登录
一、选择题
1. 如图所示的是某工件的实物图，该工件的俯视图为 （
1. 如图所示的是某工件的实物图，该工件的俯视图为 （
B
）答案
1.B
解析
【分析】
要判断该工件的俯视图，首先明确俯视图是从物体正上方观察得到的视图，规定可见轮廓用实线绘制，不可见轮廓用虚线绘制。首先观察工件特征：两侧连接板上的圆孔从上方可见，因此俯视图一定包含实线的圆形，可先排除无圆孔的A；再看中间结构，工件中间是拱形结构，从上方观察时，拱形下方的两条纵向棱被拱形遮挡，属于不可见轮廓，需要用虚线表示，据此排除中间为实线的C，以及无中间分隔线的D，即可得出正确选项。
【解析】
根据俯视图的定义：从物体正上方向下观察得到的平面图形，可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线。
1. 工件两侧的连接板上各有2个圆孔，从上方观察时圆孔可见，因此俯视图存在对应的实线圆，排除无圆孔的选项A；
2. 中间拱形部分的底部纵向棱被上方拱形遮挡，属于不可见轮廓，需用虚线表示：选项C中间为实线，不符合要求；选项D无中间的分隔轮廓，不符合要求，排除C、D；
3. 只有选项B符合所有视图特征。
【答案】
B
【知识点】
三视图判断；视图虚实线规则
【点评】
本题考查几何体俯视图的识别，解题的核心是掌握俯视图的观察方向，以及视图中实线、虚线的使用规范，注意不要漏画被遮挡的不可见轮廓，也不要误将不可见轮廓画为实线。
【难度系数】
0.7
要判断该工件的俯视图，首先明确俯视图是从物体正上方观察得到的视图，规定可见轮廓用实线绘制，不可见轮廓用虚线绘制。首先观察工件特征：两侧连接板上的圆孔从上方可见，因此俯视图一定包含实线的圆形，可先排除无圆孔的A；再看中间结构，工件中间是拱形结构，从上方观察时，拱形下方的两条纵向棱被拱形遮挡，属于不可见轮廓，需要用虚线表示，据此排除中间为实线的C，以及无中间分隔线的D，即可得出正确选项。
【解析】
根据俯视图的定义：从物体正上方向下观察得到的平面图形，可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线。
1. 工件两侧的连接板上各有2个圆孔，从上方观察时圆孔可见，因此俯视图存在对应的实线圆，排除无圆孔的选项A；
2. 中间拱形部分的底部纵向棱被上方拱形遮挡，属于不可见轮廓，需用虚线表示：选项C中间为实线，不符合要求；选项D无中间的分隔轮廓，不符合要求，排除C、D；
3. 只有选项B符合所有视图特征。
【答案】
B
【知识点】
三视图判断；视图虚实线规则
【点评】
本题考查几何体俯视图的识别，解题的核心是掌握俯视图的观察方向，以及视图中实线、虚线的使用规范，注意不要漏画被遮挡的不可见轮廓，也不要误将不可见轮廓画为实线。
【难度系数】
0.7
2 如图，甲、乙两个几何体都是由边长相等的小正方体组成的，下列说法不正确的是（
A.甲、乙主视图相同
B.甲、乙左视图相同
C.甲、乙俯视图相同
D.甲的主视图与乙的左视图相同
C
）A.甲、乙主视图相同
B.甲、乙左视图相同
C.甲、乙俯视图相同
D.甲的主视图与乙的左视图相同
答案
2.C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确三视图的定义：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，左视图是从几何体左面观察得到的平面图形，俯视图是从几何体上面观察得到的平面图形，视图中每个位置的正方形数量对应该位置小正方体的最大层数。我们只需分别确定甲、乙两个几何体的三种视图，再逐一核对选项，就能找到说法不正确的选项。
【解析】
我们分别分析甲、乙的三种视图：
1. 主视图分析
甲的主视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
乙的主视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
因此甲、乙主视图相同，A选项说法正确。
2. 左视图分析
甲的左视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
乙的左视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
因此甲、乙左视图相同，B选项说法正确。
3. 俯视图分析
甲的俯视图：共3行，从上到下每行小正方形个数为1、3、1，第一行的正方形在中间位置，第三行的正方形在最左侧；
乙的俯视图：共2行，从上到下每行小正方形个数为2、3，第一行的两个正方形分别在最左侧和最右侧；
二者俯视图形状明显不同，C选项说法错误。
4. 验证D选项
甲的主视图是3列，个数为1、2、1，乙的左视图也是3列，个数为1、2、1，二者相同，D选项说法正确。
综上，说法不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
简单组合体的三视图
【点评】
本题考查三视图的判断，解题的关键是明确三视图的观察方向，能准确判断每个观察方向上各列小正方体的最大层数，判断时注意不要混淆几何体前后行的位置。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确三视图的定义：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，左视图是从几何体左面观察得到的平面图形，俯视图是从几何体上面观察得到的平面图形，视图中每个位置的正方形数量对应该位置小正方体的最大层数。我们只需分别确定甲、乙两个几何体的三种视图，再逐一核对选项，就能找到说法不正确的选项。
