例1 在平面直角坐标系中，$△ ABC$各顶点坐标如图所示，则$△ ABC$的面积为。

18

练1 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都在网格点上,则△ABC 的面积为.

$\frac{15}{2}$

例2 一题多解法 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B,O的坐标分别为(2,4),(6,2),(0,0),则△AOB的面积为.


例2题图
例3题图

解法一:补形法
10 【解析】如,作长方形 OCDE,所以
$S_{△ OAB}=S_{长方形OCDE}-S_{△ OAE}-S_{△ OBC}-S_{△ ABD} = 4×6-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×4×2=10$.
解法二:分割法
10 【解析】如,将$△ OAB$分割成3个小三角形,所以$S_{△ OAB}=S_{△ OAF}+S_{△ OBF}+S_{△ ABF} = \frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×2=10$.

例3 一题多解法 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC的四个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,2),O(0,0),C(-2,2),则四边形ABOC的面积为.

解法一:补形法
16 【解析】如,将四边形 ABOC 补成一个长方形 DEFG,
因为四边形 ABOC 的四个顶点坐标分别为$A(2,4),B(6,2),O(0,0),C(-2,2)$,
所以$S_{四边形ABOC}=S_{长方形DEFG}-S_{△ ACD}-S_{△ ABE}-S_{△ BFO}-S_{△ CGO}=8×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×2×6-\frac{1}{2}×2×2=16$,
所以四边形 ABOC 的面积为 16.
解法二:分割法
16 【解析】如,BC 将四边形 ABOC 分割为$△ ABC$和$△ BCO$,
因为四边形 ABOC 的四个顶点坐标分别为$A(2,4),B(6,2),O(0,0),C(-2,2)$,
所以$S_{四边形ABOC}=S_{△ ABC}+S_{△ BCO} = \frac{1}{2}×8×2+\frac{1}{2}×8×2=16$,
所以四边形 ABOC 的面积为 16.

练2 (2025陕西西北大学附中阶段练)如图,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)求△ABC的面积;
(2)设点P在y轴上,且△ABP的面积是△ABC的面积的2倍,求点P的坐标.

练2题图

(1) 如,过点 C 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 D,
因为 $A(0,1),B(2,0),C(4,3)$,
所以 $OA=1,OB=2,OD=4,CD=3$,
所以 $BD=4-2=2$;
所以 $S_{△ ABC} = S_{梯形OACD} - S_{△ AOB} - S_{△ BCD}$
$=\frac{1+3}{2}×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3$
$=4$;
(2) 因为$△ ABP$的面积是$△ ABC$的面积的2倍,$△ ABC$的面积为4,
所以$△ ABP$的面积为8,
因为点P在y轴上,
所以$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AP · OB=8$,
所以$AP=8$,
因为$A(0,1)$,
所以点P的坐标为$(0,-7)$或$(0,9)$.