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7.操场上有三根测杆AB、MN和XY，MN=XY，其中测杆AB在太阳光下某一时刻的影子为BC(如图中粗线).
(1)画出测杆MN在同一时刻的影子NP(用粗线表示)，并简述画法；
(2)若在同一时刻测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，画出测杆XY所在的位置(用实线表示)，并简述画法.
(1)画出测杆MN在同一时刻的影子NP(用粗线表示)，并简述画法；
(2)若在同一时刻测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，画出测杆XY所在的位置(用实线表示)，并简述画法.
答案
7.解:(1)如图,连接AC,过点M作$MP// AC$交NC于点P,则NP为MN的影子.
(2)如图,过B作$BX// AC$,且$BX=MP$,过X作$XY⊥ NC$交NC于点Y,则XY即为所求.
解析
【分析】
本题考查平行投影的作图，解题核心是利用“同一时刻太阳光下的光线互相平行”这一性质。
对于(1)，首先确定已知光线方向：测杆AB的影子为BC，说明太阳光线沿AC方向传播，要画MN的影子，只需过M点作与AC平行的光线，该光线与地面的交点就是影子端点P，NP即为MN的影子。
对于(2)，已知XY的影子顶端落在B点，说明经过XY顶端X的光线恰好经过B点，结合光线平行的性质，这条光线应与AC平行；又因为XY=MN，同一时刻相同高度的物体，光线从顶端到影子端点的长度相等，因此先过B作平行于AC的射线，在射线上取与MP等长的线段BX，再过X作地面的垂线，垂足为Y，XY就是所求测杆。
【解析】
(1) ① 连接AC，确定太阳光线的传播方向；② 过点M作$MP// AC$，交地面所在直线NC于点P；③ 线段NP就是测杆MN在同一时刻的影子，用粗线标注NP即可。依据是同一时刻平行投影的光线互相平行，直立测杆均垂直于水平地面，符合平行投影的对应规律。
(2) ① 过点B作$BX// AC$，且使$BX=MP$；② 过点X作$XY⊥ NC$，垂足为Y；③ 线段XY就是所求测杆的位置，用实线标注即可。依据是同一时刻高度相同的直立测杆，对应的太阳光线长度相等，且测杆垂直于地面，因此$XY=MN$，符合题意。
【答案】
(1) 如图,连接AC,过点M作$MP// AC$交NC于点P,则NP为MN的影子.
(2) 如图,过B作$BX// AC$,且$BX=MP$,过X作$XY⊥ NC$交NC于点Y,则XY即为所求.
【知识点】
平行投影的性质；平行线的画法；垂直的作图
【点评】
本题是平行投影的基础作图题，紧密结合生活实际，重点考查对平行投影“同一时刻光线互相平行”这一核心性质的理解，同时考查了基本的平行线、垂线的作图能力，是投影类知识的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查平行投影的作图，解题核心是利用“同一时刻太阳光下的光线互相平行”这一性质。
对于(1)，首先确定已知光线方向：测杆AB的影子为BC，说明太阳光线沿AC方向传播，要画MN的影子，只需过M点作与AC平行的光线，该光线与地面的交点就是影子端点P，NP即为MN的影子。
对于(2)，已知XY的影子顶端落在B点，说明经过XY顶端X的光线恰好经过B点，结合光线平行的性质，这条光线应与AC平行；又因为XY=MN，同一时刻相同高度的物体，光线从顶端到影子端点的长度相等，因此先过B作平行于AC的射线，在射线上取与MP等长的线段BX，再过X作地面的垂线，垂足为Y，XY就是所求测杆。
【解析】
(1) ① 连接AC，确定太阳光线的传播方向；② 过点M作$MP// AC$，交地面所在直线NC于点P；③ 线段NP就是测杆MN在同一时刻的影子，用粗线标注NP即可。依据是同一时刻平行投影的光线互相平行，直立测杆均垂直于水平地面，符合平行投影的对应规律。
(2) ① 过点B作$BX// AC$，且使$BX=MP$；② 过点X作$XY⊥ NC$，垂足为Y；③ 线段XY就是所求测杆的位置，用实线标注即可。依据是同一时刻高度相同的直立测杆，对应的太阳光线长度相等，且测杆垂直于地面，因此$XY=MN$，符合题意。
【答案】
(1) 如图,连接AC,过点M作$MP// AC$交NC于点P,则NP为MN的影子.
