\cos α$成立
【知识点】
1. 锐角三角函数计算
2. 三角形面积计算
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题从数值计算探究规律出发，再通过几何面积法进行验证，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了锐角三角函数运算、等腰三角形性质的应用，也锻炼了归纳猜想与逻辑证明的能力。
【难度系数】
0.8
19 如图，$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ ACE$，点 $C$ 在 $BD$ 上，$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$。
(1) 求 $∠ CDE$ 的度数；
(2) 若 $BC=1$，$\tan∠ ADB = \frac{1}{4}$，求 $DE$ 的长；
(3) 若 $\tan∠ CED = \sqrt{3}$，求 $\tan∠ ADB$ 的值。
(1) 求 $∠ CDE$ 的度数；
(2) 若 $BC=1$，$\tan∠ ADB = \frac{1}{4}$，求 $DE$ 的长；
(3) 若 $\tan∠ CED = \sqrt{3}$，求 $\tan∠ ADB$ 的值。
答案
19. 解: (1) $\because \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ ACE,∠ BAD = ∠ CAE = 90°,$
$\therefore AD=AE,AB=AC,BD=CE,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD),$
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC).$
$\because∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=90°,∠ EAD+∠ CAD=∠ CAE=90°,\therefore∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB.$
在 $△ ABD$ 中,$∠ ABC+∠ ADB=90°,$
$\therefore∠ ADE+∠ ADB=∠ EDC=90°,$
$\therefore∠ CDE=90°.$
(2) $\because∠ BAC=∠ EAD,∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB,$
$\therefore△ ABC∽△ ADE,\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$
在 $△ ABD$ 中,$\tan∠ ADB=\frac{1}{4}=\frac{AB}{AD},$
又 $BC=1,\therefore\frac{1}{4}=\frac{1}{DE},\therefore DE=4.$
(3) $\because\tan∠ CED=\sqrt{3}$,设 $CD=\sqrt{3}a,ED=a.$
$\because∠ CDE=90°,$
$\therefore CE=\sqrt{CD^2+ED^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=2a.$
$\because BD=CE,\therefore BD=CE=2a,$
$\therefore BC=BD-CD=2a-\sqrt{3}a=(2-\sqrt{3})a.$
$\because\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD},△ ABC∽△ ADE,$
$\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{(2-\sqrt{3})a}{a}=2-\sqrt{3},$
$\therefore\tan∠ ADB=2-\sqrt{3}.$
$\therefore AD=AE,AB=AC,BD=CE,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD),$
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC).$
$\because∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=90°,∠ EAD+∠ CAD=∠ CAE=90°,\therefore∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB.$
在 $△ ABD$ 中,$∠ ABC+∠ ADB=90°,$
$\therefore∠ ADE+∠ ADB=∠ EDC=90°,$
$\therefore∠ CDE=90°.$
(2) $\because∠ BAC=∠ EAD,∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB,$
$\therefore△ ABC∽△ ADE,\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$
在 $△ ABD$ 中,$\tan∠ ADB=\frac{1}{4}=\frac{AB}{AD},$
又 $BC=1,\therefore\frac{1}{4}=\frac{1}{DE},\therefore DE=4.$
(3) $\because\tan∠ CED=\sqrt{3}$,设 $CD=\sqrt{3}a,ED=a.$
$\because∠ CDE=90°,$
$\therefore CE=\sqrt{CD^2+ED^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=2a.$
$\because BD=CE,\therefore BD=CE=2a,$
$\therefore BC=BD-CD=2a-\sqrt{3}a=(2-\sqrt{3})a.$
$\because\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD},△ ABC∽△ ADE,$
$\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{(2-\sqrt{3})a}{a}=2-\sqrt{3},$
$\therefore\tan∠ ADB=2-\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 首先利用全等三角形的性质得到AD=AE、AB=AC，可知△ADE和△ABC均为等腰三角形；再通过同角的余角相等推出∠BAC=∠DAE，可得两个等腰三角形的底角相等；最后结合Rt△ABD两锐角互余的性质，进行角的代换即可求出∠CDE的度数。
(2) 由(1)得到△ABC和△ADE的顶角相等，可证明两三角形相似，得到对应边成比例$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$；再结合锐角三角函数的定义$\tan∠ADB=\frac{AB}{AD}$，代入已知数值即可求出DE的长度。
(3) 先根据$\tan∠CED=\sqrt{3}$，在Rt△CDE中设参数表示各边长度；再利用全等三角形的性质得BD=CE，求出BC的长度；最后借助(2)中的比例关系$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，即可得到$\tan∠ADB$的值。