【解析】
我们分别分析甲、乙的三种视图：
1. 主视图分析
甲的主视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
乙的主视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
因此甲、乙主视图相同，A选项说法正确。
2. 左视图分析
甲的左视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
乙的左视图共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1；
因此甲、乙左视图相同，B选项说法正确。
3. 俯视图分析
甲的俯视图：共3行，从上到下每行小正方形个数为1、3、1，第一行的正方形在中间位置，第三行的正方形在最左侧；
乙的俯视图：共2行，从上到下每行小正方形个数为2、3，第一行的两个正方形分别在最左侧和最右侧；
二者俯视图形状明显不同，C选项说法错误。
4. 验证D选项
甲的主视图是3列，个数为1、2、1，乙的左视图也是3列，个数为1、2、1，二者相同，D选项说法正确。
综上，说法不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
简单组合体的三视图
【点评】
本题考查三视图的判断，解题的关键是明确三视图的观察方向，能准确判断每个观察方向上各列小正方体的最大层数，判断时注意不要混淆几何体前后行的位置。
【难度系数】
0.7
二、填空题
3. 如图，一条线段AB在平面α内的正投影为A'B'，AB=2，A'B'=$\sqrt{3}$，则AB与A'B'的夹角为
3. 如图，一条线段AB在平面α内的正投影为A'B'，AB=2，A'B'=$\sqrt{3}$，则AB与A'B'的夹角为
30°
。答案
3.30°
解析
【分析】
本题考查正投影性质和解直角三角形的综合应用，解题思路如下：首先根据正投影的定义，线段两端点向投影平面作的垂线互相平行，我们可以通过平移投影线段，构造出包含原线段、投影线段的直角三角形；再利用已知的原线段和投影线段的长度，通过锐角三角函数求出两条线段的夹角即可。
【解析】
根据正投影的性质，分别过A、B作AA'⊥平面α，BB'⊥平面α，垂足分别为A'、B'，则A'B'即为AB的正投影。
过点A作AC//A'B'，交BB'于点C：
∵ AA'⊥α，BB'⊥α，
∴ AA'//BB'，且A'B'⊥AA'、A'B'⊥BB'，
∴ 四边形AA'CB'为矩形，可得AC=A'B'=$\sqrt{3}$，且∠BAC就是AB与A'B'的夹角。
在Rt△ACB中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴ $\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又
∵ 两线段夹角的取值范围为$0°∼90°$，
∴ ∠BAC=30°，即AB与A'B'的夹角为30°。
【答案】
30°
【知识点】
正投影的性质，锐角三角函数的应用，直角三角形的性质
【点评】
本题属于投影相关的基础题型，解题核心是利用正投影的特征构造直角三角形，将线段长度条件转化为直角三角形的边角关系进行求解，是对投影知识和三角函数基础应用的考察。
【难度系数】
0.8
本题考查正投影性质和解直角三角形的综合应用，解题思路如下：首先根据正投影的定义，线段两端点向投影平面作的垂线互相平行，我们可以通过平移投影线段，构造出包含原线段、投影线段的直角三角形；再利用已知的原线段和投影线段的长度，通过锐角三角函数求出两条线段的夹角即可。
【解析】
根据正投影的性质，分别过A、B作AA'⊥平面α，BB'⊥平面α，垂足分别为A'、B'，则A'B'即为AB的正投影。
过点A作AC//A'B'，交BB'于点C：
∵ AA'⊥α，BB'⊥α，
∴ AA'//BB'，且A'B'⊥AA'、A'B'⊥BB'，
∴ 四边形AA'CB'为矩形，可得AC=A'B'=$\sqrt{3}$，且∠BAC就是AB与A'B'的夹角。
在Rt△ACB中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴ $\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又
∵ 两线段夹角的取值范围为$0°∼90°$，
∴ ∠BAC=30°，即AB与A'B'的夹角为30°。
【答案】
30°
【知识点】
正投影的性质，锐角三角函数的应用，直角三角形的性质
【点评】
本题属于投影相关的基础题型，解题核心是利用正投影的特征构造直角三角形，将线段长度条件转化为直角三角形的边角关系进行求解，是对投影知识和三角函数基础应用的考察。
【难度系数】
0.8
4.如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为
5如图所示的是某几何体的三视图，根据图中数据，则该几何体的表面积为
√3
.5如图所示的是某几何体的三视图，根据图中数据，则该几何体的表面积为
(225+25√2)π
.答案
4.√3
5.(225+25√2)π 解析:根据三视图可知,该几何体由一个圆柱和一个圆锥组成.