(2) 如图,过B作$BX// AC$,且$BX=MP$,过X作$XY⊥ NC$交NC于点Y,则XY即为所求.
【知识点】
平行投影的性质；平行线的画法；垂直的作图
【点评】
本题是平行投影的基础作图题，紧密结合生活实际，重点考查对平行投影“同一时刻光线互相平行”这一核心性质的理解，同时考查了基本的平行线、垂线的作图能力，是投影类知识的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
8.某个几何体的三视图及实际尺寸(单位:mm)如图所示.
(1)请描述这个几何体的形状；
(2)按三视图上的实际尺寸,画出它的表面展开图；
(3)求这个几何体的表面积.(结果保留根号)
(1)请描述这个几何体的形状；
(2)按三视图上的实际尺寸,画出它的表面展开图；
(3)求这个几何体的表面积.(结果保留根号)
答案
8.解:(1)底面是上底为80 mm,下底为$80+30+30=140(\mathrm{mm})$,高为$30×\tan60°=30\sqrt{3}(\mathrm{mm})$的等腰梯形,高为120 mm的直四棱柱.
(2)如图所示.
(3)这个几何体的表面积为$2×\frac{1}{2}×(80+140)×30\sqrt{3}+2×60×120+80×120+140×120=(6600\sqrt{3}+40800)\ \mathrm{mm}^2$.
解析
【分析】
解决这道题我们分三步思考：
1. 对于第(1)问判断几何体形状：先观察三视图特征，主视图为等腰梯形，左视图为矩形，俯视图为多个矩形拼接，说明该几何体是直棱柱，底面就是主视图对应的等腰梯形，棱柱的高对应俯视图的120mm，再计算底面梯形的各参数即可描述形状。
2. 对于第(2)问画表面展开图：直四棱柱的展开图由2个全等的等腰梯形（上下底面）和4个矩形（侧面）组成，先通过主视图的60°角算出梯形腰长为$30÷\cos60°=60\mathrm{mm}$，再对应各边长度画出展开图即可。
3. 对于第(3)问求表面积：几何体的表面积=2个底面等腰梯形的面积和+4个侧面矩形的面积和，分别代入对应公式计算再求和即可。
【解析】
(1) 首先计算底面等腰梯形的参数：
下底长度 = 上底 + $2×30=80+60=140(\mathrm{mm})$，
梯形的高 = $30×\tan60°=30\sqrt{3}(\mathrm{mm})$，
结合三视图特征，该几何体是底面为上述等腰梯形，侧棱长（棱柱高）为120mm的直四棱柱。
(2) 表面展开图如下：
(3) 计算表面积：
① 2个底面等腰梯形的面积和：
$2× S_{梯形}=2×\frac{1}{2}×(上底+下底)×梯形高=(80+140)×30\sqrt{3}=6600\sqrt{3}\ (\mathrm{mm}^2)$
② 侧面矩形的面积和：
梯形腰长为$\frac{30}{\cos60°}=60(\mathrm{mm})$，
侧面积 = $2×腰长×棱柱高 + 上底×棱柱高 + 下底×棱柱高$
= $2×60×120 + 80×120 + 140×120$
= $14400 + 9600 + 16800 = 40800\ (\mathrm{mm}^2)$
③ 总表面积 = 底面积和 + 侧面积和 = $(6600\sqrt{3}+40800)\ \mathrm{mm}^2$
【答案】
(1) 底面是上底为80 mm，下底为140 mm，高为$30\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$的等腰梯形，高为120 mm的直四棱柱。
(2)
(3) $(6600\sqrt{3}+40800)\ \mathrm{mm}^2$
【知识点】
三视图识别，直棱柱表面积计算，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了三视图与几何体的对应关系、表面展开图的绘制以及表面积的计算，解题的核心是先准确根据三视图还原几何体形状，再结合特殊角的三角函数值求出相关边长，代入对应公式计算即可，计算时要注意不要漏算任何一个面的面积。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们分三步思考：
1. 对于第(1)问判断几何体形状：先观察三视图特征，主视图为等腰梯形，左视图为矩形，俯视图为多个矩形拼接，说明该几何体是直棱柱，底面就是主视图对应的等腰梯形，棱柱的高对应俯视图的120mm，再计算底面梯形的各参数即可描述形状。