【解析】
(1) $\because \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ ACE,∠ BAD = ∠ CAE = 90°,$
$\therefore AD=AE,AB=AC,BD=CE,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD),$
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC).$
$\because∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=90°,∠ EAD+∠ CAD=∠ CAE=90°,\therefore∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB.$
在 $△ ABD$ 中,$∠ ABC+∠ ADB=90°,$
$\therefore∠ ADE+∠ ADB=∠ EDC=90°,$
$\therefore∠ CDE=90°.$
(2) $\because∠ BAC=∠ EAD,∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB,$
$\therefore△ ABC∽△ ADE,\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$
在 $△ ABD$ 中,$\tan∠ ADB=\frac{1}{4}=\frac{AB}{AD},$
又 $BC=1,\therefore\frac{1}{4}=\frac{1}{DE},\therefore DE=4.$
(3) $\because\tan∠ CED=\sqrt{3}$,设 $CD=\sqrt{3}a,ED=a.$
$\because∠ CDE=90°,$
$\therefore CE=\sqrt{CD^2+ED^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=2a.$
$\because BD=CE,\therefore BD=CE=2a,$
$\therefore BC=BD-CD=2a-\sqrt{3}a=(2-\sqrt{3})a.$
$\because\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD},△ ABC∽△ ADE,$
$\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{(2-\sqrt{3})a}{a}=2-\sqrt{3},$
$\therefore\tan∠ ADB=2-\sqrt{3}.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$
【知识点】
全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用
【点评】
本题是几何综合题，以全等三角形为切入点，结合等腰三角形性质、相似三角形的比例关系和锐角三角函数的定义逐步求解，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用全等三角形的性质得到AD=AE、AB=AC，可知△ADE和△ABC均为等腰三角形；再通过同角的余角相等推出∠BAC=∠DAE，可得两个等腰三角形的底角相等；最后结合Rt△ABD两锐角互余的性质，进行角的代换即可求出∠CDE的度数。
(2) 由(1)得到△ABC和△ADE的顶角相等，可证明两三角形相似，得到对应边成比例$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$；再结合锐角三角函数的定义$\tan∠ADB=\frac{AB}{AD}$，代入已知数值即可求出DE的长度。
(3) 先根据$\tan∠CED=\sqrt{3}$，在Rt△CDE中设参数表示各边长度；再利用全等三角形的性质得BD=CE，求出BC的长度；最后借助(2)中的比例关系$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，即可得到$\tan∠ADB$的值。
【解析】
(1) $\because \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ ACE,∠ BAD = ∠ CAE = 90°,$
$\therefore AD=AE,AB=AC,BD=CE,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ EAD),$
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC).$
$\because∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=90°,∠ EAD+∠ CAD=∠ CAE=90°,\therefore∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB.$
在 $△ ABD$ 中,$∠ ABC+∠ ADB=90°,$
$\therefore∠ ADE+∠ ADB=∠ EDC=90°,$
$\therefore∠ CDE=90°.$
(2) $\because∠ BAC=∠ EAD,∠ ADE=∠ AED=∠ ABC=∠ ACB,$
$\therefore△ ABC∽△ ADE,\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$
在 $△ ABD$ 中,$\tan∠ ADB=\frac{1}{4}=\frac{AB}{AD},$
又 $BC=1,\therefore\frac{1}{4}=\frac{1}{DE},\therefore DE=4.$
(3) $\because\tan∠ CED=\sqrt{3}$,设 $CD=\sqrt{3}a,ED=a.$
$\because∠ CDE=90°,$
$\therefore CE=\sqrt{CD^2+ED^2}=\sqrt{(\sqrt{3}a)^2+a^2}=2a.$
$\because BD=CE,\therefore BD=CE=2a,$
$\therefore BC=BD-CD=2a-\sqrt{3}a=(2-\sqrt{3})a.$
$\because\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD},△ ABC∽△ ADE,$
$\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{(2-\sqrt{3})a}{a}=2-\sqrt{3},$
$\therefore\tan∠ ADB=2-\sqrt{3}.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$
【知识点】
全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用
【点评】
本题是几何综合题，以全等三角形为切入点，结合等腰三角形性质、相似三角形的比例关系和锐角三角函数的定义逐步求解，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