根据几何体的主视图,可得到圆柱的高为20,圆锥的高为5;
根据几何体的俯视图,可得到圆柱和圆锥的底面圆的直径为10,
∴半径为5,
∴圆锥的母线长为$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$,
∴该几何体的表面积为$π×5^2+10×π×20+π×5×5\sqrt{2}=(225+25\sqrt{2})π$.
5.(225+25√2)π 解析:根据三视图可知,该几何体由一个圆柱和一个圆锥组成.
根据几何体的主视图,可得到圆柱的高为20,圆锥的高为5;
根据几何体的俯视图,可得到圆柱和圆锥的底面圆的直径为10,
∴半径为5,
∴圆锥的母线长为$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$,
∴该几何体的表面积为$π×5^2+10×π×20+π×5×5\sqrt{2}=(225+25\sqrt{2})π$.
解析
【分析】
第4题：解题时先根据正六棱柱的主视图确定底面正六边形的边长，正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，a的值就是等边三角形的高，利用勾股定理即可计算。
第5题：首先根据三视图判断几何体为圆柱和圆锥的组合体，计算表面积时注意重合的面无需计入，先从三视图中提取底面半径、圆柱高、圆锥高等参数，先求出圆锥母线长，再分别计算各部分面积求和即可。
【解析】
4. 由正六棱柱的主视图可知，底面正六边形的边长为2，正六边形可分割为6个边长为2的等边三角形，a为该等边三角形的高，根据勾股定理可得：
$a=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
5. 由三视图可知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，且圆锥底面与圆柱上底面完全重合，无需计算重合面的面积。
由三视图数据可得：圆柱和圆锥的底面直径为10，即底面半径$r=5$；圆柱的高$h_1=20$，圆锥的高$h_2=5$。
先计算圆锥的母线长$l$：$l=\sqrt{r^2+h_2^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
该几何体的表面积=圆柱下底面积+圆柱侧面积+圆锥侧面积，即：
$S=π r^2+2π r· h_1+π r· l$
代入数据得：
$S=π×5^2+2π×5×20+π×5×5\sqrt{2}=25π+200π+25\sqrt{2}π=(225+25\sqrt{2})π$
【答案】
4. $\sqrt{3}$；5. $(225+25\sqrt{2})π$
【知识点】
三视图识别，正多边形性质，组合体表面积计算
【点评】
两道题均围绕视图与几何体的对应关系命题，需要准确从三视图中提取几何参数，计算组合体表面积时要注意排除重合面，掌握常见正多边形的基本性质可快速求解第4题。
【难度系数】
0.65
第4题：解题时先根据正六棱柱的主视图确定底面正六边形的边长，正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，a的值就是等边三角形的高，利用勾股定理即可计算。
第5题：首先根据三视图判断几何体为圆柱和圆锥的组合体，计算表面积时注意重合的面无需计入，先从三视图中提取底面半径、圆柱高、圆锥高等参数，先求出圆锥母线长，再分别计算各部分面积求和即可。
【解析】
4. 由正六棱柱的主视图可知，底面正六边形的边长为2，正六边形可分割为6个边长为2的等边三角形，a为该等边三角形的高，根据勾股定理可得：
$a=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
5. 由三视图可知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，且圆锥底面与圆柱上底面完全重合，无需计算重合面的面积。
由三视图数据可得：圆柱和圆锥的底面直径为10，即底面半径$r=5$；圆柱的高$h_1=20$，圆锥的高$h_2=5$。
先计算圆锥的母线长$l$：$l=\sqrt{r^2+h_2^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
该几何体的表面积=圆柱下底面积+圆柱侧面积+圆锥侧面积，即：
$S=π r^2+2π r· h_1+π r· l$
代入数据得：
$S=π×5^2+2π×5×20+π×5×5\sqrt{2}=25π+200π+25\sqrt{2}π=(225+25\sqrt{2})π$
【答案】
4. $\sqrt{3}$；5. $(225+25\sqrt{2})π$
【知识点】
三视图识别，正多边形性质，组合体表面积计算
【点评】
两道题均围绕视图与几何体的对应关系命题，需要准确从三视图中提取几何参数，计算组合体表面积时要注意排除重合面，掌握常见正多边形的基本性质可快速求解第4题。
【难度系数】
0.65
三、解答题
6.如图,在平整的地面上,用10个棱长都为2 cm的小正方体堆成一个几何体.
