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1. (2025河南郑州经开外国语学校期末)在数：$-3.456\dot{7}$，$2.\dot{1}$，$-π$，$\frac{1}{5}$，$\sqrt{12}$中，无理数的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
2.（教材知识技能改编）下列说法正确的是（
A.64 的立方根是±4
B.2 是 8 的平方根
C.1 的算术平方根是 1
D.-9 的平方根是±3
C
）A.64 的立方根是±4
B.2 是 8 的平方根
C.1 的算术平方根是 1
D.-9 的平方根是±3
答案
2. C
3. (2025 陕西西安爱知中学期末)已知一个正数的平方根分别为$2x+1$和$3-4x$,则这个正数是 (
A.25
B.16
C.8
D.2
A
)A.25
B.16
C.8
D.2
答案
3. A
4. (2025广东深圳高级中学期末)实数$a,b$在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^2b^2}$的结果是
-ab
。答案
4. -ab
5. 一题多变（教材知识技能改编）估计$\sqrt{73}$的值在（
A.6和7之间
B.7和8之间
C.8和9之间
D.9和10之间
C
）A.6和7之间
B.7和8之间
C.8和9之间
D.9和10之间
答案
5. C
若$a=2+\sqrt{6}$，则与$a$最接近的整数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
变式1 C
比较大小：$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$
＜
2.（填“＞”“＜”或“=”）答案
变式2 ＜
6. (2025 陕师大附中期末)已知$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，$b$是它的小数部分，求$(-a)^3 + (b+3)^2$的值.
答案
6. 解:因为 $3＜\sqrt{10}＜4$,
所以 $a=3,b=\sqrt{10}-3$,
所以原式$=(-3)^3+(\sqrt{10}-3+3)^2$
$=-27+10$
$=-17.$
所以 $a=3,b=\sqrt{10}-3$,
所以原式$=(-3)^3+(\sqrt{10}-3+3)^2$
$=-27+10$
$=-17.$
7. 计算:(1)$\sqrt{8}-2\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{32}$；
(2)$(-2)^2+|\sqrt{3}-2|-\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}$；
(3)$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})-\sqrt{24}÷\sqrt{6}$。
(2)$(-2)^2+|\sqrt{3}-2|-\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}$；
(3)$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})-\sqrt{24}÷\sqrt{6}$。
答案
7. 解:(1)$\sqrt{8}-2\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{32}$
$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}$;
(2)$(-2)^2+|\sqrt{3}-2|-\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}$
$=4+2-\sqrt{3}-3-2$
$=1-\sqrt{3}$;
(3)$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})-\sqrt{24}÷\sqrt{6}$
$=9-2-\sqrt{\frac{24}{6}}$
$=7-\sqrt{4}$
$=7-2$
$=5.$
$=2\sqrt{2}-\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}$;
(2)$(-2)^2+|\sqrt{3}-2|-\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}$
$=4+2-\sqrt{3}-3-2$
$=1-\sqrt{3}$;
(3)$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})-\sqrt{24}÷\sqrt{6}$
$=9-2-\sqrt{\frac{24}{6}}$
$=7-\sqrt{4}$
$=7-2$
$=5.$
8. (教材联系拓广改编)观察下列各式,通过分母有理化,把不是最简二次根式的化成最简二次根式的过程:
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 -1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1;$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2};···$
按照以上的过程,解答以下问题:
(1)分母有理化:$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算: $( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}} )×(\sqrt{2026}+1).$
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 -1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1;$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2};···$
按照以上的过程,解答以下问题:
(1)分母有理化:$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算: $( \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}} )×(\sqrt{2026}+1).$
答案
8. 解:(1)$2-\sqrt{3}$;
(2)$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}})×(\sqrt{2026}+1)$
$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})×(\sqrt{2026}+1)$
$=(\sqrt{2026}-1)×(\sqrt{2026}+1)$
$=2026-1$
$=2025.$
(2)$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}})×(\sqrt{2026}+1)$
$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})×(\sqrt{2026}+1)$
$=(\sqrt{2026}-1)×(\sqrt{2026}+1)$
$=2026-1$
$=2025.$