2. 对于第(2)问画表面展开图：直四棱柱的展开图由2个全等的等腰梯形（上下底面）和4个矩形（侧面）组成，先通过主视图的60°角算出梯形腰长为$30÷\cos60°=60\mathrm{mm}$，再对应各边长度画出展开图即可。
3. 对于第(3)问求表面积：几何体的表面积=2个底面等腰梯形的面积和+4个侧面矩形的面积和，分别代入对应公式计算再求和即可。
【解析】
(1) 首先计算底面等腰梯形的参数：
下底长度 = 上底 + $2×30=80+60=140(\mathrm{mm})$，
梯形的高 = $30×\tan60°=30\sqrt{3}(\mathrm{mm})$，
结合三视图特征，该几何体是底面为上述等腰梯形，侧棱长（棱柱高）为120mm的直四棱柱。
(2) 表面展开图如下：
(3) 计算表面积：
① 2个底面等腰梯形的面积和：
$2× S_{梯形}=2×\frac{1}{2}×(上底+下底)×梯形高=(80+140)×30\sqrt{3}=6600\sqrt{3}\ (\mathrm{mm}^2)$
② 侧面矩形的面积和：
梯形腰长为$\frac{30}{\cos60°}=60(\mathrm{mm})$，
侧面积 = $2×腰长×棱柱高 + 上底×棱柱高 + 下底×棱柱高$
= $2×60×120 + 80×120 + 140×120$
= $14400 + 9600 + 16800 = 40800\ (\mathrm{mm}^2)$
③ 总表面积 = 底面积和 + 侧面积和 = $(6600\sqrt{3}+40800)\ \mathrm{mm}^2$
【答案】
(1) 底面是上底为80 mm，下底为140 mm，高为$30\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$的等腰梯形，高为120 mm的直四棱柱。
(2)
(3) $(6600\sqrt{3}+40800)\ \mathrm{mm}^2$
【知识点】
三视图识别，直棱柱表面积计算，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了三视图与几何体的对应关系、表面展开图的绘制以及表面积的计算，解题的核心是先准确根据三视图还原几何体形状，再结合特殊角的三角函数值求出相关边长，代入对应公式计算即可，计算时要注意不要漏算任何一个面的面积。
【难度系数】
0.7
9 一个透明的敞口正方体容器ABCD - A'B'C'D'装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(注：
中∠CBE=α，中BQ=3 dm)。
探究：如图，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，其三视图及尺寸如图所示，那么，图1中，液体形状为
拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出。若从正面看，液面与棱C'C或CB交于点P，点Q始终在棱BB'上，设PC=x，请你在中把此容器的主视图补充完整，并用含x的代数式表示BQ的长度。
中∠CBE=α，中BQ=3 dm)。探究：如图，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，其三视图及尺寸如图所示，那么，图1中，液体形状为
三棱柱
（填几何体的名称）；利用图2中数据，可以算出图1中液体的体积为24
dm³。（提示：V=底面积×高）拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出。若从正面看，液面与棱C'C或CB交于点P，点Q始终在棱BB'上，设PC=x，请你在中把此容器的主视图补充完整，并用含x的代数式表示BQ的长度。
答案
9.解:探究:题图1中,液体形状为三棱柱.
利用题图2中数据,可以算出题图1中液体的体积为$V_{\mathrm{液}}=\frac{1}{2}×3×4×4=24(\mathrm{dm}^3)$.
故答案为三棱柱,24.
拓展:当容器向左旋转时,如图1,
∵液体体积不变,
∴$\frac{1}{2}(x+BQ)×4×4=24$,$\therefore BQ=-x+3$.
当容器向右旋转时,如图2,同理可得$\frac{1}{2}×(4-x)×BQ×4=24$,
$\therefore BQ=\frac{12}{4-x}$.