(1)求这个几何体的表面积;
(2)如果现在你还有一些棱长都为2 cm的小正方体,要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以再添加
6.如图,在平整的地面上,用10个棱长都为2 cm的小正方体堆成一个几何体.
(1)求这个几何体的表面积;
(2)如果现在你还有一些棱长都为2 cm的小正方体,要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以再添加
5
个小正方体.答案
6.解:(1)主视图的面积为$2×2×7=28(\mathrm{cm}^2)$,左视图的面积为$2×2×5=20(\mathrm{cm}^2)$,俯视图的面积为$2×2×7=28(\mathrm{cm}^2)$,
∴这个几何体的表面积为$(28+20+28)×2+2×2×4=168(\mathrm{cm}^2)$.
(2)要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以再添加$2+1+2=5$(个)小正方体.故答案为5.
∴这个几何体的表面积为$(28+20+28)×2+2×2×4=168(\mathrm{cm}^2)$.
(2)要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以再添加$2+1+2=5$(个)小正方体.故答案为5.
解析
【分析】
(1) 求组合几何体的表面积可采用三视图法：首先分别数出主视图、左视图、俯视图中包含的小正方形个数，计算三个方向的可视面积，由于几何体前后、左右、上下对应的面面积相等，因此先将三个方向的面积之和乘2，再补充统计三视图未覆盖到的外露面的面积，就能得到总表面积。
(2) 要保持俯视图和左视图不变：首先俯视图不变说明底层小正方体的位置和数量不能改动；再结合左视图的层数限制，逐列分析每个位置最多可堆叠的小正方体层数，减去原有小正方体的数量，即可得到最多可添加的数量。
【解析】
(1) 单个小正方形的面积为：$2×2=4(\mathrm{cm}^2)$
数得主视图共7个小正方形，面积为：$7×4=28(\mathrm{cm}^2)$
数得左视图共5个小正方形，面积为：$5×4=20(\mathrm{cm}^2)$
数得俯视图共7个小正方形，面积为：$7×4=28(\mathrm{cm}^2)$
另有4个外露的小正方形面未被三视图统计，这部分面积为：$4×4=16(\mathrm{cm}^2)$
因此几何体总表面积为：$(28+20+28)×2+16=168(\mathrm{cm}^2)$
(2) 俯视图不变说明底层7个小正方体位置固定，结合左视图的层数限制：第一列最多可加2个，第二列最多可加1个，第三列最多可加2个，合计最多可添加$2+1+2=5$个。
【答案】
(1) $\boxed{168\mathrm{cm}^2}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
组合体表面积计算，三视图的应用，立体图形堆叠
【点评】
本题主要考查空间想象能力和三视图的实际运用，计算表面积时要注意不要遗漏三视图未覆盖的外露面，添加小正方体时需同时满足两个视图的限制，避免仅考虑单一视图出现错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求组合几何体的表面积可采用三视图法：首先分别数出主视图、左视图、俯视图中包含的小正方形个数，计算三个方向的可视面积，由于几何体前后、左右、上下对应的面面积相等，因此先将三个方向的面积之和乘2，再补充统计三视图未覆盖到的外露面的面积，就能得到总表面积。
(2) 要保持俯视图和左视图不变：首先俯视图不变说明底层小正方体的位置和数量不能改动；再结合左视图的层数限制，逐列分析每个位置最多可堆叠的小正方体层数，减去原有小正方体的数量，即可得到最多可添加的数量。
【解析】
(1) 单个小正方形的面积为：$2×2=4(\mathrm{cm}^2)$
数得主视图共7个小正方形，面积为：$7×4=28(\mathrm{cm}^2)$
数得左视图共5个小正方形，面积为：$5×4=20(\mathrm{cm}^2)$
数得俯视图共7个小正方形，面积为：$7×4=28(\mathrm{cm}^2)$
另有4个外露的小正方形面未被三视图统计，这部分面积为：$4×4=16(\mathrm{cm}^2)$
因此几何体总表面积为：$(28+20+28)×2+16=168(\mathrm{cm}^2)$
(2) 俯视图不变说明底层7个小正方体位置固定，结合左视图的层数限制：第一列最多可加2个，第二列最多可加1个，第三列最多可加2个，合计最多可添加$2+1+2=5$个。
【答案】
(1) $\boxed{168\mathrm{cm}^2}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
组合体表面积计算，三视图的应用，立体图形堆叠
【点评】
本题主要考查空间想象能力和三视图的实际运用，计算表面积时要注意不要遗漏三视图未覆盖的外露面，添加小正方体时需同时满足两个视图的限制，避免仅考虑单一视图出现错误。
【难度系数】
0.6
