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1. (教材数学理解改编)如图,在边长为1的小正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,则下列结论:①AB = 5;②△ABC 为直角三角形;③△ABC 的面积为4;④点 C 到 AB 的距离为2,其中正确的是
①②④
(填序号).答案
1. ①②④
2. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,点 $P$ 为 $BC$ 上一个动点,连接 $AP$,将 $△ ACP$ 沿 $AP$ 折叠得到 $△ ADP$,点 $C$ 的对应点为 $D$,连接 $BD$,若 $AC=5$, $BC=12$,当 $△ PBD$ 为直角三角形时,线段 $CP$ 的长为
$\dfrac{10}{3}$或5
.答案
2. $\dfrac{10}{3}$或5
3. (教材知识技能)如图,BC长为3 cm,AB长为4 cm,AF长为12 cm. 求正方形CDEF的面积. 
【拓展设问】如图,分别以AF,AC为边向外作正方形,记图中正方形面积分别为$S_1,S_2,S_3$,则$S_1+S_2=$
变式题图
【拓展设问】如图,分别以AF,AC为边向外作正方形,记图中正方形面积分别为$S_1,S_2,S_3$,则$S_1+S_2=$
169
$\mathrm{cm}^2$. 变式题图
答案
3. 解:在Rt△ACB中,AC²=CB²+AB²=3²+4²=25,
在Rt△ACF中,FC²=AC²+AF²=25+12²=169,
所以正方形CDEF的面积为 169 cm².
【拓展设问】 169
在Rt△ACF中,FC²=AC²+AF²=25+12²=169,
所以正方形CDEF的面积为 169 cm².
【拓展设问】 169
如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当$AC=8$,$BC=4$时,阴影部分的面积为
16
.答案
变式 16
4. (教材问题解决改编)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何? 题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹稍触地处离竹根4尺,试问折断处离地面多高? 经过计算,折断处离地面的高度为
4.2
尺.答案
4. 4.2
5.（教材问题解决改编）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，其棚骨外端C距离地面点E 100 cm，将其展开，点B至墙面的水平距离BD为168 cm时，AB=232 cm，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是
172
cm.答案
5. 172
6.（教材问题解决改编）如图是一个长12 cm，宽5 cm，高8 cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是
15
cm. 答案
6. 15
(2025 四川成都天府七中阶段练)为进一步落实“五育并举”，学校组织了田径运动会.如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80 cm，宽均为60 cm，1,2,3号台的高度分别是40 cm,30 cm,20 cm.若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为
$100+20\sqrt{17}$
cm.答案
变式 $100+20\sqrt{17}$ 【解析】展开图如解图①
,因为 80+20+80 = 180( cm ),所以蚂蚁爬行的最短距离 $AB=\sqrt{180^2+60^2}=60\sqrt{10}(\mathrm{cm})$;若先从点 A 到对角 C,再到点 B,如解图②
, $AC = \sqrt{80^2+60^2} = 100(\mathrm{cm})$ ,$BC=\sqrt{80^2+(40-20)^2}=20\sqrt{17}(\mathrm{cm})$,所以 $AC+BC = 100+20\sqrt{17} ＜ 60\sqrt{10}$,所以蚂蚁爬行的最短距离为$(100+20\sqrt{17})$ cm.变式题解图