解析
【分析】
探究部分
首先判断液体的几何体形状：观察液体结构，存在两个互相平行且全等的直角三角形端面（垂直于棱AB），其余侧面均为平行四边形，符合三棱柱的特征。计算体积时，先从三视图提取尺寸：三棱柱的底面是直角边为3dm、4dm的直角三角形，棱柱的高即AB的长度为4dm，再用棱柱体积公式（底面积×高）计算即可。
拓展部分
旋转过程中液体体积不变是核心等量关系，根据P点位置分两种情况讨论：①容器向左旋转时，正面看液体截面为梯形，以梯形为底面、AB长为高的棱柱体积等于液体体积，列方程求解BQ；②容器向右旋转时，正面看液体截面为直角三角形，以三角形为底面、AB长为高的棱柱体积等于液体体积，列方程求解BQ。
【解析】
探究
1. 几何体判断：液体的两个端面为互相平行的直角三角形，侧棱均平行于AB，符合三棱柱的定义，因此液体形状为三棱柱。
2. 体积计算：由三视图可知，三棱柱底面直角三角形的两条直角边分别为3dm、4dm，棱柱的高（AB的长度）为4dm，根据棱柱体积公式：
$ V_{\mathrm{液}} = \mathrm{底面积} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 3 × 4 × 4 = 24(\mathrm{dm}^3) $。
拓展
旋转时液体体积恒为$24\mathrm{dm}^3$，分两种情况讨论：
1. 容器向左旋转时（对应图1）：
正面液体截面为梯形，上底长为$x$，下底长为$BQ$，梯形高为4dm，棱柱高为4dm，列方程：
$ \frac{1}{2}(x + BQ) × 4 × 4 = 24 $
化简解得：$ BQ = -x + 3 $。
2. 容器向右旋转时（对应图2）：
正面液体截面为直角三角形，两条直角边分别为$4-x$和$BQ$，棱柱高为4dm，列方程：
$ \frac{1}{2} × (4 - x) × BQ × 4 = 24 $
化简解得：$ BQ = \frac{12}{4 - x} $。
【答案】
探究：三棱柱，$\boldsymbol{24}$；
拓展：向左旋转时$ BQ = -x + 3 $，；向右旋转时$ BQ = \frac{12}{4 - x} $，。
【知识点】
三视图识别、棱柱体积计算、分类讨论思想
【点评】
本题结合投影与视图知识考查几何体体积的动态应用，解题关键是抓住液体体积不变的隐含条件，结合分类讨论思想求解，对学生的空间想象能力和方程应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
探究部分
首先判断液体的几何体形状：观察液体结构，存在两个互相平行且全等的直角三角形端面（垂直于棱AB），其余侧面均为平行四边形，符合三棱柱的特征。计算体积时，先从三视图提取尺寸：三棱柱的底面是直角边为3dm、4dm的直角三角形，棱柱的高即AB的长度为4dm，再用棱柱体积公式（底面积×高）计算即可。
拓展部分
旋转过程中液体体积不变是核心等量关系，根据P点位置分两种情况讨论：①容器向左旋转时，正面看液体截面为梯形，以梯形为底面、AB长为高的棱柱体积等于液体体积，列方程求解BQ；②容器向右旋转时，正面看液体截面为直角三角形，以三角形为底面、AB长为高的棱柱体积等于液体体积，列方程求解BQ。
【解析】
探究
1. 几何体判断：液体的两个端面为互相平行的直角三角形，侧棱均平行于AB，符合三棱柱的定义，因此液体形状为三棱柱。
2. 体积计算：由三视图可知，三棱柱底面直角三角形的两条直角边分别为3dm、4dm，棱柱的高（AB的长度）为4dm，根据棱柱体积公式：
$ V_{\mathrm{液}} = \mathrm{底面积} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 3 × 4 × 4 = 24(\mathrm{dm}^3) $。
拓展
旋转时液体体积恒为$24\mathrm{dm}^3$，分两种情况讨论：
1. 容器向左旋转时（对应图1）：
正面液体截面为梯形，上底长为$x$，下底长为$BQ$，梯形高为4dm，棱柱高为4dm，列方程：
$ \frac{1}{2}(x + BQ) × 4 × 4 = 24 $
化简解得：$ BQ = -x + 3 $。
2. 容器向右旋转时（对应图2）：
正面液体截面为直角三角形，两条直角边分别为$4-x$和$BQ$，棱柱高为4dm，列方程：
$ \frac{1}{2} × (4 - x) × BQ × 4 = 24 $
化简解得：$ BQ = \frac{12}{4 - x} $。
【答案】
探究：三棱柱，$\boldsymbol{24}$；
拓展：向左旋转时$ BQ = -x + 3 $，
；向右旋转时$ BQ = \frac{12}{4 - x} $，。【知识点】
三视图识别、棱柱体积计算、分类讨论思想
【点评】
本题结合投影与视图知识考查几何体体积的动态应用，解题关键是抓住液体体积不变的隐含条件，结合分类讨论思想求解，对学生的空间想象能力和方程应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
